Influence de l’excitation

Par souci de simplification, tout au long de cette étude, l’excitation sera considérée comme produite par couplage électromagnétique ou par diffraction, puisqu’elle présente l’avantage de ne pas dénaturer les résonateurs par la connexion d’élément physique. Mais, dans la pratique, sur des technologies présentant d’importantes pertes, ce postulat n’est pas réaliste, et l’excitation doit être produite par injection directe de courant sur les résonateurs extérieurs. Dans le plan complexe, les cercles représentatifs des impédances d’entrée de chacun des états |k - (Fig.2.2 et Eq.(2.4)) - montrent bien le problème posé par l’excitation. Dans la Fig.2.2, l’on s’intéressera uniquement aux valeurs de Xe_k (en négligeant Re_k), représentées par des rectangles mauves sur la figure ; les autres

propriétés de ces cercles et les nomenclatures des états seront explicitées par la suite. Il est également important de constater que l’impédance d’entrée de chaque état propre forme bien un cercle dans le plan complexe : cette remarque permet de justifier l’utilisation de la méthodologie décrite dans la partie 2.1.2. 0 40 80 120 160 200 240 280 320 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 Re[Zin k](Ω) Im[Zin k ] Zin_e Zin_o Zin o Zin_ee Zin_eo 1 2 3 X e ee X e eo X e_o (a) 0 40 80 120 160 200 240 260 −100 −60 −20 20 60 100 140 160 Re[Zin k](Ω) Im[Zin k ] Zin_e Zin_o Zin_ee Zin_eo Zin_oo Zin_oe 3 4 2 1 (b)

Fig. 2.2: Mise en évidence du rôle de l’excitation - Résultats expérimentaux - Cercles représentatifs, dans le plan complexe, des impédances d’entrée Zink mesurées sur des structures symétriques comprenant respectivement trois (a) et quatre résonateursλ/4 (b), excitées par injection directe de courant. Les valeurs 1, 2, 3 et 4 correspondent à l’ordre d’apparition fréquentielle croissante des états|k.

L’on peut faire deux observations sur les cercles observés :

1. chacun des états présente une valeur de Xe_k différente, et son comportement dans les Fig.2.2(a)

et Fig.2.2(b) fluctue en fonction de la fréquence : il peut être de type inductif ou capacitif, selon son signe

2. l’on peut noter la décroissance de sa valeur en fonction de la fréquence puisque les états propres apparaissent par ordre fréquentiel, comme |EE, |O et |EO dans un système à 3 résonateurs parallèles, et comme |EE, |OE, |EO, |OO pour un système à 4 résonateurs. Autrement dit, si l’on se réfère à la Fig.2.2(b), l’excitation passe d’un comportement inductif à un comportement capacitif dans le cas de 4 résonateurs

2.1 L’analyse de la réponse d’un système de N résonateurs

Il est également important de prendre en considération les intersections qui ferment les cercles dans la partie du plan complexe présentant une partie réelle faible. Dans un cas idéal, cette in- tersection - nommée “detuned crossover point” dans [19], et dont les coordonnées sont uniquement utilisées pour quantifier la surtension des résonateurs présentant un très fort coefficient de qualité “High Q” - devrait se faire au même niveau, en ordonnée, que le maximum de partie réelle Ro_k.

La position de cette intersection dans nos travaux est liée au fait que les états propres ne sont pas réellement découplés, c’est-à-dire que l’apparition d’un nouvel état propre peut se faire alors que l’état propre précédent n’a pas encore disparu.

Autrement dit, d’un point de vue formel, si l’excitation d’un état|k peut être représentée par une perturbation |pk, et sa distribution de champs (électrique et magnétique) à vide à la pulsation

ω_0k par le vecteur|F_0k, l’on peut écrire, pour la distribution de champs en charge |Fk :

|Fk = |F0_k + |p (2.8)

Ceci implique donc que ∀ ωy/ ω0_k > ωy > ω0_k+1, Fk(ωy) = 0, et Fk₊₁(ωy) = 0. C’est-à-dire

que en dehors de la pulsation de résonance de l’état|k, la répartition de champs électromagnétiques à la pulsation ωy est une combinaison linéaire des répartitions de champs|Fk et |Fk+1, soit :

|Fy = a |Fk + b |Fk₊₁ (2.9)

où a et b sont des réels fonctions de l’excitation. A titre d’exemple observable, l’état|O d’un système à trois conducteurs doit présenter un zéro de courant sur le conducteur central Eq.(1.15) ou Eq.(1.14) : or, les répartitions de courant extraites des simulations électromagnétiques montrent que, dans le cas d’un système à trois résonateurs excité par injection de courant, aucun état propre ne présente un courant nul sur le conducteur central ; en revanche, lorsque cette excitation se fait idéalement, cet état de courant apparaît.

Ce cas d’excitation quasi “idéale” est réalisable par simulation électromagnétique, en simulant la structure avec des excitateurs de dimension réduite (une infime fraction des longueurs d’onde utiles dans la bande), couplés de façon électromagnétique au système à N résonateurs. L’on démontre [22] que, dans le couplage par proximité, l’impédance d’entrée de l’excitateur est analytiquement calculable, et peut être représentée par l’impédance d’un tronçon de ligne en circuit ouvert. Dans ces conditions, tous les cercles sont presque centrés sur l’axe des abscisses (l’on a Xe_k ≈ 0, car il

possède tout de même une longueur électrique, faible, mais existante), et les états sont totalement découplés les uns des autres (intersection fermant les cercles positionnés sur l’axe des abscisses). Dans l’ensemble du travail qui suit, et pour les différentes études, nous nous placerons dans ce cadre bien particulier, tout en gardant conscience du rôle que peut avoir l’excitation sur les états propres du système.

Discussion sur l’orthogonalité des états dans les systèmes symétriques

Dans le chapitre 1, nous avons déjà montré que l’orthogonalité des états des systèmes à N conducteurs était discutable, si le système était considéré à pertes ou si le système n’était plus symétrique (puisque sa matrice d’impédance ne l’était plus). Ici, nous considérerons un système

Chapitre 2 : Systèmes Multi-résonateurs : L’Approche des Résonateurs Composés

symétrique sans pertes, en cherchant à savoir si l’excitation influe sur l’orthogonalité des états. Si l’on reprend les notations utilisées précédemment : soit F₀, la matrice des vecteurs propres du système excité par ces excitations propres (pas de couplage avec l’excitateur, conditions aux limites non perturbée), l’on a F₀=[|F₀₁ ,|F₀₂ ,...,|F_0k ,...,|F_0n ], et F, la matrice des vecteurs propres du système excité par l’excitation E, avecF=[|F₁ ,|F₂ ,...,|Fk ,...,|Fn ]. L’on sait que |Fk=|F0_k

+|pk. Si on calcule, le produit scalaire :

Fk| Fp =  F_0k | F_0p+ F_0k | pp +  pk| F0_p  + pk| pp (2.10)

Par définition, nous savons que le premier terme est nul (dans un cas sans pertes), puisque les états propres à vide sont par nature orthogonaux entre eux, mais rien ne laisse supposer que les autres termes comprenant la perturbation liée à l’excitation puissent être égaux à zéro. Autrement dit, l’on perd l’orthogonalité des états propres par l’excitation.