Images
0 5 10 15 20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Erreur de reprojection en pixels
Fig. C.4 Erreur de reprojection du modèle de la caméra estimée lors du calibrage. Chaque barre représente l’erreur de reprojection moyenne pour une image de référence donnée. La ligne en traits pointillés représente l’erreur de reprojection moyenne.
contour [Chan et al., 2001], décrite au chapitre 2, permet d’obtenir la trajectoire du point dans le repère Ri. La conversion des coordonnées en pixels du point en coordonnées du repère R0
de la scène réelle est effectuée grâce à une relation analogue à la relation C.3, avec la fonction pointsToWorldde MatLab.
C.3 Incertitude de mesure
Afin d’estimer l’incertitude de mesure lors de l’utilisation de la caméra, nous utilisons la loi de propagation des incertitudes, en supposant que les différents effets pris en compte dans le calcul ne sont pas corrélés. Les incertitudes composées sur la mesure de position sont calculées pour chaque direction, i.e. u(x)etu(y). Les incertitudes types selon chaque directioniprises en compte sont :
• l’incertitude de répétabilité des mesures de trajectoire du point de l’effecteur, égale à √σin, calculée à partir de l’écart-type expérimental σi pour n = 5 mesures (type A [Courtier et Giacomo, 2003]),
• l’incertitude sur l’estimation des paramètres de la caméra σcalibi√m , calculée lors du calibrage pour m= 180points identifiés dans les photographies (type A).
L’incertitudeσcalib est calculée à partir des erreurs de reprojections décrites précédemment : il s’agit de l’écart-type de l’ensemble des distances ǫdi entre tous les points détectés et leur reprojection, dans le repère R0. Nous avons, en fonction de la distance moyenne ¯ǫdi :
σ2calib= 1 m
i=mX
i=1
(¯ǫdi−ǫdi)2 (C.4)
La formule générique pour calculer l’incertitude-composée u(i), en fonction de l’écart-type des mesures est :
u2(i) = σi
√n 2
+
σcalib
√m 2
(C.5) Nous précisons que le calcul del’écart-type dépend de la position des points mesurés. Nous calculons enfin les incertitudes élargies Ui =ku(i) sur les mesures de déplacement du robot via la caméra rapide, pour un coefficient d’élargissementk= 2 :
Ux = ±0,10 mm Uy = ±0,09 mm
(C.6) La représentation des incertitudes élargies sur l’estimation du déplacement du robot au cours du temps est donnée par la figure 2.22. La trajectoire du robot, sa comparaison avec la consigne et l’incertitude de mesure sont données par la figure 2.21.
Annexe D
Mesures sur le clavecin
D.1 Temps de stabilisation des amplificateurs différentiels
La durée del’expérience sur le clavecin étant plus longue que celle du calibrage du capteur, il est nécessaire de prendre en compte la dérive temporelle des amplificateurs différentiels du pont de jauges. La figure D.1 montre qu’en alimentant les amplificateurs, sans que le pont ne soit actif, leur tension augmente au cours du temps, et se stabilise après 10 min environ. Nous choisissons d’allumer l’appareil chauffer 15 min avant le début de l’expérience pour le laisser se stabiliser.
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temps [min]
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Tension du pont [mV]
Pont 1 Pont 2
Fig. D.1 Évolution de la tension des amplificateurs différentiels du pont de jauge au cours du temps. Les courbes bleue et verte correspondent respectivement aux tension mesurées des amplificateurs 1 et 2.
L’étude mécanique des instruments de musique met en œuvre l’étude des musiciens, des instruments et de l’interaction complexe qui existe entre eux. L’analyse du geste musical nécessite de nombreuses mesures sur des musiciens pour en extraire les paramètres pertinents qui permettent de construire un modèle d’interaction mu-sicien / instrument. Dans le cas des instruments à corde pincées, il s’agit de déterminer les conditions initiales imposées à la corde par le mécanisme de pincement contrôlé par le musicien (plectre, doigt). Comment obtenir tous ces paramètres sans perturber le jeu du musicien ? Comment vérifier qu’ils sont les seuls à déterminer la vibration future de la corde et lui donner sa signature acoustique ? Une plate-forme expérimentale robotisée a été mise en place pour répondre à ces questions. Elle permet de reproduire le geste des musiciens, en particulier des harpistes et des clavecinistes. Il faut préciser ici que la notion de geste musical s’entend au sens large : le robot peut soit reproduire complètement la trajectoire suivie par le doigt du musicien, soit imposer les conditions initiales résul-tant de cette trajectoire, indépendamment du chemin suivi. Le premier cas est adapté à la résolution de problème de dynamique inverse pour accéder aux efforts articulaires mis en jeu par le musicien pendant l’accomplissement d’un extrait musical. La second cas sera privilégié pour imposer des conditions initiales à l’instrument, par l’inter-médiaire de trajectoires d’études conçues spécifiquement par l’expérimentateur. La reproduction des trajectoires avec le robot nécessite de rejeter les perturbations introduites par le contact avec l’instrument. La conception d’un capteur d’effort intégré au robot a permis de satisfaire partiellement cette exigence. Après le détail de la conception de la plate-forme robotisée, de sa validation comme un outil d’étude juste et répétable, un exemple d’utilisation est présenté dans le cadre d’une étude sur l’harmonisation des becs de clavecin. L’harmonisation est un processus complexe de réglage de l’instrument, réalisé par le luthier. Un modèle prenant en compte le toucher pendant l’interaction plectre / corde, et intégrant la géométrie du plectre résultant de l’harmonisation, ainsi que des expériences effectuées sur un clavecin, montrent que la forme du plectre affecte non seulement les conditions initiales de vibration des cordes de l’instrument mais aussi le toucher du claveciniste.
Abstract
The study of musical instruments involves the study of musicians, instruments and of the complex interaction that exists between them. The analysis of musical gestures requires numerous measurements on musicians to extract the relevant parameters in order to model their interaction. In the case of plucked string instruments, the goal is to determine the initial conditions imposed on the string by the plucking mechanism (plectrum, finger).
How does one get all these parameters without disrupting the musician in playing conditions ? How can one know that the parameters are the best ones to describe the initial conditions of the string vibrations and its acoustic signature ? An experimental platform has been designed to answer these questions. It can reproduce the gesture of a musician, in particular of a harpist or a harpsichordist. It should be pointed out that the concept of a musical gesture is defined here in a broad sense : the robot can reproduce either the path followed by the musician’s fingers, or the initial conditions resulting from this trajectory. The first method is particularly suited for the resolution of an inverse dynamic problem. One can then calculate the forces developed by the musician’s muscles during the execution of a musical piece, for example. The second method is better suited for imposing specific initial conditions on the instrument through trajectories designed by the experimenter. The correct reproduction of the trajectories needs to reject disturbances due to the contact between the robot and the instrument. The design of a force sensor, integrated into the robot end effector, is a first step toward satisfying this requirement.
After the design of the robotic platform, its precision and repeatability is investigated. The force sensor is then integrated on the robot end effector, and an example of its use is presented. The experiment is focused on the harmonization of the harpsichord plectra. Harmonization is a complex process of adjustments achieved by the luthier on the instrument. A model of the plectrum / string interaction, taking into account the geometry of the plectrum, as well as experiments performed on a real harpsichord, show that harmonization have an impact on the string initial conditions of vibration.