Influence de la porosité

Les simulations sont réalisées sur une géométrie à trois compartiments et l’évolution du signal est simulée du-rant 4 minutes. Cinq vaisseaux sanguins sont placés aléatoirement sur la coupe élémentaire. Le BVf est fixé à 3,6

% et le rayon des vaisseaux à 3 μm. La matrice correspondant à cette coupe présente un fov de 68 μm de côté et

5602 pixels. Au temps zéro, le compartiment intravasculaire est empli d’un AC de type Gd-DOTA à la concen-tration constante de 2 mM qui reste fixe durant toute la simulation. Cet AC s’extravase dans le compartiment interstitiel avec la perméabilité kpe = 5,4.10-3 s-1 (3 × k1). Le coefficient de diffusion de l’AC correspond à celui du Gd-DOTA dans l’eau (diffusion non restreinte, DAC = 48.10-11 m2.s-1 (Marty et al. 2010)). Les cellules, dont

le rayon maximal, Rc, est fixé à 10 μm, sont disposées aléatoirement dans l’espace extravasculaire suivant la mé-thode décrite au paragraphe 6.2.1.2. La porosité du voxel varie entre 96,4 % (pas de cellules) et 20 %. Afin d’obtenir une information sur la reproductibilité des simulations, trois tirages différents ont été étudiés. On s’intéresse à caractériser les perturbations du champ magnétique créées par les interfaces à mesure que l’AC s’extravase dans le compartiment interstitiel. Deux estimateurs sont envisagés : le temps de relaxation qui correspond à la constante de temps obtenue à partir de l’ajustement monoexponentiel de la décroissance du signal pour chaque TR ; l’écart-type du champ magnétique, noté σ(B). La différence de susceptibilité

magné-tique au niveau des parois des cellules étant fonction de la concentration en AC dans le compartiment intersti-tiel, et la surface de ce compartiment variant avec la porosité, ces estimateurs sont représentés en fonction de la concentration d’AC dans l’espace interstitiel, ci(t).

• Résultats

La Figure 6.23 illustre l’évolution de la concentration ci(t) et de l’écart-type du champ magnétique en fonction

du temps dans un cas simple où la porosité est égale à 96,4 % (pas de cellules) (FIG. 6.23A et 6.23B). Les ma-trices de concentration en AC et de perturbations du champ magnétique sont représentées sur les Figures

6.23D et 6.23E. À mesure que l’AC s’extravase, la différence de susceptibilité magnétique au niveau de la paroi vasculaire s’effondre et le champ magnétique devient plus homogène. La relation liant l’écart-type du champ magnétique à la concentration est, dans ce cas simple, linéaire.

Pour les trois tirages réalisés, les porosités réellement obtenues dans ces simulations sont présentées dans le Ta-bleau 6.5. Un bon accord entre la porosité souhaitée et la porosité réellement obtenue est vérifié. Les porosités mesurées sont toujours en deçà de celles souhaitées car l’algorithme de placement arrête le positionnement de nouvelles cellules dès que la porosité ciblée est atteinte. Comme évoqué au paragraphe 6.2.1.2, la porosité à 20 % est difficile à obtenir avec la forme de cellule circulaire envisagée ici.

La Figure 6.24 présente les évolutions de et σ(B) en fonction de la concentration ci(t) pour le tirage 1.

Quand l’espace extravasculaire est vide (П = 96,4 %), l’écart-type du champ magnétique décroît linéairement

avec la concentration ci (cf. FIG. 6.23). Au contraire, le temps caractéristique s’allonge. Quand la porosité diminue, les évolutions de σ(B) et deviennent complexes. La variation de σ(B) prend une forme convexe et

les perturbations du champ magnétique deviennent plus importantes que celles créées à l’origine par les vais-seaux. La Figure 6.24C présente l’évolution de σ(B) en fonction de . Cette relation semble relativement

FIGURE 6.23– Exemple de l’évolution du sytème pour une porosité égale à 96,4 % (sans cellule). (A) Profile de la concentration interstitielle ci (en rouge la concentration cp). (B) Profile de l’évolution de l’écart-type du champ magnétique σ(B). (C) Evolution de

l’écart-type du champ magnétique en fonction de la concentration ci. En bas, évolution des matrices de concentration de l’AC (D) et du champ magnétique (E) aux différents temps notés 1, 2 et 3. Noter la différence d’échelle dans la représentation des matrices de concentration. Afin d’améliorer la dynamique de représentation, les vaisseaux sont saturés.

D

E

simple en absence de cellules, mais devient complexe en présence de cellules dans l’espace extravasculaire. On se concentre donc, par la suite, sur l’estimateur σ(B) qui reflète plus directement les perturbations du champ

ma-gnétique. Porosités Souhaitées ^{20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 96,4 %} Tirage 1 (%) 22,8 29,2 37,6 42,6 52,8 65,8 66,1 88,6 96,4 Tirage 2 (%) 21,8 29,3 39,9 48,9 56,5 69,3 77,6 89,1 96,4 Tirage 3 (%) 20,5 29,1 39,5 48,7 59,9 67,3 76,0 89,2 96,4

TABLEAU 6.5 – Valeurs des porosités réelles et des porosités souhaitées pour les trois tirages.

La Figure 6.25 présente les résultats de l’évolution de σ(B) en fonction de la concentration interstitielle ci(t)

pour les trois tirages simulés. Une variabilité assez importante apparaît entre ces trois tirages. Néanmoins, le comportement global de l’évolution σ(B) semble stable. Son inflexion vers des valeurs élevées est de plus en plus

marquée à mesure que ci augmente. Quand la porosité diminue, l’inversion de la pente de l’évolution de σ(B) se

produit pour des concentrations ci plus faibles. ci (mM) σ( B ) (T ) (ms) (ms)

FIGURE 6.24 – (A) Evolution de l’estimation de en fonction de la concentration ci. (B) Evolution de σ(B) en

fonction de la concentration ci. (C) Evolution de σ(B) en

fonction de . A B σ( B ) ( T ) ci (mM) C

La Figure 6.25D présente l’évolution de σ(B) en fonction de la porosité pour différentes valeurs de

concentra-tions ci. La variation σ(B) est faible pour les concentrations interstitielles inférieures à 0,2 mM (concentrations

classiquement mesurées in vivo (Beaumont et al. 2009)). Pour 0,5 mM, cette variation est positive pour les

po-rosités inférieures à 70 % et négative pour les popo-rosités supérieures à 70 %. Pour 1,5 mM, les perturbations du champ magnétique sont maximales pour des porosités comprises entre 50 % et 70 % pour lesquelles la longueur cumulée des interfaces cellulaire/extracellulaire, noté L, n’est pas maximale (le maximum étant atteint pour une

La Figure 6.25E présente la concentration ci correspondant au minimum de σ(B) en fonction de la porosité.

Cette concentration correspond à la quantité de traceur qui doit s’être extravasée dans l’espace interstitiel pour que l’effet d’inhomogénéisation de champ magnétique produit par l’interface des parois des cellules devienne supérieur à l’effet d’homogénéisation de champ magnétique produit par la baisse de susceptibilité magnétique au niveau de la paroi des vaisseaux. Pour des porosités inférieures à 30 %, on atteint cet état d’inversion pour des concentrations inférieures 0,2 mM. Pour les porosités plus élevées, cette inversion est plus tardive.

ci (mM) σ( B ) (T ) σ( B ) ( T ) ci (mM) σ( B ) ( T ) ci (mM)

FIGURE 6.25 – (A-C) Variations de l’écart-type du champ magnétique σ(B) en fonction de la concentration

interstitielle ci pour différentes porosités et pour trois tirages différents (avec la même géométrie des vaisseaux). La porosité la plus faible ne correspond pas à l’écart-type du champ le plus important. (D) σ(B) en fonction de la porosité

pour différentes valeurs de ci (E) Évolution de la concentration ci correspondant au minimum de σ(B) en

fonction de la porosité. Tirage 3 Tirage 2 Tirage 1 A B C ^D ci po ur min {σ( B )} (mM) Porosité σ( B ) (T) E Porosité

Afin d’illustrer le phénomène d’homogénéisation des fréquences de précession pour les faibles porosités, la Figure 6.26 présente les cartes de concentrations et de champs magnétiques associés obtenues dans le cas du tirage 1 pour quatre valeurs de porosité. Visuellement, les cellules paraissent plus homogènes lorsque la porosité est plus faible. Les perturbations semblent être localisées principalement dans l’espace interstitiel. Ainsi dans le cas d’une porosité à 20,1 %, l’écart-type du champ magnétique est d’environ 0,1 μT dans le compartiment cel-lulaire alors qu’il est trois fois plus important dans l’espace interstitiel (~ 0,32 μT).

• Conclusion

La porosité du milieu extravasculaire influence les perturbations du champ magnétique qu’induisent les inter-faces créées par les cellules à mesure que l’AC s’extravase. Le comportement de ces perturbations est complexe et une approche statistique semble nécessaire afin d’augmenter la robustesse de ces résultats.

Étant donnée la clairance du Gd-DOTA aux concentrations utilisées dans les expériences in vivo, on peut

esti-mer que la concentration interstitielle de l’AC ne dépasse que rarement 1 mM. Cette simulation démontre que, sous les hypothèses de notre modèle, l’effet de la diminution des inhomogénéités du champ magnétique dues à la baisse de différence de susceptibilité magnétique à l’interface intra-/extravasculaire est négligeable par rapport à l’augmentation de ces inhomogénéités créées par les cellules dès que la concentration interstitielle dépasse 0,3 mM pour une porosité inférieure à 50 %.

6.4.2.2. Influence du diamètre des cellules