Description du modèle biophysique

Notre simulation prend appui sur trois phénomènes biologiques : l’arrivée du produit de contraste dans le compartiment vasculaire, son passage à travers la BHE et sa diffusion dans l’espace interstitiel. La diffusion de l’eau n’est pas prise en compte ici, et nous faisons donc l’hypothèse que les conditions nécessaires au SDR sont satisfaites (cf. paragraphe 2.2.2.2). Nous traiterons notamment les problèmes liés à la discrétisation spatiale des

différents phénomènes.

6.2.2.1. Fonction d’entrée artérielle

L’AIF définit la concentration de traceur, cp, dans le compartiment intravasculaire. Nous considérons que le débit sanguin est suffisant pour renouveler entièrement la concentration intravasculaire à chaque pas de temps. Fonction des simulations, nous utilisons deux formes différentes : constante ou injection lente (cf. FIG.6.7). Une forme de l’injection lente a été calibrée in vivo lors de la thèse de M. Beaumont (Beaumont 2007). Elle est

définie par une rampe ascendante jusqu’à une concentration au pic, cpic, puis par une clairance bi-exponentielle. Elle prend la forme suivante :

Temps (min) cp

(mM)

Injection lente

0

0,72 exp

59,4 ^{0,28 exp} 2000

(6.1)

où T0 est le temps d’arrivée de l’injection, Tpic celui du pic de concentration, et t le temps en seconde.

6.2.2.2. Perméabilité

L’interface d’échange entre le compartiment intravasculaire et le compartiment extravasculaire est définie par la perméabilité. Cet échange s’opère exclusivement avec les pixels extravasculaires directement voisins du compar-timent intravasculaire. Nous considérons que cet échange se produit dans les deux directions et avec les mêmes propriétés.

• Théorie

L'application de la théorie de la diffusion au transport de traceurs à travers la BHE conduit à la notion d'une constante de perméabilité P = D/H exprimée en m.s-1 (où D serait la constante de diffusion du traceur à travers

la membrane et H l’épaisseur de cette membrane) (Renkin 1959). Cette perméabilité est définie par la variation

de la quantité de matière (en mole par exemple), q, par unité de différence de concentration et par unité de

sur-face d’échange :

. . (6.2)

où S est la surface d’échange de la BHE et cc la concentration en traceur dans la région avoisinant le comparti-ment intravasculaire. Dans une approche 2D la surface correspond à un contour. La discrétisation implique de plus que ce contour soit défini par le nombre de « côtés de pixel ». Dans notre géométrie, la région dans la-quelle s’extravase le traceur correspond à une couronne autour du capillaire. La matrice correspondant à la con-centration dans cette couronne est notée Cc. Dans la plupart des publications, les paramètres de perméabilité sont donnés en terme de constante d’échange (kpe)publi du compartiment vasculaire vers le compartiment extra-vasculaire. Cette constante est définie par la relation (kpe)publi = PS/Vi où Vi est le volume dans lequel s’extravase l’AC (ici, le volume interstitiel). Dans notre modèle, ce volume correspond au volume de la couronne, noté Vc. Ainsi, afin d’être cohérent avec les valeurs de (kpe)publi fournies dans les publications, la valeur de kpe utilisée dans notre modèle est renormalisée pour prendre en compte cette différence de volume. On définit alors kpe =

(kpe)publi.Vi/Vc. La variation de concentration en AC dans cette couronne pendant le pas de temps δt est alors

donnée par la relation :

(6.3) Étant donnée la pixellisation de notre simulation, la surface d’échange n’est pas identique pour tous les pixels de la couronne et il est alors nécessaire de prendre en compte cet écart.

• Matrice de pondération de la perméabilité

Cet écart est géré à l’aide d’une matrice de pondération notée PP. Elle permet de corriger la concentration de la couronne en pondérant cette dernière par le nombre de côtés qu’un pixel présente avec le compartiment intra-vasculaire (cf. FIG. 6.8). Cette matrice de pondération est créée à partir du noyau 3 × 3, Kcroix suivant :

0 1 0 1 1 1

0 1 0 ^(6.4)

La matrice PP prend la forme :

⨂ _(6.5)

où ⊗ est l’opérateur de convolution, × celui du produit terme à terme et est la matrice exclusivement compo-sée de 1. À chaque pas de temps, la matrice de concentration de la couronne Cc s’exprime comme :

(6.6) Cette approche pour traiter la discrétisation de la relation de perméabilité se généralise facilement à des géomé-tries avec plusieurs capillaires et peut s’extrapoler à des géomégéomé-tries 3D.

6.2.2.3. Diffusion

Les phénomènes de diffusion sont généralement simulés en RMN par une approche de type Monte Carlo (cf.

Chapitre 2). Cette approche est beaucoup trop exigeante en temps de calcul pour la modélisation des phéno-mènes de perméabilité qui nécessite de simuler le signal RMN sur plusieurs minutes avec un faible pas de temps. Une autre démarche consiste à utiliser une méthode déterministe basée sur des noyaux de convolution. Cette approche a été introduite pour la diffusion de l’eau par Bandettini et al. en 2D (Bandettini & Wong 1995) et

généralisée en 3D en 2007 (Klassen & Menon 2007).

FIGURE 6.8 – Illustration de la matrice de pondération de pérméabilité. (A) Géométrie 2 compartiments. (B) Agrandissement de la bordure du capillaire. La matrice de pondération Mpond,perm apparaît en bordure de capillaire. Le poids de chaque pixels vaut ici 1 ou 2 en fonction du nombre de cotés où se produit l’échange. (C) Agrandissement de l’interface. En bleu sont représentés les cotés sur lesquels ont lieu les échanges.

A B

Gp

C

= 1

• Principe

Le noyau de convolution de diffusion décrit la probabilité de déplacement d’une molécule d’AC. Il est fonction du pas de temps δt et du coefficient de diffusion DAC. En 2D, il prend la forme suivante :

1

4 ^exp 4 ^(6.7)

où x et y sont les coordonnées cartésiennes de la matrice et DAC le coefficient de diffusion de l’AC. • Approche par transformée de Fourier

En théorie, ce noyau de diffusion a une taille infinie ce qui rend problématique sa convolution avec la matrice de concentration C. Sa troncature est envisageable de manière à le rendre de taille finie. Cela nécessite, cependant,

de renormaliser le noyau (égal à l’unité au sens de l’intégrale) pour assurer la conservation de la matière. Une autre démarche consiste à calculer le produit de convolution dans l’espace de Fourier. Cela présente plu-sieurs avantages :

- Le noyau de diffusion peut être défini sur une matrice de même taille que celle de la géométrie. Cela li-mite les erreurs liées à la troncature.

- L’utilisation de la Transformée de Fourier Discrète (DFT) impose une périodisation de la géométrie qui induit des phénomènes de repliements. Souvent gênants, ces phénomènes ont ici l’avantage de permettre la réinjection, sur le bord opposé, des concentrations d’AC qui sortent du champ de vue sous l’effet de la diffusion, mimant ainsi la présence des voxels voisins. Du fait de la périodisation de notre géométrie, aucun effet de « ringing » lié à des discontinuités sur les bords n’est produit.

- L’approche par la TF, de par l’efficacité de l’algorithme de FFT (Cooley & Tukey 1965), s’avère plus rapide que par la convolution brute.

FIGURE 6.9 – (A) Représentation de la matrice Gp + Gc d’une géométrie à 3 compartiments avec une porosité de 30 %. (B) Matrice de pondération de diffusion, PD, associée (δt = 1,2 ms, DGd=2,28.10-10 m2.s-1 (Marty 2010)). Les régions où la diffusion est la plus restreinte

sont celles qui présentent le réhaussement le plus important.

1 0 68 μm 68 μm B A

Cette approche a été retenue pour simuler la diffusion de l’AC. À la différence de l’approche Monte Carlo, elle ne simule pas, cependant, la diffusion en présence d’obstacles.

• Matrice de pondération de la diffusion

Cette difficulté est traitée à l’aide d’une matrice de pondération pour la diffusion notée, PD, qui simule la

diffu-sion restreinte au niveau des parois des vaisseaux et des cellules. Elle permet par ailleurs d’assurer la conservation de la matière. Cette matrice est définie par la convolution de la matrice (Gp + Gc) avec le noyau de diffusion Dxy :

⊗ _(6.8)

La matrice de concentration en AC au temps t, C(t), s’exprime alors par :

⊗ _(6.9)

Cette pondération a pour effet de rehausser la concentration en pourtour des vaisseaux et des cellules comme l’illustre la Figure 6.9. Elle simule la « rétrodiffusion » due aux rebonds des particules d’AC sur les parois. En utilisant un tel modèle, la concentration qui diffuse vers l’intérieur d’une cellule ou d’un vaisseau est réinjectée dans le pixel dont elle provient. Cela a pour conséquence de restreindre la diffusion aux bords des obstacles. Afin de mimer le rebond de l’AC sur les parois des cellules, et ainsi d’être proche du résultat qui serait obtenu à partir d’une approche Monte Carlo, il est nécessaire que le noyau de diffusion Dxy soit le plus étroit possible. Cela implique l’utilisation d’un pas de temps δt le plus petit possible au détriment du temps de calcul. Un

com-promis doit donc être trouvé entre ce pas de temps, la taille des éléments constituant la géométrie et le noyau de

convolution. Dans notre simulation, ce pas de temps, adapté en fonction de la valeur du coefficient de diffusion et les éléments constituant la géométrie, typiquement de 1 ms.