III - M ODELES DE ZONES COHESIVES
4. Illustration des capacités d’analyse
Le modèle cohésif décrit au § 1 est maintenant appliqué à l’analyse de la tenue d’une plaque trouée pour illustrer ses potentialités. La discrétisation des sauts de déplacement y est assurée au moyen des éléments à discontinuité interne du § 3, sachant que l’étude de cette structure a été réalisée avec des éléments d’interface dans (Lorentz et Badel, 2004).
Plus précisément, la pièce consiste en une plaque carrée en déformations planes, percée d’un trou circulaire excentré et sollicitée par des déplacements imposés le long de ses faces supérieure et inférieure, voir figure III-9.
figure III-8 – Vitesse de convergence des éléments à discontinuité interne et des éléments d’interface
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 Taille des mailles (mm)
10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1
Erreur sur le saut de déplacement (norme L2)
élément à discontinuité élément d’interface
1
Compte tenu des concentrations de contraintes initiales de part et d’autre du trou, le critère d’amorçage indique que la fissure s’initie en mode I sur la ligne de symétrie de la structure. On recherche donc le développement de fissures le long de cette ligne. Mais rien ne permet de garantir a priori que la fissure réelle se propage effectivement selon ce trajet, même si cette hypothèse sera confirmée ultérieurement par l’emploi de modèles d’endommagement volumiques. Des éléments à discontinuité interne sont donc positionnés le long de la ligne de symétrie, le reste de la structure étant maillé par des quadrangles bilinéaires classiques. En pratique, seule la moitié de la structure est maillée puisqu’on force le problème à rester symétrique.
Conformément aux résultats de la partie précédente, la réponse de la structure converge avec le raffinement du maillage. Dans le cas présent, une étude de sensibilité à la taille des mailles reportée sur la figure III-13 montre qu’elle se stabilise pour un maillage comprenant quarante mailles le long de chaque ligament7. Trois familles de résultats sont alors fournis par la simulation numérique.
7 Il faut néanmoins prendre garde à l’absence de conservatisme de la simulation : des maillages trop grossiers sous-estiment la concentration des contraintes au voisinage du trou et donc sur-sous-estiment la charge limite que la structure peut supporter.
figure III-9 – Plaque trouée : géométrie, matériau, chargement et maillage 500 R= 500 650 350 v=V imp v= −V 20 000 MPa 0.2 E= ν = 0.1 N/mm c G = 3 MPa c σ =
Propagation de la fissure
La déformée de la structure figure III-10 ou bien l’accès à l’énergie dissipée localement en chaque point du trajet de fissuration permettent de prédire la propagation de la fissure. Ici, on observe bien les phases d’initiation puis de propagation, d’abord le long du ligament à droite du trou puis à gauche du trou, jusqu’à rupture complète de la structure. On peut remarquer qu’on a donc implicitement traité le cas de la multi-fissuration. Il faut cependant rester prudent. En effet, pour des situations plus homogènes, Laverne (2004) montre qu’il faudrait avoir recours à des techniques d’analyse de bifurcation pour éviter de sélectionner toutes les fissures en même temps. Mais en théorie, l’analyse de la multi-fissuration est possible avec ce type de simulation. Réponse force – déplacement
A la différence du résultat précédent, il s’agit là d’une information globale sur la réponse de la structure, voir figure III-11. Elle donne notamment accès aux charges critiques de la structure (point A à droite puis D à gauche). Elle fournit également des informations qualitatives sur la nature de la propagation : quasiment stable dans un premier temps (trajet AB à droite puis DE à gauche), elle devient très instable lorsque le ligament résiduel se raccourcit (trajets BC à droite, EF à gauche).
On peut noter à ce propos qu’un pilotage en déplacement croissant n’est pas possible dans ce problème en raison des phases instables. La réponse réelle de la structure est dynamique mais la simulation correspondante est délicate à mettre en œuvre8. En première analyse, nous préférons recourir à une technique de suivi de courbe (ou pilotage du chargement), spécifique aux problèmes de fissuration et qu’on détaillera au chapitre suivant. Elle permet de relâcher le chargement dans les phases instables, de sorte que tous les points calculés sont des états d’équilibre.
Cette approche nous semble réaliste pour les snap-backs de faible amplitude, typiquement les régimes quasiment stables du début de propagation. Par ailleurs, la discrétisation spatiale induit des snap-backs d’origine purement numérique (qui s’estompent pour le maillage le plus fin, voir figure III-13), y compris lorsque la réponse réelle de la structure est stable, voir Badel (2001). Ils peuvent empêcher la convergence dans le cas d’un chargement imposé mais ils ne nécessitent nullement une analyse dynamique ; au contraire, il est même possible qu’ils la perturbent. C’est
8 Quelques calculs dynamiques ont montré que la vitesse de propagation est de l’ordre du dixième de la célérité du son dans le matériau. Il faut donc a priori commencer à prendre en compte la propagation des ondes, ce qui induit
des contraintes sur le choix des pas de temps et la taille des mailles et requiert une bonne dose de savoir-faire dans le contrôle des algorithmes d’intégration. Le problème nous semble donc beaucoup plus difficile qu’une analyse quasi-statique.
pourquoi nous pensons qu’une analyse quasi-statique avec pilotage du chargement doit être un préalable à l’analyse dynamique.
Echanges énergétiques
L’analyse des bilans d’énergie complète la réponse force – déplacement de la structure, voir figure III-12. Elle donne accès à l’énergie dissipée par la structure, croissante au cours de l’histoire de la propagation. Cette monotonie en fait un bon candidat pour le paramétrage des différents résultats en présence d’instabilités, au contraire du numéro du pas de chargement qui n’a aucune signification physique. Quant au calcul du travail des efforts extérieurs, il permet d’estimer qualitativement et quantitativement la stabilité de la réponse : une décroissance du travail correspond à une restitution d’énergie par la structure, donc une phase instable. Elle a pour origine un relâchement d’énergie élastique plus important que l’énergie dissipée par la fissuration, caractéristique des mécanismes d’endommagement fragile. On remarque en particulier le caractère prononcé de l’instabilité associée à la propagation ultime de la première fissure (trajet BC) qui remet sans doute en cause l’analyse quasi-statique ultérieure.