4.3 Détermination des différents modèles
4.3.4 Le modèle de plectre
L’intérêt de notre modèle réside dans la prise en compte de la géométrie réelle du plectre dans les équations. Pour commencer, puisque le mouvement de la corde est ramené au mouvement plan d’un tronçon de celle-ci, seule la géométrie de la poutre modélisant le plectre en contact avec la corde est à prendre en compte. Deux méthodes ont été envisagées : la première consiste à inclure dans les équations classiques de flexion d’une poutre la description géométrique du plectre, la seconde consiste à utiliser un modèle éléments finis du plectre, permettant d’approcher au mieux sa géométrie.
Modèle de poutre à section variable
La méthode et les hypothèses utilisées pour établir le modèle de flexion du plectre sont proches de celles exposées dans [Perng, 2012]5. Nous rappelons ici les hypothèses utilisées :
• le matériau du plectre est élastique et isotrope,
• la largeur W de la poutre est constante,
• la hauteurh de la poutre est variable,
• le plectre est sollicité en flexion pure dans un plan,
• la flexion est causée par une force ponctuelle,
• les frottements entre le plectre et la corde sont négligés,
• les déformations et les contraintes locales restent faibles au sein du plectre.
L’absence de frottement entre la corde et le plectre implique que la direction de l’effort ponctuel F~sp est toujours normale à la fibre neutre du plectre. L’hypothèse sur les déformations et les contraintes locales permet d’effectuer des approximations dans les calculs qui restent valables dans le cas de petites déformations et de grands déplacements. La figure 4.9 présente le plectre encastré dans le sautereau.
Nous cherchons maintenant à établir les équations de flexion d’un plectre en fonction de sa géométrie. Nous commençons donc par isoler un tronçon de poutre de longueur initiale dlpour effectuer le bilan des actions mécaniques s’exerçant sur celui-ci, comme le montre la figure 4.10.
Les actions exercées sur ce tronçon sont le moment enO,−M, l’effort~ F~ sur la face de gauche, le momentM~ + dM~ enO′ et l’effortF~ sur la face de droite. Nous notonsdφl’angle formé entre les deux faces du tronçon. Étant donné que l’on suppose un faible état de déformation au sein du plectre, l’angledφ est très faible. Nous pouvons ainsi supposer que la fibre neutre est rectiligne et dirigée par le vecteur unitaire~t. Nous complétons le repère de Frenet attaché à la fibre neutre en construisant un vecteur~n normal à~t. Par définition, nous avons donc :
5. Section 2.4, page 27.
section de poutre déformée plectre
sautereau
fibre neutre VUE DE DÉTAIL
section de poutre avant déformation
Fig. 4.9 Schéma du modèle mécanique du plectre. L’angleφest le même angle que celui défini dans la figure 4.8. Il s’agit de l’angle de flexion de la fibre neutre du plectre.
n=
dt dl
||dtdl|| (4.18)
Le dernier vecteur du repère est calculé par le produit vectorieln∧t=x.
tronçon de poutre
fibre neutre
Fig. 4.10 Tronçon de poutre en équilibre quasistatique
En écrivant maintenant la somme des moments exercés sur le tronçon de plectre au pointO, nous obtenons :
−M +M + dM + dlt∧F = 0
=⇒ ddlM = F ∧t
(4.19)
Les hypothèses de départ permettent de simplifier directement le membre de droite de l’équa-tion 4.19. En effet, comme nous supposons que l’effort de flexionFspest normal à la fibre neutre, l’étude de l’équilibre des tronçons successifs de la poutre permet de montrer queF =Fsp=Fspn.
Nous avons doncF∧t=Fspn∧t=Fspx. Pour exprimer le momentM=M +d M, nous suivons la méthode décrite dans [Perng, 2012], et nous considérons que le moment M exprimé en O
4.3. Détermination des différents modèles résulte de la somme des moments dM~′ exercés par chaque filament en état de traction ou de compression autour de la fibre neutre, comme le montre la figure 4.11.
tronçon de poutre
fibre neutre filament
Fig. 4.11 Calcul du moment M’, résultante des moments élémentaire d ~M′ de chaque filament du tronçon de plectre.
Le moment dM~′ calculé enO′ s’exprime comme le produit d’une force élémentairedF~n par la distance entre le filament et la fibre neutre :
dM~′ =−z~n∧dF~n (4.20)
La forcedF~n provient de l’état de déformation du filament. La contrainte au sein de celui-ci est σn~t= dFdSn~t, où dS =Wdz est la section du filament. L’élongation du filament de longueur initiale dl étantzdφ, nous pouvons écrire :
dF~n=Ezdφ
dl dS~t (4.21)
où E est le module de Young du matériau du plectre. Le moment exercé par le filament en O′ est alors :
dM~′ = −Ez2 dφdldS~n∧~t dM~′ = −Ez2 ddlφdS~x
(4.22)
Il ne reste plus qu’à sommer les momentdM~′ pour obtenir le momentM~′ : M~′ =Z dM~′ =−E
Z
z2dSdφ
dl~x (4.23)
La quantité R z2dS est le moment quadratique d’inertie du tronçon de poutre au point O′, que l’on note Il. Cette quantité dépend de la variable l, et permet de prendre en compte la
variation de la hauteur h du plectre sur sa longueur. En un point d’abscisse curviligne l du plectre, sa valeur6 est Il=Rh/2h/2z2Wdz= h(l)123W.
En reprenant l’équation 4.19 et en substituant le membre de gauche par le résultat obtenu dans l’équation 4.23, et en projetant dans la direction~x, nous obtenons l’équation de flexion du plectre :
Le plectre est encastré en l = 0 et d’extrémité libre en l = L, les conditions aux limites permettant de résoudre l’équation 4.24 s’écrivent donc :
Le calcul de la primitive deFsp en fonction de ldonne :
Rl
Puis nous procédons à une seconde intégration selonl et nous obtenons :
Rl
Dans le cas oùIlest constant par morceaux sur toute la longueur du plectre, le calcul deφest possible analytiquement. La forme du plectre est donc prise en compte pour chaque pas de calcul.
Pour les autres cas, φ est calculé numériquement, en remplaçant l’intégrale de l’équation 4.27 par une somme discrète, et ainsi le plectre est approché par une poutre de section Il variant à chaque pas de calcul.
Enfin, les coordonnées(yp, zp)des points de la déformée du plectre se calculent de la manière suivante :
Cette formulation permet de respecter l’hypothèse de grands déplacement et a déjà été utilisée dans le modèle présenté dans [Perng, 2012].
6. Ce calcul suppose que le plectre est symétrique par rapport à la fibre neutre.
4.4. Simulation du modèle