Énoncé du théorème amélioré

Le théorème amélioré que nous proposons dans cette section reprend les notions du théorème 1. La condition d’attraction n’est pas modifiée, mais la condition d’invariance est étendue à l’étude des systèmes mal amortis.

L’énoncé du théorème est le suivant :

Theorème 2 Soit l’équation dynamique :

V(k+ 1) =G(V(k),pe) (3.8)

Avec V ∈Rn un vecteur d’état et pe∈Rp le vecteur de paramètres.

Si il existe i∈N tel qu’il existe ρ1, ρ2 et ρmax < ρ2 satisfaisant les conditions suivantes :

(a) sup kV −Vdk6ρ1 06j 6i e p∈P kG^(j)(V,pe)−Vdk6ρmax (3.9) (b) sup ρ1 6kV −Vdk6ρ2 e p∈P kG⁽ⁱ⁾(V,pe)−Vdk6γkV −Vdk (3.10)

Alors pour toute condition initiale dansBρ2, la trajectoire rejoint la boule Bρmax et y reste.

♠

Remarque :Ce théorème dit qu’il faut trouver l’existence d’un entieritel que les scalaires

ρ1, ρ2 etρmax existent. Cette écriture dit implicitement que ces trois scalaires dépendent de l’entier i comme l’illustre la figure 3.9 pour les deux scalaires ρ₁ et ρ₂.

L’équation (3.10) correspond à la condition d’attraction du théorème précédent. L’ex-tension de ce théorème par rapport au théorème 1 porte sur la condition d’invariance qui a été modifiée. L’équation (3.9) permet maintenant de trouver la boule Bρmax tel que le système n’en sorte pas jusqu’à l’instant d’échantillonnage i qui valide la condition d’attraction (3.10).

Explication du théorème

L’équation (3.9) détermine la Boule Bρmax telle que le système n’en sorte pas pour tout instant d’échantillonnage, pour toute condition initiale élément de la boule Bρ1 et pour toutes les variations possibles de paramètres pe∈P.

L’équation (3.10) correspond à la condition d’attraction stipulant qu’il existe un entier

i tel que pour toute condition initiale élément de la couronneBρ2\Bρ1, le système tendra à se rapprocher du vecteur d’état désiré Vd après iinstants d’échantillonnage.

78 Chapitre 3. Analyse des PLLs

Illustration du théorème

La figure 3.9 illustre la condition (3.10) en fonction de la distanceρàVdet pourγ = 1. L’évolution de ρ1 et ρ2 en fonction du nombre i d’instants d’échantillonnage y apparaît pour illustrer la dépendances de ces rayons en fonction des instants d’échantillonnage dans les équations (3.9) et (3.10). En effet, pour un système mal amorti, les valeurs prises par le vecteur d’état tendent à se rapprocher des valeurs du vecteur d’état désiré après s’en être éloigné aux premiers instants d’échantillonnage. La figure 3.9 illustre ce phénomène : pour l’instant d’échantillonnage i = 10, la fonction Ψi(ρ) = sup_kV−Vdk=ρkG(i)(V)−Vdk

est supérieure à la première bissectrice du repère. Rappelons que la première bissectrice du repère traduit la condition Ψi(ρ) =kV −Vdk. Les rayons ρ1 et ρ2 ne sont pas définis pouri= 10.

Pour l’instant d’échantillonnagei= 20, les rayons ρ1 etρ2 existent. La distance séparant ces rayons s’accroît au fur et à mesure que le nombre d’instants d’échantillonnages croît.

La figure 3.10 illustre le théorème dans un espace à 2dimensions.

Ψi(ρ) = sup kV−Vdk=ρkG⁽ⁱ⁾(V)−Vdk ρ i= 10 i= 20 i= 30 i= 40 ρ1(4⁰⁾ ρ1(3⁰⁾ ρ1(2⁰⁾ ρ2(2⁰⁾ ρ2(3⁰⁾ ρ2(4⁰⁾ Fig. 3.9 – Illustration de l’évolution de

ρ1 et ρ2 en fonction dei k k+ 1 perturbation ρ2 ρ_max ρ1 8 9 Vinit

Fig. 3.10 – Illustration de ρmax sur un espace à deux dimensions

La figure 3.10 illustre l’équation (3.10) : pour toute condition initiale élément de la couronne Bρ2\int(Bρ1), le système tend à se rapprocher pouri= 9. Sur la figure 3.10, les instants d’échantillonnage k sont symbolisés par des traits. La condition (3.10) ne s’inté-resse qu’aux ieme` instants d’échantillonnage suivant, elle ne valide donc pas les instants

3.1 L’outil d’analyse semi-globale 79

d’échantillonnage intermédiaire. Cela n’exclue donc pas le fait que le système puisse sortir de la bouleB_ρ2 pendant les instants intermédiaires comme illustré sur la figure 3.10. Toute perturbation intervenant alors que le système se trouve à l’exterieur de la bouleBρ2 peut faire prendre des valeurs au vecteur d’état qui ne font pas partie des valeurs prises dans le cas nominal. L’étude de la robustesse permet de tenir compte de ce phénomène.

La condition (3.10) dit que pour toute condition initiale élément de la couronneBρ2\int(Bρ1)

le système tend à se rapprocher du vecteur d’état désiré après i instants d’échantillon-nage (i = 9 dans cette illustration) puis fini par entrer dans la boule Bρ1. La condition (3.9) dit que pour toute condition initiale élément de la boule Bρ1, et pour tout instant d’échantillonnage intermédiaire à l’instant i (ici i = 9), alors le système reste dans la boule Bρmax.

Cette approche générale se restreint toutefois à l’existence d’uniunique sur l’ensemble de l’espace d’état analysé. En effet, il peut ne pas être systématique d’attendre iinstants d’échantillonnage avant que le système se rapproche du vecteur d’état désiré V_d.

Pour des systèmes de dimensions importantes, le calcul des conditions du théorème se fait par optimisation sur les régions à analyser. Dans le cas de systèmes de faibles dimensions, il devient possible d’effectuer un parcours exhaustif de l’espace d’état sans pour autant aboutir à un temps de calcul exorbitant. Il serait donc dommage de se priver d’informa-tions supplémentaires tout en diminuant le temps de calcul par la recherche du premier instant d’échantillonnage tel que la condition d’attraction soit vérifiée.

Remarque : le théorème général ga-rantit que pour tout état élément de la couronne Bρ2\Bρ1, le système admet

Bρ1 comme un ensemble d’accumulation (3.10)).

Pour un système faiblement amorti, on ne peut plus garantir que le système y reste pour tout instant d’échantillonnage (équation (3.2)). Il faut donc se rame-ner à l’équation (3.9) pour évaluer la dis-tance maximale parcourue par le vecteur d’état au cours de i instants d’échan-tillonnage pour toute condition initiale élément de Bρ1.

Afin d’exclure le cas particulier d’un sys-tème convergent vers Bρ1 puis rebondis-sant hors de Bρ2 en un instant d’échan-tillonnage (figure 3.11), il faut imposer

ρmax < ρ2 permettant ainsi d’assurer le retour du système vers Bρ1.

ρ₂

ρmax

ρ1 Vinit

Fig. 3.11 – Illustration d’une conver-gence vers Bρ1 mais sortie de Bρ2 pour i=1.

80 Chapitre 3. Analyse des PLLs

Cas général de l’étude avec une procédure d’optimisation

Le théorème 2 assure la stabilité du système défini par la fonctionGlorsque les condi-tions (3.9) et (3.10) sont vérifiées. La condition d’attraction (3.10) assure l’évolution du système en direction de la bouleBρ1 pour un instant d’échantillonnageidonné pour toute condition initiale de la couronne Bρ2/int(Bρ1).

L’invariance de la boule B_ρmax n’est validée que si la distance entre le vecteur d’état et le vecteur d’état désiré est inférieure à un rayonρmax pour tout instant d’échantillonnage inférieur à i et pour toute condition initiale élément de la boule Bρ1 (condition (3.9)).

Ces deux recherches imposent de trouver le maximum global sur les volumes considérés afin de valider la stabilité du système sur l’espace d’état analysé. Un algorithme d’optimi-sation peut effectuer la recherche du maximum de la norme kG(i)(V,pe)−Vdk à partir de différentes initialisations. Cependant, la recherche risque d’aboutir à un maximum local inférieur au maximum global amenant à conclure faussement que le système est stable. Le choix des valeurs initiales pour la

re-cherche du maximum global est donc, comme toujours, un choix crucial. Ceci est d’autant plus vrai pour des systèmes comme la Fractional Frequency locked Loop dont la fonction de rechercheΨi(ρ)

présente des cassures.

La figure 3.12 illustre la difficulté de la recherche du maximum global avec une fonction Ψi(ρ) comparable à celle de la Fractional Frequency Locked Loop. Sur cette figure, les flèches en trait-point symbolisent l’évolution de la recherche du maximum en fonction du résultat de la fonction Ψi(ρ). Cette recherche peut

ρ Ψi(ρ) = sup kV−Vdk=ρ n kG⁽ⁱ⁾(V,ep)−Vdk − kV −Vdko maximum global ` a ne pas rater

Fig.3.12 – Exemple de maximum global difficile à détecter.

conduire à des maximums locaux négatifs et aboutir à la conclusion d’une convergence sur la totalité de l’espace analysé. Pourtant, rien ne garantit que les valeurs initiales conduisent la recherche dans la région où Ψi(ρ) devient positif. Pourtant, ce type de dis-continuité est courant avec les systèmes non linéaires.

Pour des systèmes non linéaires de faible dimension, une recherche exhaustive est donc préférable.