Influence de la contrainte sur le nombre de canaux requis

La méthode avec a priori a été appliquée avec des paramètres 𝐶 = 0,02 et 𝜆=5·10-6 _{pour éviter que le}

système ne soit trop figé. Les résultats en termes d’erreurs quadratiques moyennes sur le ratio glandulaire et sur la concentration d’iode, moyennés sur tous les points de mesure du fantôme de test, sont présentés en Figure 93.

Figure 93. Erreur quadratique moyenne sur la densité glandulaire (gauche) et sur la concentration d'iode (à droite) selon le nombre de canaux d’énergie, avec et sans a priori.

Comme présenté dans le chapitre 4, l’erreur quadratique globale diminue lorsque le nombre de canaux augmente avec la méthode par maximum de vraisemblance (sans a priori, courbe bleue), aussi bien pour l’estimation de la concentration d’iode que pour la densité glandulaire.

L’ajout de l’a priori dans une décomposition en base de trois matériaux permet de réduire l’erreur quadratique globale sur ces deux grandeurs (courbe avec a priori, en orange). De plus, ce bon résultat est obtenu à partir de 5 canaux d’énergie, aucune amélioration n’étant observée au-delà.

Les résultats sont détaillés en terme de biais sur la densité dans la Figure 94 pour les différentes régions d’intérêt du fantôme. Sans a priori, les valeurs de biais se stabilisent autour de 0,2 % lorsque la densité recherchée est inférieure à 90 %. Au-delà, la valeur de biais augmente en raison d’une interpolation de la base de calibrage délicate aux bords du domaine de calibration.

L’ajout d’a priori permet de réduire ce biais dans toutes les régions d’intérêt, y compris au bord du domaine de calibrage. Le biais varie alors très peu avec l’augmentation du nombre de canaux en restant proche de 0,02 %, hormis pour la ROI dense à 100 % qui affiche un biais qui stagne autour de 1,5 %.

Figure 94. Biais sur la densité dans les différentes régions du fantôme pour la méthode sans a priori (gauche) et avec a priori (droite).

Les résultats sur le bruit sont également présentés dans les différentes régions de densité (Figure 95). L’ajout d’a priori permet de réduire le bruit dans toutes les régions d’intérêt. Le bruit est compris entre 1,5 % et 2,6 % à partir de 5 canaux d’énergie alors que l’approche par maximum de vraisemblance conduit à des valeurs de bruit comprises entre 3 % et 6 %. Comme pour le cas de la décomposition dans une base de deux matériaux, l’approche bayésienne permet de diviser le bruit par 2 par rapport à la méthode MLE.

Figure 95. Bruit sur la densité glandulaire dans les différentes ROI du fantôme par la méthode sans a priori (gauche) et la méthode avec a priori (droite).

Le biais sur l’estimation de la concentration d’iode est montré sur la Figure 96 dans les régions de différentes concentrations d’iode du fantôme numérique utilisé. Le biais sur l’estimation de la concentration est de l’ordre de 0,02 mg/mL aussi bien pour l’approche par maximum de vraisemblance que pour l’approche utilisant une fonction de pénalisation. Cette valeur correspond approximativement au pas d’interpolation utilisé pour ré-échantillonner la base de calibrage. Cependant, l’approche bayésienne reste moins sensible à la variation du nombre de canaux d’énergie utilisés et apporte des résultats proches de l’optimum dès 5 canaux d’énergie. De plus l’utilisation de l’a priori permet de corriger le biais lorsque la concentration d’iode recherchée est nulle, ce qui permettra une très bonne identification de la présence ou de l’absence d’iode.

Figure 96. Biais sur la concentration d'iode pour les différentes ROI avec la méthode MLE (gauche) et l’approche bayésienne (droite).

Enfin, les résultats du bruit sur la concentration d’iode sont présentés en Figure 97. L’ajout d’a priori permet une réduction du bruit significative par rapport à l’approche par maximum de vraisemblance, en le divisant par un facteur d’environ 2, avec une baisse du bruit plus importante aux faibles concentrations d’iode. Dans ce sens, le bruit en l’absence d’iode est presque nul, quel que soit le nombre de canaux d’énergie employés.

Figure 97. Bruit sur l'estimation de la concentration d'iode dans les différentes ROI, par méthode MLE (gauche) et par approche bayésienne (droite).

L’utilisation de l’a priori d’épaisseur permet donc d’améliorer les résultats en termes de biais et de bruit sur l’estimation de la densité glandulaire et sur la concentration d’iode, ce qui entraîne une baisse de l’erreur quadratique moyenne. Comme nous l’avons vu dans le chapitre 4, l’ajout d’iode dégrade les performances de la décomposition en base de 3 matériaux par la méthode du maximum de vraisemblance puisque qu’une erreur sur la concentration d’iode, dont l’atténuation est plus forte que celles de l’eau et du PMMA, peut entraîner une variation relativement plus importante sur ces deux matériaux. Cependant, l’ajout d’a priori permet de mieux quantifier l’iode, ce qui influe positivement sur l’estimation de la densité glandulaire par la méthode proposée. De plus, les performances améliorées de l’approche bayésienne doivent permettre une meilleure estimation de la densité glandulaire dans le cas particulier d’une décomposition en base de 3 matériaux (eau, PMMA, iode) alors que la région étudiée ne contient que de l’eau et du PMMA.

En l’absence d’iode, l’ajout d’un a priori permet également de diviser l’erreur quadratique moyenne par un facteur 2 par rapport à la méthode sans a priori, quel que soit le nombre de canaux d’énergies employés, comme présenté sur la Figure 98.

Figure 98. Erreur quadratique moyenne sur la densité glandulaire lorsque l'iode est à 0 mg/mL par une décomposition en base de 3 matériaux avec des méthodes sans et avec a priori.

Les résultats sont détaillés en termes de biais et de bruit entre 10 % et 100 % de densité glandulaire en Figure 99 et en Figure 100. L’ajout de la fonction d’a priori permet de réduire le biais sur l’estimation de la densité glandulaire en affichant une valeur inférieure à 0,1 % à partir de 5 canaux d’énergie, contre environ 1 % avec l’approche par maximum de vraisemblance.

Cependant ce gain ne se vérifie pas sur toute la gamme de densité, puisque l’on peut noter une légère augmentation du biais dans la zone représentant une densité glandulaire de 100 % (biais de -0,7 % sans a priori et de -0,9 % avec a priori). L’écart entre ces valeurs de biais est de l’ordre de grandeur du pas d’interpolation sur la densité dans une base à 3 matériaux. Comme expliqué dans le chapitre 4, aux limites du domaine de calibration (cas de l’eau pure qui constitue une densité glandulaire de 100 %), l’interpolation de la base de calibrage se retrouve biaisée en raison d’un manque de voisins. Une solution pour y remédier serait d’inclure des points de calibrage à plus de 100 % de densité (par exemple avec un matériau plus dense). Dans un cas concret, les zones les plus glandulaires (denses) attirent l’attention particulière des radiologues, ainsi une légère erreur sur l’estimation de la densité glandulaire dans ces régions n’aura que très peu d’impact sur la qualité d’un diagnostic.

Figure 99. Biais dans les différentes ROI de densité lorsque l''iode est à 0 mg/mL par une décomposition en base de 3 matériaux avec des méthodes sans et avec a priori (respectivement gauche et droite).

Figure 100. Bruit dans les différentes ROI de densité lorsque l''iode est à 0 mg/mL sans et avec a priori (respectivement gauche et droite).

Le bruit se trouve également diminué par l’utilisation de l’a priori dans toutes les ROI, à l’exception de celle contenant 100 % de tissu glandulaire. L’utilisation de l’approche bayésienne permet de réduire ce bruit d’environ un tiers entre 10 et 90 % de densité, ce qui est comparable au gain sur l’erreur quadratique moyenne, majoritairement influencée par le bruit.