Le premier est le mod`ele d’´etat, r´egi par des matrices p´eriodiques en temps [Bit86, Kit88].
Son ´etude peut ˆetre r´ealis´ee grˆace au th´eor`eme de Floquet [Wer90]. Il montre l’existence d’une
transformation lin´eaire variant p´eriodiquement dans le temps, permettant de transformer le
syst`eme de d´epart en un syst`eme invariant. Ce dernier contient beaucoup d’informations sur
le syst`eme p´eriodique original, qu’il soit continu ou discret [Cor79]. Pour les syst`emes discrets,
on peut aussi utiliser une transformation par blocs permettant d’obtenir des matrices d’´etat
invariantes [Mey75].
Le second mod`ele est celui de la r´eponse impulsionnelle. L’´etude de ce signal, dans le domaine
temporel aussi bien que dans le domaine fr´equentiel, permet de caract´eriser compl`etement
les effets des syst`emes LVPT sur leur entr´ee, qu’ils soient continus ou discrets.
Pour le premier mod`ele, il est n´ecessaire de choisir les variables d’´etat composant le vecteur
d’´etat du syst`eme. Ce choix n’est jamais facile, et peut mˆeme poser des probl`emes si ces
variables ne r´esument pas parfaitement l’´etat du syst`eme `a un instant donn´e. Par contre, la
r´eponse impulsionnelle ne peut ˆetre choisie, puisqu’elle est fournie par le syst`eme lui-mˆeme
en r´eponse `a une impulsion. Cette deuxi`eme solution ´ecarte donc tout risque d’erreur de
mod´elisation, li´e au choix des variables d’´etat. De plus, ce mod`ele permet une interpr´etation
fr´equentielle quasi imm´ediate des effets du syst`eme ´etudi´e, puisque la transform´ee de Fourier
de la r´eponse impulsionnelle fournit directement la fonction de transfert en fr´equence. Pour
ces diff´erentes raisons, le mod`ele de la r´eponse impulsionnelle sera utilis´e dans la suite de ce
m´emoire pour repr´esenter et ´etudier les syst`emes LVPT.
La derni`ere question `a se poser sur le mod`ele utilis´e est de savoir s’il sera discret ou continu.
Le but de ce travail ´etant d’´elaborer une strat´egie de contrˆole implant´ee, `a terme, dans un
3.2. ´Etude des syst`emes lin´eaires variant p´eriodiquement dans le temps
processeur num´erique de signal, le syst`eme pr´esent´e au chapitre 1 `a travers lequel les
pertur-bations doivent ˆetre compens´ees, sera vu par le processeur comme un syst`eme discret. Seuls
des syst`emes LVPT discrets seront donc consid´er´es ici. De plus, si leur r´eponse
impulsion-nelle provient de l’´echantillonnage de celle d’un syst`eme continu, elle sera suppos´ee avoir ´et´e
correctement ´echantillonn´ee, et v´erifier la condition de Shannon ´enonc´ee au paragraphe 1.3.3,
afin d’´eviter tout probl`eme de recouvrement spectral.
3.2.2 D´efinition
Soit le syst`eme H discret, lin´eaire, d’entr´ee x(n) et de sortie y(n) `a temps discret n,
repr´esent´e `a la figure 3.1. o`u l’op´erateur «◦» peut se lire «appliqu´e `a» et a ´et´e d´efini au
x(n)
H
y(n)Fig. 3.1:
Syst`eme discret lin´eaireH
paragraphe 2.2.3.
Les signauxx(n) ety(n) sont discrets, et la relation d’entr´ee-sortie qu’ils v´erifient s’exprime
par :
y(n) =H ◦x(n) (3.1)
Afin de d´efinir correctement le concept de syst`eme discret variant ou invariant dans le temps,
il est n´ecessaire d’introduire l’op´erateur retard deN ´echantillons. Not´eR
Net appliqu´e `a un
signal s(n), il v´erifie :
R
N◦s(n) =s(n−N) (3.2)
Le syst`eme lin´eaire H est dit invariant dans le temps (LIT) si, pour une mˆeme entr´ee
retard´ee de N ´echantillons, on obtient la mˆeme sortie, retard´ee de N ´echantillons. Sachant
que (3.1) est v´erifi´ee, ceci revient `a ´ecrire :
H ◦[x(n−N)] =y(n−N) pour toutN ∈Z (3.3)
Pour un tel syst`eme, les op´erateursHetR
Npeuvent donc commuter quelle que soit la valeur
du retard. En effet, en utilisant les relations (3.2) et (3.3), on obtient :
H ◦[R
N◦x(n)] =R
N◦[H ◦x(n)] pour toutN ∈Z (3.4)
Si cette commutation n’est pas r´ealis´ee pour tout N, le syst`eme lin´eaire est dit variant
dans le temps (LVT).
Si la relation (3.4) est v´erifi´ee pour une valeur particuli`ere deN, elle l’est aussi pour tous
ses multiples entiers. Le syst`eme lin´eaireHest alors ditvariant p´eriodiquement dans le temps
CHAPITRE 3. ´Etude th´eorique du syst`eme
(3.4) est possible. Ce type de syst`emes est donc un cas particulier des syst`emes LVT. De
plus, on remarque que les syst`emes invariant dans le temps peuvent ˆetre consid´er´es comme
p´eriodiques de p´eriode P = 1, et constituent eux-mˆemes un cas particulier des syst`emes
LVPT.
3.2.3 Domaine temporel
syst`eme discret lin´eaire variant dans le temps
r´eponse impulsionnelle
On se place dans le cas g´en´eral o`u le syst`emeHest LVT. Il n’y a donc aucune hypoth`ese
sur la loi suivant laquelle l’´equation (3.4) est v´erifi´ee en fonction de N. N´eanmoins, la
pro-pri´et´e de lin´earit´e de H permet `a ce syst`eme d’ˆetre enti`erement caract´eris´e par sa r´eponse
impulsionnelle [Cla82]. Elle peut ˆetre exprim´ee en temps absolu, c’est `a dire sans utiliser la
notion de retard ou de diff´erence entre deux instants. Elle est alors not´eeh(n, k) et repr´esente
la r´eponse du syst`eme observ´ee `a l’´echantillonn, `a une impulsion envoy´ee `a l’´echantillon k.
On peut d´efinir deux autres formes de cette r´eponse, en introduisant par changement de
variables le retardr=n−kqui est le laps de temps entre l’instant d’observation de la sortie
et l’impulsion d’excitation [Cla82, Pra92] :
g(r, k) = h(r+k, k) (3.5)
f(n, r) = h(n, n−r) (3.6)
g(r, k) est donc la r´eponse du syst`eme, observ´eer ´echantillons apr`es l’impulsion d’excitation
envoy´ee enk. Quant `af(n, r), elle peut s’interpr´eter comme ´etant la r´eponse du syst`eme
ob-serv´ee `a l’instantn, `a l’impulsion d’excitation envoy´eer ´echantillons auparavant. L’´equation
reliant ces trois formes de la r´eponse impulsionnelle peut s’´ecrire, en ´eliminantr de (3.5) et
(3.6) :
h(n, k) =g(n−k, k) =f(n, n−k) (3.7)
Enfin, si le syst`eme consid´er´e est causal, sa r´eponse impulsionnelle est nulle pourr=n−k <0.
La figure 3.2 donne un exemple d’allure temporelle deh(n, k) et de g(r, k) pour un syst`eme
LVT causal. f(n, r) n’a pas ´et´e repr´esent´ee d’une part parce qu’elle contient exactement la
mˆeme information, et d’autre part parce qu’elle est moins explicite d’un point de vue visuel.
On voit que la forme du signal obtenu en sortie du syst`eme varie en fonction de l’instant
d’excitationk. Si le syst`eme avait ´et´e invariant, toutes les r´eponses auraient ´et´e de forme et
d’amplitude identiques, et la r´eponse impulsionnelle n’aurait ´et´e fonction que du retardr.
relation d’entr´ee-sortie
La relation temporelle d’entr´ee-sortie d’un syst`eme LVT est donn´ee par [Hua80] :
y(n) =H ◦x(n) =
+∞X
k=−∞
3.2. ´Etude des syst`emes lin´eaires variant p´eriodiquement dans le temps
instant d’observation instant d’excitation n=k n k (a)h(n, k) d’excitation retard instantk r (b)g(r, k)Fig. 3.2:
Exemple de r´eponse impulsionnelle d’un syst`eme LVT causal
L’´equation (3.7) permet d’exprimer la sortie du syst`eme en fonction des deux autres formes
de la r´eponse impulsionnelle :
y(n) =
+∞X
k=−∞g(n−k, k)x(k) (3.9)
y(n) =
+∞X
k=−∞f(n, n−k)x(k) (3.10)
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Contribution à la compensation active des vibrations des machines électriques
(Page 57-60)