Identification des paramètres du modèle

La présente section est consacrée à l’identification des paramètres du modèle de PàC. Le programme réalisé afin d’identifier les paramètres du modèle utilise comme données d’entrées des mesures réalisées sur la PàC. On présente ici la méthode spécifiquement utilisée pour l’identification des paramètres du système Bahia. La même méthode a été implémentée et utilisée pour identifier les paramètres du système IMHOTEP.

Les mesures utilisées ici sont celles réalisées lors des essais en altitude du système Bahia et qui ont été présentées au chapitre 2. Les données d’entrées du programme d’identification sont le courant, la tension, la température du stack, le facteur stœchiométrique air et la pression en entrée de la cathode (pression de l’air ambiant plus la surpression du compresseur d’air). On rappelle que les paramètres à déterminer sont les des pertes d’activation (équation (6)) et le paramètre B des pertes de diffusion (équation (7)). Une méthode de moindres carrés est utilisée pour déterminer les paramètres qui représenteront au mieux l’ensemble des mesures. Une matrice de N lignes et de 6 colonnes contient les N valeurs expérimentales des 6 entrées nécessaires et citées ci-dessus. La

170

tension de cellule est écrite sous la forme d’une somme de fonctions dépendantes des données d’entrée (courant, pression, température, etc.) et affectées des paramètres du modèle :

∑ ( )

(20) Dans cette expression, le vecteur Ck est la somme de la tension thermodynamique réversible et des pertes d’activation, calculés sans recourir à des paramètres :

(21)

Le processus de détermination des paramètres du modèle revient alors à déterminer le vecteur x des paramètres tel que :

∑ [∑ ( ( )) ] (22) Les notations mod et mes désignent respectivement les données modélisées et les données mesurées. Afin de simplifier l’expression (22), on introduit la matrice M définie par :

[ ( )] (23)

[ ( ) ( ) [ ]] (24) Ainsi, le processus de détermination des paramètres peut s’écrire plus simplement sous la forme suivante :

‖ ‖ (25)

La solution au problème défini par l’équation (25) est donnée par l’équation (26) :

(26)

Comme expliqué précédemment, une matrice de dimension Nx6 est construite et contient les mesures réalisées lors des essais en altitude du système Bahia (présentés au chapitre 2). Ces essais ont été réalisés à trois altitudes différentes et à cinq facteurs stœchiométriques air différent. Ainsi, la matrice regroupe 11 852 points de mesures (N) assurant une plage de variation conséquente des données d’entrées du programme de détermination des paramètres du modèle (pression ambiante, stœchiométrie, température).

171

II.2.2.

Résultats

Afin de qualifier la représentativité du modèle, on calcule le coefficient de corrélation et l’erreur quadratique moyenne pour chaque expérience utilisée et pour l’ensemble des données de mesures utilisées.

II.2.2.1)

Résultats préliminaires

Les résultats préliminaires sont obtenus grâce au modèle tel qu’il est présenté dans la section II.2.1. Les paramètres obtenus grâce au programme précédemment présenté sont reportés dans le Tableau 1.

ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 B

-0.4052 0.0048 -1.088e-4 2.794e-4 0.0746

Tableau 1 : Paramètres du modèle initial pour le système Bahia Hélion.

La Figure 3 et la Figure 4 présentent les résultats de simulation du modèle comparés aux mesures expérimentales présentées au chapitre 2 pour les cas 200 m λc = 2.5 et 1 200 m λc = 2 respectivement. Il apparaît clairement que l’accord entre simulation et mesures est meilleur dans le second cas présenté que dans le premier. Cependant, pour le premier cas (200 m λc = 2.5), l’erreur maximale est d’environ 30 mV à une densité de courant de 0.75 A.cm-2, soit une erreur de 4.6 %.

Figure 3 : Comparaison entre mesures expérimentales (turquoise) et simulation numérique (noir). Essais du système Bahia Hélion à 200 m d’altitude et à λc = 2.5 (résultats expérimentaux présentés au

172

Figure 4 : Comparaison entre mesures expérimentales (turquoise) et simulation numérique (noir). Essais du système Bahia Hélion à 1 200 m d’altitude et à λc = 2 (résultats expérimentaux présentés au

chapitre 2).

Cette différence entre simulation numérique et mesures expérimentales a été observée pour d’autres cas, ce qui conduit à la conclusion que le modèle est plus ou moins précis selon les cas étudiés. Or il est souhaitable que le modèle soit le plus fiable possible sur l’ensemble des cas étudiés. Sur l’ensemble des cas étudiés, la déviation standard est de 8.7 mV et l’erreur quadratique moyenne est de 8.7 mV. La déviation standard maximale est de 13.3 mV et l’erreur quadratique moyenne maximale est de 13.7 mV et ce pour le cas 1 200 m λc =1.5.

Afin d’accroitre la précision du modèle sur les cas les moins bien représentés, il est décidé d’apporter une modification à ce dernier.

II.2.2.2)

Résultats du modèle optimisé

Le modèle présenté en section II.1 est modifié afin d’accroitre sa précision. La difficulté majeure de ce modèle étant sa représentativité pour de nombreuses valeurs différentes de pression partielle d’oxygène, on suppose que le paramètre pression partielle d’oxygène joue un rôle clé et qu’il doit être réintroduit dans le modèle. De plus, les erreurs du modèle étant maximales pour les fortes densités de courant, il est supposé que la pression partielle d’oxygène devrait être introduite dans le calcul des pertes de diffusion. Plusieurs expressions modifiées des pertes de diffusion sont testées numériquement. Après analyse, l’expression des pertes de diffusion qui offre les meilleurs résultats est la suivante [9] :

( ) (

173

Avec cette version modifiée du modèle, la déviation standard sur l’ensemble des données expérimentales est de 5.7 mV et l’erreur quadratique moyenne est de 5.7 mV. La déviation standard maximale est réduite à 11.2 mV et l’erreur quadratique moyenne maximale à 11.2 mV. Les paramètres obtenus avec ce modèle modifié sont reportés dans le Tableau 2.

ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 B2

-0.4587 0.0020 -1.049e-4 9.718e-5 15.06

Tableau 2 : Paramètres du modèle modifié pour le système Bahia Hélion.

La Figure 5 présente les comparaisons entre les simulations numériques obtenues à l’aide du modèle modifié et les mesures expérimentales sur l’ensemble des cas étudiés. Pour tous les cas étudiés, on constate une bonne concordance entre simulations et mesures.

174

Figure 5 : Comparaison entre simulations numériques issues du modèle modifié et mesures expérimentales pour tous les cas étudiés.

175

La précision du modèle est diminuée à haute densité de courant pour les faibles valeurs de pression partielle. On constate que pour les cas 200 m d’altitude la concordance entre simulations et mesures est excellente quel que soit le facteur stœchiométrique air.

II.3.

Conclusion

Le modèle numérique de PàC présenté et développé dans cette partie est issu de travaux initiés par Amphlett et al. [10]. Ce modèle est largement utilisé et reconnu pour sa précision et sa simplicité d’exécution étant un modèle 0D. Communément, les paramètres de ce modèle sont déterminés grâce à un jeu de mesures expérimentales. Dans les travaux présentés ici, les paramètres ont été déterminés grâce à 14 jeux de mesures expérimentales, regroupant 11 852 points de mesures. Ainsi, les paramètres ont été déterminés en considérant des conditions expérimentales très variées. Le modèle numérique initial a été modifié afin d’accroitre sa précision sur l’ensemble des cas étudiés. Le modèle modifié proposé ici (et dont les résultats ont fait l’objet d’une publication dans International Journal of Hydrogen Energy) offre des résultats très satisfaisants et permet de reproduire numériquement le fonctionnement du système Bahia Hélion sous des conditions ambiantes très variées (altitude et facteur stœchiométrique air). Ce modèle a été utilisé pour réaliser les travaux présentés au chapitre 2 concernant le choix de l’oxydant dans le cadre des applications à haute altitude. Dans la suite des travaux présentés, ce modèle numérique sera utilisé afin de réaliser le modèle du système hybride complet comprenant une PàC et des batteries Li-Ion.

Dans le document Étude de systèmes pile à combustible hybridés embarqués pour l'aéronautique (Page 190-196)