Incertitude d’estimation des paramètres multifractals

La détermination exacte des paramètres multifractals est extrême importante, car ils permettent de mieux connaître la structure des champs étudiés et ainsi améliorer la modélisation de champs. Cependant, l’estimation des paramètres pose encore des incertitudes dont il est nécessaire de discuter. Le point sur ces questions sera donc fait dans cette section.

Figure 4-25. Courbe DTM (a) avec η = 1, les courbes K(q,η) sur deux gammes d’échelle (b): de 5 minutes à 28 jours (ronds) et de 5 minutes à 3 heures (croix)

La première question concerne l’estimation de gamme d’invariance d’échelle. La détermination de la gamme de la loi d’échelle serait basée sur le coefficient de détermination R2 qui pourrait être utilisé pour évaluer la qualité de l’ajustement linéaire. Une valeur approchée d’unité pourrait être considérée comme correspondant à un comportement linéaire parfait. C'est-à-dire que, dans ce cas, il n’existe qu’une seule loi d’échelle sur la gamme d’échelle en question.

La Figure 4-25a présente un comportement linéaire très visible des moments statistique pour la série CRET13 de la base CG-94 sur la gamme d’échelle allant de 5 minutes à environ 28 jours avec une très grande valeur R2 de 0.996. Dans ce cas, une seule loi d’échelle pourrait être considérée sur cette gamme et est caractérisée par les paramètres de α égal à 0.73 et C1 de 0.44. Néanmoins, les résultats de ces paramètres obtenus sur la gamme allant de 5 minutes à environ 3 heures ne donnent pas les mêmes valeurs α et C1 qu’obtenues pour la gamme allant de 5 minutes à environ 28 jours. Nous obtenons alors une valeur α de 0.95 et une valeur C1 de 0.36, soit une différence de 0.22 pour le paramètre de α et 0.08 pour C1. Afin de

faciliter l’observation de la diffrence sur α, les deux courbes K(q,η) correspondant aux deux gammes d’échelle sont mises sur la même figure (Figure 4-25b). Cette figure montre clairement deux différentes pentes correspondant à deux différentes valeurs de α. Cela pose une question à discuter sur le coefficient de détermination R². Si on pourrait proposer un critère de R² pour définir un comportement d’invariance d’échelle?

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Log(eta) L o g (K (q ,e ta )) α(1)_{=0.81 (DTM-IP)} α =0.99 (DTM-RR) α(2)_{=1.21 (DTM-IP)} ηηηηmax ηηηηmin

Figure 4-26. Incertitude d’estimation de paramètre α par la méthode DTM ,

La deuxième question concerne la méthode DTM-IP : dans certains cas, la zone située entre les deux plateaux correspondants aux grandes et aux petites valeurs de η est considérée comme linéaire. Or, ce n’est pas réellement une relation linéaire pure qui décrit le comportement de cette zone, et ce à cause de la qualité des données. Cette imprécision pourrait introduire des estimations différentes du paramètre de α par la méthode DTM-IP. Comme montré par la Figure 4-26 pour la série des Bourdins, la zone qui est considérée comme linéaire est représentée par deux parties correspondant à deux différentes pentes. Dans ce cas, on peut trouver deux points d’inflexion correspondant à deux différentes positions de cette zone. Cela dépend du moyen de détection du point d’inflexion utilisé et de la gamme de

η sur laquelle ce point est détecté. Basées sur ces deux points d’inflexion, les deux valeurs de α estimées correspondent à α(1) = 0.81 et α(2) = 1.21, soit une différence δα = 0.4. A l’inverse,

la valeur de α, qui est estimée à l’aide d’une régression linéaire sur une gamme [ηmin, ηmax]

par la méthode DTM-RR, est de 0.99. La méthode DTM-RR permet en effet de compter toute zone linéaire, et donc de réduire l’incertitude d’estimation des paramètres.

Figure 4-27. Relation entre la courbe K(q) empirique (les croix) et celle théorique (ligne continue) correspondant aux valeurs α et C1 obtenues par la méthode TM1 (a) et par la méthode DTM-RR(b) pour la série d’Orgeval.

La troisième question à discuter concerne les valeurs α et C1 calculées par la méthode TM1. Remarquons que la courbe K(q) « théorique » calculée par les valeurs α et C1 obtenues par cette méthode est toujours en accord avec la courbe empirique jusqu’à la plus grande valeur de q)=3 (Figure 4-15b et Figure 4-16b), comme l’essence de cette méthode visée, voire pour les valeurs q > q) (Figure 4-27a). On retrouve les mêmes résultats dans la littérature (Labat et al., 2001; Labat et al., 2002b; Bernardara et al., 2007). Alors que ces deux courbes ne sont en effet confondues que jusqu’une valeur de l’ordre critique qcrit de transition de phase

des moments statistiques (Figure 4-27b). Ce qui cencerne cette transition de phase sera présenté plus détail dans la section 5.2.1. La difficulté rencontrée est de ne pas encore connaître cette valeur qcrit avant la détermination des paramètres α et C1. Par conséquent, la

détermination de qcrit basée sur la comparaison des courbes K(q) respectivement théorique et

empirique devient difficile. On entre alors dans une boucle sans fin que l’on retrouvera dans les sections 5.2 et 5.3.

La quatrième question concerne le comportement d’invariance d’échelle des moments pour les simulations produites par une cascade avec des paramètres donnés α et C1. Alors, il existe théoriquement une seule loi d’échelle sur toute une gamme d’échelle simulée. En

réalité, ce régime scalant (linéaire en Log-Log) n’est semble pas toujours unique sur toute gamme d’échelle simulée. La Figure 4-28 présente la courbe DTM, à la valeur η = 1, d’une simulation correspondant aux paramètres α = 0.9 et C1 = 0.05. Le comportement scalant des moments n’est pas évident sur toute gamme d’échelle simulée. La régression linéaire sur cette gamme d’échelle donne une valeur assez faible du coefficient de détermination R2 = 0.77. Cela pourrait introduire des erreurs pour retrouver les paramètres α et C1. Les estimations statistiques directes des paramètres α et C1 sur les simulations ne sont pas vraiment d’accord pour les valeurs α et C1 de ces simulations, en particulier pour les simulations correspondant aux petites valeurs de α. Ceci illustre l’intérêt d’avoir une approche Baysienne dans l’estimation de ces paramètres (Tchiguirinskaia et al 2011).

Figure 4-28. Courbe DTM, avec η = 1, de la simulation correspondant à α = 0.9 et C1 = 0.05, le comportement d’invariance d’échelle sur toute gamme d’échelle est caractérisé par le coefficient de détermination R2 = 0.77.