Homogénéisation du composite

Pour prévoir les propriétés des composites, des méthodes numériques et analytiques sont généralement utilisées. La méthode numérique consiste en un modèle des éléments finis (MEF), dans lequel la structure du composite est modélisée et les propriétés des composants sont insérées. Un MEF plus proche de la structure du composite réel permet de calculer plus précisément les propriétés du composite, mais le modèle sera plus compliqué et le coût de calcul sera élevé. Une méthode simplifiée est de modéliser un volume élémentaire représentatif (Figure 1.19) au lieu d’une structure complète, cette méthode présente certainement un coût de calcul plus faible.

Chapitre 1 : État de l’art

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L’homogénéisation analytique d’un matériau composite de structure complexe (composite à renfort tissé 2D, 3D, composite à renfort multidirectionnel) comprend généralement deux échelles : microscopique et macroscopique.

À l’échelle microscopique, les sous-structures sont des composites unidirectionnels ou des résines pures.

À l’échelle macroscopique, le composite est composé de phases homogènes différentes. Des méthodes d’homogénéisation (basées sur la théorie des stratifiés, l’hypothèse d’iso-déformation, l’hypothèse d’iso-contrainte, le mélange iso-déformation/iso-contrainte, etc.) sont utilisées pour assembler les différents sous-volumes, ou couches afin de prédire la matrice de rigidité globale du matériau [Hal13].

1.3.4.1. Homogénéisation d’un composite unidirectionnel

Pour calculer des propriétés du composite unidirectionnel, il existe plusieurs modèles tels que : la loi des mélanges [Ber99], le modèle d’Halpin-Tsai [Hal76], le modèle de Chamis [Cha84], le modèle de Christensen [Chr90], etc. Ces modèles utilisent une formule similaire à la loi des mélanges pour la détermination du module d’Young longitudinal. La formule, adoptée dans ces modèles, est :

11UD 11f (1 ) m

f f

E V E V E (1.1)

Younes et al. ont comparé des propriétés mécaniques calculées par des modèles analytiques avec des résultats expérimentaux [You12]. Chaque modèle présente des avantages et des inconvénients, en général, les modules d’Young longitudinaux sont identiques, mais les autres valeurs (module transversal, module de cisaillement, etc.) sont assez variées. Le choix du modèle dépend donc des matériaux utilisés et des propriétés qu’on souhaite déterminer avec précision.

1.3.4.2. Homogénéisation à l’échelle macroscopique

Il y a trois méthodes principales pour homogénéiser un composite à l’échelle macroscopique qui sont la théorie des stratifiés, le modèle d’iso-déformation (modèle parallèle ou modèle de Voigt) et le modèle iso-contrainte (modèle sériel ou modèle de Reuss).

Théorie classique des stratifiés

La théorie classique des stratifiés [Ber99] est généralement utilisée pour des plaques ou coques minces, formées d’une combinaison de plis. L’épaisseur de la plaque est beaucoup plus petite par rapport aux autres dimensions. La déformation dans la structure est considérée

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faible et chaque pli obéit à la loi de Hooke. La Figure 1.20 présente le schéma de calcul pour la théorie classique des stratifiés.

(a) (b) (c)

Figure 1.20 : a) État de contrainte d'un élément b) Système de coordonnées et efforts généralisés dans un stratifié c) Géométrie et empilement des couches

Cette théorie utilise des hypothèses négligeant la déformation dans la direction d’épaisseur εz

et les déformations de cisaillement transverse γxz, γyz (Figure 1.20-a). Les déformations dans le plan sont supposées varier selon des fonctions linéaires de la distance z par rapport à la surface au milieu du stratifié (Figure 1.20-c). La relation entre les contraintes et les déformations dans chaque pli est supposé suivre la loi de Hooke.

Si on intègre les contraintes sur l’épaisseur du stratifié, on obtient la loi de comportement généralisé du composite sous la forme :

0

N A B

M B D K ^(1.2)

Où N et M sont les efforts et les moments généralisés, ε⁰ et K sont les déformations de membrane et les courbures. Les matrices [A], [B] et [D] sont déterminés en fonction des termes des matrices de rigidité et des épaisseurs des plis du stratifié.

Cette méthode ne permet pas déterminer tous les composants de la matrice de rigidité en 3D, elle est souvent utilisée pour calculer des propriétés du composite dans le plan.

Modèle de Voigt (modèle parallèle ou modèle d’iso-déformation)

Ce modèle de calcul se base sur l’hypothèse d’iso-déformation [Hal13]. C’est-à-dire pour un composite composé de plusieurs couches disposées en parallèle, les déformations des couches sur leurs bords sont considérées égales. Donc, la contrainte appliquée sur le composite est la somme des contraintes appliquées sur les couches. La matrice de rigidité du composite d’homogénéisation est donc calculée ainsi :

Chapitre 1 : État de l’art 42 1 n i i i V C C V ^(1.3)

n : nombre des couches en parallèle. Vi : volume de la couche i

V : volume du composite d’ensemble

Modèle de Reuss (modèle sériel ou modèle d’iso-contrainte)

Le principe du modèle de Reuss se base sur l’hypothèse d’iso-contrainte [Hal13]. Dans ce modèle, les couches constituant le composite se disposent en série, les contraintes aux sections d’interaction sont supposées égales. Et la déformation de la structure totale est la somme des déformations des plis. À partir de ces relations, la matrice de rigidité du stratifié est donc calculée en fonction des matrices de rigidité des plis :

1 1 ₁ n i i i V C C V ^(1.4)

n : nombre de couches disposés en série. Vi : volume de la couche i

V : volume du composite d’ensemble

Des chercheurs ont développé d’autres méthodes en se basant sur les méthodes décrites ci-dessus pour calculer les propriétés du composite. Ichikawa et Chou ont proposé trois modèles de base pour la modélisation des propriétés élastiques des composites textiles. Ces modèles sont : le modèle « mosaïque » [Ishi82], le modèle des fibres ondulatoires [Ishi82-2] et modèle « pontage» [Ishi82-2]. Ils reposent sur la théorie des stratifiés. Chaque volume élémentaire représentatif (VER) du composite est divisé en mèches considérées comme des composites UD, puis le VER est traité comme étant un stratifié en utilisant la théorie de stratifiés.

P. Tan et al. ont proposé une méthode se basant sur le modèle iso-contrainte pour prévoir les propriétés mécaniques d’un composite 3D [Tan98] [Tan00]. Dans cette méthode, pour homogénéiser un VER 3D (Figure 1.19), les auteurs ont appliqué le modèle iso-contrainte en fonction des ordres différents des directions x, y, z. Les modèles ont été ensuite comparés et validés avec des résultats numériques de la méthode des éléments finis.

Hallal et al. ont développé une méthode analytique, appelée la méthode 3SHM (3 stage homogenisation method), pour calculer des propriétés mécaniques du composite à renfort

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tissé [Hal10] [Hal12] [Neh11]. Cette méthode est une combinaison du modèle iso-déformation et du modèle iso-contrainte.

Un modèle d’homogénisation permet de déterminer des propriétés du composite en fonction de sa structure. Pour cette raison, il est souvent utilisé ensuite pour optimiser la structure du matériau composite.