La Matrice Densité
4.12 Impulsions de gradient de champ statique
4.12.1 Principe
Pendant l’acquisition du signal de RMN, l’intensité du champ magnétique doit être aussi uniforme que possible dans le volume utile de l’échantillon, si le but poursuivi est l’enregistrement d’un spectre de haute résolution. La situation est sensiblement différente en imagerie. Comme cela a déjà mentionné, les inhomogénéités de B0 conduisent à un raccourcissement deT∗
2 par rapport àT2 et à un élargissement des raies spectrales après TF du signal enregistré.
L’introduction d’inhomégénités de durée et d’intensité contrôlées, avant l’acquisition, permet en particulier de sélectionner un chemin de transfert de cohérence parmi plusieurs. Cela ne nécessite qu’une seule acquisition et non pas la co-accumulation de plusieurs signaux obtenus selon le programme de phase. Le rapport signal sur bruit pour un même échantillon et à temps d’enregistrement constant n’est toutefois jamais meilleur qu’avec le cyclage des phases.
Une bobine de fil conducteur, de géométrie particulière et parcourue par un courant, engendre un champ magnétique inhomogène au sein de l’échantillon. On peut montrer qu’avec les ordres de grandeur deB0 et du champ additionnel produit par cette bobine, la direction du champ −→B
0 n’est pas significativement affectée. La composante −→B 0z de
− →B
0 détermine toujours la fréquence de Larmor et donc seules les variations de−→B 0z sont
4.12. IMPULSIONS DE GRADIENT DE CHAMP STATIQUE
125 à prendre en compte. En un point donné de l’échantillon, de coordonnées(x0, y0, z0), legradient de−→B
0z(x, y, z)est le vecteur défini par :
− → G(x0, y0, z0) = (Gx, Gy, Gz) = ∂B0z ∂x x=x0 , ∂B0z ∂y y=y0 , ∂B0z ∂z z=z0 ! (4.193) Une bobine dite "de gradientx" est conçue de manière à ce queGyetGzsoient nuls et que
Gx soit uniforme, c’est-à-dire indépendant de l’endroit choisi dans l’échantillon et donc dex0. Les bobines de gradient yet de gradientz sont conçues de manière analogue. Un gradient uniforme est accessible au moyen de trois bobines d’axes orthogonaux, chacune étant à l’origine de chaque composante du vecteur−→G
.
− →G = (G
x,0,0) + (0, Gy,0) + (0,0, Gz) (4.194)
Chacune des trois composantes de−→
G a une intensité qui est directement proportionnelle à l’intensité du courant qui traverse la bobine correspondante. Il suffit donc de trois bo-bines et de trois amplificateurs de courant pilotables numériquement par l’ordinateur qui contrôle le spectromètre pour produire à volonté une inhomogénéité de−→B
0 de caractéris-tiques connues.
La géométrie des bobines est telle qu’en un point au voisinage du centre de l’échan-tillon−→B
0zne soit pas affecté par le gradient et vailleB00, sa valeur en l’absence de courant dans les bobines. Le point de champ invariant sera pris comme origineO du système de coordonnées dans le référentiel du laboratoire. En un pointM tel que−−→OM =−→r(x, y, z)
et en présence du gradient uniforme−→G
,
B0z =B00+xGx+yGy+zGz =B00+−→r ·−→G (4.195)
équation qui satisfait à la définition 4.193 et à l’uniformité des gradients si Gx, Gy et
Gz sont indépendant de x,yetz. La figure 4.15 montre l’action surB0z d’un gradientz
uniforme.
Les gradients de champ −→B
0 sont établis au cours d’une séquence d’impulsions à des moments bien précis pendant une durée limitée (de l’ordre de la milliseconde). On parle alors d’impulsions de gradient de champ statique. Notons qu’il est aussi possible de mettre à profit en spectroscopie et en imagerie des impulsions de gradient de champ RF (gra-dientsB1) qui ne seront pas abordées ici.
Un noyau I d’offset ΩI a une pulsation de résonance ωI(−→r = −→0 ) = ωrf + ΩI à l’origineO du système de coordonnées. Une augmentation deB0 de−→r ·−→G entraîne au
z B0z
B00
0
FIGURE4.15 –Variation du champ statique en fonction dezen présence d’un gradient uniforme.
pointM une augmentation de pulsation de résonance deγ−→r ·−→G: ωI(−→r) =ωrf
+ ΩI +γ−→r ·−→G (4.196)
Tout se passe donc comme si
ΩI(−→r) = ΩI +γ−→r ·−→G (4.197)
Un état initial σ0(−→r) = I
−, traduisant l’existence d’une aimantation transversale dé-tectable, devient au bout du tempsτ :
σ(τ,−→r ) = exp(i(ΩI +γ−→r ·−→G)τ)I− (4.198)
= exp(iΩIτ) exp(iγ−→r ·−→Gτ)I− (4.199)
= exp(iγ−→r ·−→Gτ)σ(τ,−→0 ) (4.200)
La phase φ de l’aimantation, angle entre −→
Mxy et l’axe OX du référentiel tournant, vaut donc ΩIτ à l’origine et ΩIτ +γ−→r · −→Gτ au point M. La phase à l’origine et au
tempsτ reflète simplement la précession "naturelle" de l’aimantation pendant la durée de l’impulsion de gradient.
Le gain∆φde phase de l’aimantation causée par l’impulsion de gradient est alors : ∆φ(τ,−→r) =φ(τ,−→r)−φ(τ,~0) =γ−→r ·−→Gτ (4.201)
Soit−→u le vecteur unitaire directeur du gradient : −
→G =G−→u
(4.202) La décomposition de−→r en ses composantes−→rk et−→r⊥respectivement parallèles et
per-pendiculaires à−→u donne
∆φ(τ,−→r) = γ(−→rk +−→r⊥)·−→Gτ (4.203)
= γ−→rk·−→Gτ (4.204)
4.12. IMPULSIONS DE GRADIENT DE CHAMP STATIQUE
127 indépendemment de−→r⊥. Ainsi tous les points tels que les vecteurs−→r ne différent entreeux que par −→r⊥, c’est-à-dire tous ceux qui sont dans un même plan perpendiculaire à −
→
G, présentent le même gain de phase. Un plan isophase est caractérisé par sa distancerk
à l’origineO mesurée le long de la direction de−→G. Deux plans isophases présentent un
écart de phase de2πlorsque leur distanceλest donnée par :
2π = γGτ λ (4.206)
soit λ = 2π
γGτ (4.207)
et qui est une longueur qui définit la périodicité de la phase de long de−→u.
Puisqu’une longueur d’onde est une période spatiale (distance entre deux répétitions d’un phénomène périodique dans l’espace), on peut lui associer une fréquence spatiale 1/λet une pulsation spatialek= 2π/λ:
k =γGτ (4.208) telle que ∆φ(τ,−→r) = krk (4.209) ∆φ(τ,−→r) = −→k · −→r (4.210) avec −→k = k−→u (4.211)
sachant que dans ce contexte le vecteur−→k n’est pas le vecteur directeur de l’axe Oz du
référentiel du laboratoire. Le vecteur−→k
est appelé vecteur d’onde :
− →k
= (kx, ky, kz) = (γGxτ, γGyτ, γGzτ) (4.212)
Le plus souvent l’impulsion de gradient n’a pas une forme rectangulaire car l’éta-blissement et la coupure brutale du courant dans la bobine de gradient causent des per-turbations deB0 qui perdurent au delà du temps souhaité. Parmi les formes d’impulsion courantes figure l’arche de sinusoïde (la fonction sinus prise entre 0 et π). Dans le cas général : ∆φ(τ,−→r) = γrkZ τ 0 G(t)dt (4.213) = γτ rk Z τ 0 1 τG(t)dt (4.214) = γhGiτ rk (4.215) = h−→ki · −→r (4.216)
où la notationh.iindique une valeur moyenne. Du fait de l’analogie entre les équations 4.210 et 4.216,−→k désignera par la suite toujours le vecteur−→k moyen.
En résumé, la phase de l’aimantation observable est augmentée au point M(x, y, z) d’une quantité∆φ(τ,−→r)par rapport à la phase à l’origine du fait de l’impulsion de
gra-dient de champ statique−→
G de duréeτ :
∆φ(τ,−→r ) = −→k · −→r (4.217)
avec −→k = γ−→Gτ (4.218)
Ce résultat est exploitable soit pour la compréhension des séquences impulsionnelles d’imagerie, soit pour la sélection des chemins de transfert de cohérence en spectrosco-pie. C’est vers cette dernière direction que la suite du texte est orientée.
4.12.2 Sélection d’un chemin de transfert de cohérence
Des impulsions de gradient de champ statique sont introduites pendant les périodes d’évolution libre des séquences d’impulsion afin de sélectionner un chemin de transfert de cohérence. Cela laisse libre le choix pour chaque impulsion de l’intensitéG et de la durée τ, en considérant, dans une première approche, que les gradients seront tous de directionOz :
∆φ=kz =γGτ z (4.219)
Impulsion RF – Gradient – Détection
Cette séquence est sans intérêt pratique comme cela deviendra bientôt évident, mais elle permet d’introduire la condition d’observation d’un signal dans les expériences utili-sant les gradients. A la fin de l’impulsion RF un étatσ1 = I−va être créé. Il va évoluer pendant l’impulsion de gradient jusqu’à σ2 avant d’être détecté. Sans que cela n’ait de conséquence sur le résultat final, un système à un spinI sera considéré ici. Au point ori-gineO, où règne toujours le champB00 quelque soit l’intensité du gradient, la phase de l’aimantation estΩIτ du fait son évolution libre. A l’altitudezde l’échantillon :
φ= ΩIτ +kz (4.220)
et donc