2.7 Conclusion de ce chapitre
3.1.5 Implémentation pour des systèmes de faible dimension
a ne pas rater
Fig.3.12 – Exemple de maximum global difficile à détecter.
conduire à des maximums locaux négatifs et aboutir à la conclusion d’une convergence sur la totalité de l’espace analysé. Pourtant, rien ne garantit que les valeurs initiales conduisent la recherche dans la région où Ψi(ρ) devient positif. Pourtant, ce type de dis-continuité est courant avec les systèmes non linéaires.
Pour des systèmes non linéaires de faible dimension, une recherche exhaustive est donc préférable.
3.1.5 Implémentation pour des systèmes de faible dimension
Pour une équation dynamique :
3.1 L’outil d’analyse semi-globale 81
Avec V ∈Rnun vecteur d’état de dimension faible. Dans l’exemple qui suit, la dimension de ce vecteur est de trois. Ainsi, il devient possible de parcourir l’ensemble du vecteur d’état sans recourir nécessairement à un parcours optimal de l’espace d’état. Cela exclut toute particularité isolée sans accroître pour autant le temps de calcul exorbitant pour des systèmes de faible dimension.
Afin d’apporter un maximum d’informations, le nombre d’instants d’échantillonnagei
minimum pour vérifier la condition d’attraction est tracé en fonction de la distance ρ au vecteur d’état désiré :
ic(ρ) = min i∈{0,iM ax}{i| sup kV −Vdk=ρ e p∈P kG(i)(V,pe)−Vdk<kV −Vdk} (3.12)
L’équation (3.12) traduit la recherche de la région d’attraction pour un coût de calcul minimal. En effet, si un algorithme optimal évite le parcours complet de chaque surface, la recherche ainsi menée évite en plus tout calcul des instants d’échantillonnage suivant le premier instant vérifiant la condition d’attraction. Il nécessitera donc moins d’opérations de détecter le premier i tel que l’inégalité (3.12) est vérifiée. En outre, cette approche permet d’analyser l’évolution de ρ1,ρ2 etρmax en fonction du nombre d’instants d’échan-tillonnage i nécessaires comme illustré sur la figure 3.13.
Maintenant, le rayon ρc
1 correspond à :
ρc1 =min{ρ | ic(ρ) existe} (3.13) Il s’agit en effet du plus petit rayon pour lequel ic(ρ) existe.
De même, on peut définir ρ2 comme le plus grand rayon tel que ic(ρ) existe :
ρc2 =max{ρ |ic(ρ0)existe ∀ ρ0 6ρ} (3.14) L’évolution deρ1 etρ2apparaît clairement sur la figure 3.13.a. La figure 3.13.b trace le premier instant d’échantillonnageitel que la condition d’attraction est satisfaite (équation (3.12)). L’évolution de ρ1 et ρ2 se lit effectivement bien alors qu’il n’a pas été nécessaire de calculer l’évolution du système pour 60instants d’échantillonnage comme c’est le cas sur la figure 3.13.a. Considérons iciρ1 seulement. La figure 3.13.c met bien en évidence la dépendance de ρ1 en fonction dei. Cependant, comme la figure 3.13.b réunit les informa-tions surρ1 etρ2 simultanément, il n’est pas nécessaire de tracer le résultat sous la forme
82 Chapitre 3. Analyse des PLLs de la figure 3.13.c. i= 10 i= 20 i= 30 i= 40 i= 50 i= 60 ρ1(50) ρ1(40) ρ1(30) ρ1(20) ψi(ρ) = sup kV−Vdk=ρkG(i)(V,pe)−Vdk ρ 3.13.a Critère (3.4) ic ρ iM ax 50 40 30 20 ρ1(50) ρ1(40) ρ1(30) ρ1(20) * ρc 1 ρc 2 3.13.bi en fonction de ρ ρ1 i 20 30 40 50 ρ1(20) ρ1(30) ρ1(40) ρ1(50) 3.13.c ρ1 en fonction dei
Fig. 3.13 – Illustration de la dépendance de ρ1 en fonction de i.
La figure 3.13.b montre bien qu’il est possible d’obtenir autant d’information utile que dans la figure 3.13.a pour moins de calcul avec l’évolution de ρ1 et ρ2 en fonction de i. Les régions de l’espace d’état qui nécessiteront de plus d’instants d’échantillonnage avant de se rapprocher du vecteur d’état désiré apparaissent aussi.
Pour des systèmes de dimension faible, il serait dommage de se priver d’autant d’infor-mations pour un coût de calcul réduit. De même, sans plus de calcul, il est aussi possible de connaître l’évolution de ρmax en fonction deρ1 et a fortiori en fonction de ρ :
La figure 3.14 illustre autrement l’équation (3.12) et montre qu’il n’est pas néces-saire de calculer systématiquement33instants d’échantillonnage pour valider la condition d’attraction. Sur cette même figure apparaît aussi le rayonρmax(ρ)correspondant à l’éloi-gnement maximal du vecteur d’état désiré pour toute condition initiale élément de la surface de rayon ρ.
Dans cet exemple, ic(ρ) = 33 car il faut au moins 33 instants d’échantillonnage pour vérifier la condition : sup kV −Vdk=ρ e p∈P kG(i)(V,ep)−Vdk<kV −Vdk (3.15)
Bien sûr, il faut choisir iM ax >33 sans quoiic(ρ) ne serait pas défini.
Le premier intérêt est qu’il n’est pas nécessaire de calculer systématiquement 33 ins-tants d’échantillonnages pour valider la condition (3.15) sur la surface de rayon ρ. En
3.1 L’outil d’analyse semi-globale 83
effet, moins de 10instants d’échantillonnage suffisent à la plupart des conditions initiales de l’illustration 3.14 pour valider la condition d’attraction (3.15). Il y a donc un gain immédiat de temps de calcul.
D’autre part, rien ne garantit que 33instants d’échantillonnage suffisent pour valider la condition (3.15) sur l’ensemble de la surface. Mieux vaut s’arrêter au premier instant d’échantillonnage qui valide (3.15). En effet, comme l’illustre la figure 3.14, il se peut que la condition initiale C5 élément de la surface de rayon ρ ne nécessite que de 5 instants d’échantillonnages pour valider la condition d’attraction alors que 33 instants d’échan-tillonnage ne permettent pas de le valider en raison du faible amortissement du système. Ainsi, si l’on recherche un instant d’échantillonnage unique i sur l’ensemble de la surface de rayon ρ, il faut réaliser une opération logique ‘Et’ sur la totalité de la surface : il faut que la condition (3.15) soit vraie pour un i sur toute la surface de rayon ρ. En revanche, l’expression de la recherche de ic(ρ) (3.12) équivaut à une fonction logique ‘Ou’ : il faut que la condition (3.15) soit vraie sur toute la surface de rayon ρ pour i oui−1 oui−2
ou . . . ou 0. Surf ac es validees´ ρ mρax (ρ ) i= 5 C5 i= 33 i= 6 i= 13 i= 33 i= 18 i= 9 i= 4 i= 7 i= 8 i= 8
Fig.3.14 – Illustration de la valeur minimale de inécessaire (ici ic(ρ) = 33) pour valider la contraction de la surface (exemple sur un espace à deux états).
L’intérêt de cette méthode est de limiter le nombre de calculs des instants d’échan-tillonnage. Il est inutile de calculer les instants d’échantillonnage qui suivent le premier instant qui valide la condition d’attraction. Ceci est vrai pour chaque surface évaluée comme pour chaque condition initiale de la surface analysée.
Dès lors, il est possible d’effectuer une recherche à l’aide d’une procédure d’optimisation ou par découpage de l’espace d’état. Dans ce dernier cas, la grille d’analyse doit pouvoir
84 Chapitre 3. Analyse des PLLs être affinée dans les régions où il peut y avoir une ambiguïté comme cela sera montré dans le prochain exemple.
Ceci amène donc à l’expression de ρmax en fonction deρ :
ρmax(ρ) = max kV −Vdk=ρ 06j 6ic(ρ) e p∈P {kG(j)(V,pe)−Vdk} (3.16)
En vue de la minimisation du temps de recherche, ce calcul ne s’effectue pas directe-ment mais à chaque recherche deic(ρ), la valeur maximale dekG(j)(V,pe)−Vdkest gardée en mémoire.
Dans l’exemple qui suit, nous pourrons représenter le rang i maximal nécessaire pour satisfaire la condition d’attraction en fonction du rayon ρ comme illustré sur la figure 3.13.b.
Nous pourrons aussi tracer le rayon ρmax en fonction du rayon ρ.