Chapitre 1 : État de l’art
1.4. Amortissement de la structure et du matériau
Pour un système mécanique constitué d’éléments viscoélastiques linéaires, l’amortissement de la structure peut être défini par de trois façons :
Premièrement, comme le rapport entre l’énergie dissipée et l’énergie élastique stockée dans le matériau ou dans la structure dans un cycle de sollicitation dynamique. Cette définition a été présentée la première fois en 1962 par Kerwin et Ungar [Ung62]. Donc, l’amortissement d’une structure est déterminé par l’équation :
Chapitre 1 : État de l’art 2 2 i i i U U U U (1.5)
Où ηi est le facteur d’amortissement de l’élément i.
Ui est l’énergie stocké dans l’élément i.
Cette définition a été largement utilisée dans les méthodes analytiques pour déterminer des propriétés des composites [Ber04] [Ber06] [Ber07] [Ber08] [Mah08] [Sef06] [Suz03].
Cette équation est aussi appliquée dans l’analyse numérique en combinaison avec la méthode des éléments finis pour analyser des structures complexes. Cette méthode est appelée « approche de l’énergie de déformation modale ». Dans cette méthode, à chaque mode de vibration, on détermine l’énergie stockée dans chaque élément en fonction de ses contraintes et déformations et l’énergie dissipée est déterminée par la multiplication entre l’énergie de stockage avec les facteurs d’amortissement du matériau de l’élément. Cette méthode est utilisée dans plusieurs recherches pour déterminer le coefficient d’amortissement et/ou optimiser la structure du composite [Zha06] [Mao11] [Sar00].
Deuxièmement, comme le rapport entre la partie imaginaire et la partie réelle du module dynamique du matériau ou de la structure. Donc, le facteur d’amortissement de la structure peut être calculé par la formule :
" ' E
E (1.6)
Ou E ’’est la partie imaginaire du module dynamique du matériau ou de la structure.
E’ est la partie réelle du module dynamique du matériau ou de la structure.
En combinant avec le principe de correspondance qui dit qu’un problème statique linéaire élastique peut être converti en un problème dynamique linéaire viscoélastique en remplaçant le module élastique par le module complexe, cette définition est utilisée dans plusieurs méthodes analytiques pour déterminer les facteurs d’amortissement des matériaux composites [Has70] [Pax75]. Sun et al. ont utilisé ce principe avec la théorie des stratifiés pour déterminer l’amortissement de composites multicouches [Sun87].
Troisième façon, comme la tangente de l’angle de déphasage entre l’effort d’excitation et la déformation. Sous sollicitation t 0sin ωt , la réponse en déformation est de la forme
t
0sin ωt δ
et on a :Chapitre 1 : État de l’art
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Cette définition est généralement utilisée dans les machines de mesure (rhéomètre). Grâce aux capteurs de force et capteurs de déformation, les rhéomètres peuvent déterminer le déphasage entre deux signaux et déduire l’angle de déphasage qui identifie le facteur d’amortissement de la structure [ARES].
Il y a deux types d’amortissement de structure : l’amortissement du matériau et l’amortissement du système. L’amortissement du matériau ne dépend que des propriétés mécaniques du matériau tandis que l’amortissement du système dépend également de l’amortissement au niveau du support, des liaisons, des interfaces, des encastrements, etc. Ici, on s’intéresse uniquement à l’amélioration de la capacité d’amortissement de la structure au niveau du matériau. Plusieurs matériaux polymères (plastiques, caoutchouc, silicones, adhésif, époxy, etc.) présentent de bonnes capacités d’amortissement grâce à leur comportement viscoélastique. Les composites présentent aussi de bonnes propriétés d’amortissement qui proviennent de la capacité d’amortissement de matrice et/ou bien de renfort, de l’amortissement thermoélastique du flux de chaleur circulant de la région en contrainte de compression vers la région en contrainte de traction, du frottement de glissement aux interfaces fibre/matrice pas bien adhérées, la dissipation survenant sur les sites de fissures ou de délaminage [Gib92].
Actuellement, les matériaux de base de la structure sont en général en métaux conventionnels (acier et aluminium). Un traitement de surface des structures en utilisant les matériaux viscoélastiques permet aussi d’améliorer la capacité d’amortissement de la structure [Rao03] [Ghi13]. Récemment, la tendance à remplacer les matériaux métalliques par des composites est en progression, particulièrement dans l’industrie automobile et aéronautique. Les composites ont été utilisés pour les portes, le bac de stockage, etc. de la voiture.
La détermination expérimentale du facteur d’amortissement d’un matériau ou d’une structure est un problème compliqué. Plusieurs facteurs influencent la précision de l’essai de mesure comme : l’aérodynamique exercée sur l’éprouvette, l’onde acoustique dans l’ambiance, le frottement au niveau du support d’encastrement, le poids de l’accéléromètre attaché. L’amortissement de l’air influence fortement les essais de flexion. Particulièrement, l’amortissement de l’air n’est pas linéaire, il augmente avec l’augmentation de l’amplitude de vibration. Le frottement au niveau du support peut aussi dissiper l’énergie de vibration. En plus, la rigidité du support doit être suffisamment plus grande que la rigidité de l’éprouvette pour que la déformation mesurée s’exerce en majorité dans l’éprouvette. Sinon toutes les deux valeurs de module et d’amortissement ne seront pas correctes. Pour cette raison, les machines de mesure sont généralement développées pour caractériser les matériaux de rigidité faible et ne sont pas adaptées pour les éprouvettes de rigidité élevée [Gib92]. Donc, le résultat
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expérimental est souvent plus grand que l’amortissement véritable du matériau ou de la structure. Pour obtenir la bonne valeur d’amortissement d’une éprouvette ou d’une structure, il faut donc limiter au maximum les influences extérieures.
Pour déterminer expérimentalement l’amortissement du matériau, comme mentionné antérieurement, on peut utiliser le rhéomètre et faire des essais dynamiques sur des éprouvettes du matériau. Pour une structure ou la taille de la structure dépasse la limite de la machine de mesure, le rhéomètre n’est plus adapté. Dans ce cas, il existe deux méthodes principales de détermination de l’amortissement comme : la méthode du décrément logarithmique et la méthode de bande passante.
Dans la méthode du décrément logarithmique, la réponse de structure sous une force libre est tracée en fonction du temps (Figure 1.26), le décrément logarithmique est déterminé par la formule :
1 ln( )o n x
n x (1.8)
Où : xo : amplitude du cycle 0. xn : amplitude du cycle n
Figure 1.26 : Décroissance de la réponse de la structure
Sous l’hypothèse que l’amortissement est faible, le facteur d’amortissement est approché par l’équation :
(1.9)
La méthode de bande passante utilise la courbe de réponse en fréquence (Figure 1.27). Le facteur d’amortissement est déterminé par :
2 1
r r
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où : ωr : fréquence de résonance. ω1 et ω2 : fréquences correspondant aux points de demi-puissances autour de la fréquence de résonance considérée.
Figure 1.27 : Méthode de bande passante