Généralités

Le robot 3CRS, qui fait l’objet de cette étude, est un manipulateur parallèle à 6-DDL. Il a été proposé par B.C. Bouzgarrou [Arr11]. Le robot est composé de trois chaînes cinématiques identiques reliant la base fixe "B" à la plateforme mobile "P". Chaque chaîne cinématique est formée par une liaison prismatique suivie d’une liaison pivot, toutes les deux motorisées. Ces deux liaisons ont le même axe, et donc peuvent être considérés comme une liaison cylindrique motorisée (notée C). Ensuite, c’est une liaison rotoïde passive (notée R) suivie d’une liaison sphérique passive (notée S) dans l’ordre respectif. C’est ainsi que le robot a été appelé 3CRS. La Figure 2.1 présente le robot 3CRS et son graphe de liaison. On voit que le robot proposé possède moins de jambes que la plateforme Gough-Stewart ; ce qui simplifie considérablement l'analyse cinématique, la caractérisation statique et dynamique, la planification et le contrôle des mouvements du robot.

La conception et l’espace de travail du robot 3CRS ont été discutés dans [Arr11] [Arr12]. La détermination de la rigidité du robot et de ses modes propres de vibration est très importante car elle permet de prédire ses performances en termes de précision, de positionnement, de capacité de charge et d’accélération [Deb06]. Ce chapitre vise donc à caractériser les performances statiques et dynamiques du robot 3CRS en vue d’améliorer sa conception en utilisant un matériau composite.

Chapitre 2 : Caractérisation statique et dynamique du robot parallèle 3CRS

Figure 2.1 : a) Robot 3CRS b) Graphe de liaison

Les performances du robot peuvent être évaluées par une approche analytique et/ou une approche numérique. Les approches analytiques utilisent souvent des hypothèses pour simplifier la structure du robot.En général, les méthodes analytiques établissent une équation entre la raideur du robot et de sa configuration dans l'espace cartésien ou articulaire. Dans la littérature [Deb06] [Rug12] [Kli14], il y a trois méthodes analytiques principales : le calcul de la matrice jacobienne (CMJ), la méthode des flexibilités articulaires de transmission (JFT) et la méthode d'analyse des matrices structurales (AMS).

Les méthodes CMJ et JFT se basent sur l’hypothèse de corps rigide où les éléments du robot sont supposés infiniment rigides. La rigidité du robot est donc calculée en fonction des raideurs articulaires actionnées et la matrice jacobienne [Che13] [Elk99] [Zha04]. La particularité de la méthode JFT est qu’elle ajoute des liaisons flexibles virtuelles dans le modèle afin de prendre en compte les rigidités des éléments de structure. Un élément flexible est donc remplacé par un élément rigide lié à un joint flexible virtuel. Par conséquent, la méthode JFT est plus précise que la méthode CMJ. Cette méthode est très utilisée dans l'analyse des robots [Gos02] [Bou02] [Maj07] [Rug12].

La méthode AMS se base sur la théorie des éléments finis, elle est donc une méthode qui prend en compte les flexibilités distribuées des éléments [Deb06] [Hua02] [Li08] [Cli97]. Dans cette méthode, un seul élément est représenté par des matrices de rigidité ou de masse de taille 12x12 pour une poutre Euler-Bernoulli [Deb06] [Li08] ou une matrice 6x6 pour une barre en traction compression [Cli97]. En général, la matrice de rigidité totale est assemblée en utilisant le principe de superposition [Cli97] [Li08]. Cette méthode permet d’étudier

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et attentif en superposant des matrices relativement grandes, en particulier aux nœuds de liaison passive où il y a des ddl non communs. Par conséquent, cette approche est encore peu développée dans les études de robots.

L’équation de Lagrange avec multiplicateurs est une équation connue pour traiter des problèmes de maximisation ou minimisation [Ben03]. Deblaise a utilisé cette équation sous la condition de maximisation de l'énergie potentielle pour former la matrice de rigidité du robot Delta [Deb06]. Cette application permet d’étudier séparément les liaisons en les remplaçant par des équations de contraintes de connexion. Ce qui simplifie donc considérablement la formulation de la matrice de rigidité totale du robot.

L'approche numérique est généralement basée sur la méthode des éléments finis (MEF). L’élément de poutre, de coque ou l’élément solide peuvent être utilisés pour modéliser des segments du robot alors que des éléments de type de ressort sont utilisés pour modéliser la rigidité des transmissions ou des composants de guidages. L'inconvénient de la MEF est son coût de calcul qui peut être élevé lorsqu’il est nécessaire d’adapter le maillage en fonction de la configuration du robot. La taille des modèles ne permet pas leur utilisation dans une commande temps réel. Cependant, la MEF fournit des résultats relativement fiables et précis. Par conséquent, cette méthode est souvent utilisée pour vérifier les approches analytiques [Che13] [Elk99] [Maj07] [Maj07] [Hua02] [Li08], caractériser et comparer les performances des robots [Bou04] [Riz06]. Le modèle utilisant des éléments de poutre est souvent employé pour modéliser les robots composés des composants longs et de simples formes [Deb06][Elk99]. Pour les robots constitués des composants de forme complexe, les éléments solides sont généralement utilisés [Bou04] [Riz06] [Pin09].

Ce chapitre présente une caractérisation statique et dynamique du robot parallèle 3CRS dans son espace de travail. Afin de tenir compte de toute la structure du robot, la méthode AMS est appliquée. Ici, les contraintes de liaisons passives sont séparément considérées. Afin de combiner la méthode AMS avec des équations de contraintes, les équations de Lagrange avec multiplicateurs sont utilisées. Cette technique permet de réaliser avec la même formulation des analyses statiques et dynamiques linéaires (section 2.4). Les résultats obtenus seront comparés à ceux obtenus par la MEF (section 2.5) et par l’expérimentation (section 2.6). La section 2.7 est consacrée à l'analyse de la rigidité du robot, l'influence de la raideur de la plateforme mobile sur la rigidité du robot est également étudiée. La caractérisation dynamique du robot 3CRS, basée sur une analyse modale, est présentée dans la section 2.8.

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