L’analyse mathématique que nous avons entreprise n’est utile que si l’on peut faire le lien entre les quantités décrites et celles qui sont réellement mesurables. Nous avons déjà souligné à plusieurs reprises que les signauxs(t)etS(f)ne sont pas mesurables en optique. En effet les récepteurs optiques sont ditsquadratiqueset on ne peut donc accéder qu’à la moyenne énergétique du signal sur le temps de réponse du détecteur.
En particulier au cours d’une expérience, cette moyenne est effectuée généralement par l’oeil de l’observateur (temps d’intégration 1/10ème de seconde) où par le récepteur optique utilisé pour mesurer l’intensité (photodiode, phototransistor...). Nous pouvons donc mesurer la quantité
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7.4. GRANDEURS MESURABLES 143
Im(t) = 1 Tr
t+Tr
t
s(θ)s∗(θ)dθ=Css(0) (7.49) Si la source est stationnaire cette mesure ne dépend pas de l’origine des temps et nous avons alors
Im= 1 Tr
Tr
0
s(θ)s∗(θ)dθ=Css(0) (7.50) D’un point de vue pratique cette mesure s’effectue en plaçant directement la source lumineuse en face du détecteur.
7.4.2 Densité spectrale ou spectre lumineux.
La densité spectraleD(f)représente la répartition de l’intensité de la source en fonc-tion de la fréquence. C’est une quantité directement accessible à l’expérience puisque sa mesure est obtenue en utilisant un spectroscope à prisme ou à réseau. Pour cela il suffit de disposer d’une fente lumineuse source au foyer d’une lentille convergente.
L’onde plane issue de la lentille est dispersée par le réseau et est refocalisée au foyer d’une lentille convergente. Le spectre est observé sur un écran ou à travers une lunette de visée. Le spectre que l’on obtient par cette technique n’est pas le spectre vrai de la source mais représente la convolution du spectre vrai par la fonction de résolution du spectroscope. Le spectre d’une source lumineuse est une signature de la source et sa connaissance permet de remonter par le calcul à la transformée de Fourier inverse à la fonction d’autocorrélationCss(τ)du signal lumineux. Nous verrons cependant que la fonctionCss(τ)est accessible de façon beaucoup plus fine par une autre méthode.
Nous présentons quelques exemples de spectres en précisant leur domaine de validité.
Onde plane monochromatique idéalement cohérente
Le densité spectrale est composée d’un pic de Dirac localisé à la fréquence de la radiation utilisée
D(f) =A2δ(f−f0) (7.51) Ce type de spectre est idéal et ne peut jamais être mesuré. C’est la représentation limite du spectre issu d’un laser monomode.
Doublet idéalement cohérent
C’est la superposition de deux ondes monochromatiques idéalement cohérentes. Le spectre est composé de deux distributions de Dirac centrées sur les fréquences d’émission des deux ondes. Ces deux fréquences sont supposées en général très proches l’une de l’autre
D(f) =A2δ(f−f1) +B2δ(f−f2) (7.52) Ce type de spectre est idéal et ne peut jamais être mesuré. C’est la représentation limite du spectre d’une lampe à vapeur de sodium qui contient un doublet à 589nm et 589.6nm.
144 CHAPITRE 7. COHERENCE TEMPORELLE
Train d’onde sinusoïdal idéal
Le spectre est étendu à cause de la durée finie du train d’onde. Nous avons vu qu’il est défini par
D(f) =A2τ20sinc2[πτc(f−f0)] (7.53) Ce spectre se rapproche plus de la réalité pour décrire des sources monochroma-tiques. Toutefois le train d’onde est souvent amorti et la forme du spectre dévie en général de la fonction sinus carré cardinal. Ce type de spectre est utile pour modéliser simplement des signaux lumineux d’extension temporelle finie.
7.4.3 Coefficient de cohérence
Ce coefficient peut être directement mesuré en utilisant une expérience d’interfé-rences et plus particulièrement l’interféromètre de Michelson. Elle consiste à utiliser l’interféromètre de Michelson monté en lame mince parallèle en mesurant l’intensité au centre en fonction de l’épaisseurede la lame mince. Pour cela nous rappelons que dans ce type d’appareil lorsque les deux miroirs sont perpendiculaires entre eux l’intensité que l’on mesure au foyer de la lentille de projection est donnée par
Im(τ) = |s(t) +s(t−τ)|2
En effet le signal incident se divise en amplitudes égales en passant par la séparatrice.
Les deux ondes ainsi séparées ont exactement les mêmes caractéristiques à la sortie de la séparatrice qui a pour effet de cloner l’onde incidente. Les deux clones cheminent vers les deux miroirs M1et M2et se recombinent après un aller-retour sur leurs trajets respectifs comme on peut le voir sur la figure 7.8.
Si les deux miroirs sont à égale distance de la séparatrice les deux ondes clonées par-courent la même distance avant de se recombiner. Par contre si les deux miroirs ne sont pas à égale distance mais présentent un écarte, l’une des deux ondes va parcourir une distance égale au double de cet écart et arrivera au point de recombinaison avec un dé-calage temporelτ= 2e/cpar rapport à l’autre onde. L’interféromètre de Michelson agit comme un diviseur, déphaseur et sommateur d’onde lumineuse. Le récepteur lumineux joue le rôle de corrélateur car il est sensible àCss(τ).Un interféromètre de Michelson est donc un corrélateur d’ondes lumineuses et il permet d’accéder à la fonctionCss(τ).
Nous avons en effet vu que
Im(τ) = 2I0+ 2 Re [Css(τ)] = 2I0(1 + Re [γ(τ)]) (7.54) Pour une onde plane monochromatique incidente idéaleγ(τ) =eiω0τ. L’intensité mesurée est donc
Im(τ) = 2I0(1 + cos (2πf0τ)) (7.55) et la fonction de contraste est donc maximale puisque |γ(τ)| = 1.Dans ce cas très simple l’intensité oscille alternativement entre un maximum d’intensité4I0et un minimum nul selon la valeur de l’écart entre les deux miroirs.
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7.4. GRANDEURS MESURABLES 145
s(t-τ)
s(t) M2
M1
O
F.7.8 — Illustration du cheminement de 2 trains d’ ondes issus de la division d’un rayon incident en amplitude. CommeOM2> OM1les deux ondes sont décalées deτ
Pour le train d’onde sinusoïdal, nous avonsγ(τ) = eiω0τ1−ττc
si τ < τc. Il s’ensuit que l’intensité mesurée s’écrit
Im(τ) = 2I0
1 +
1−τ
τc
cos (2πf0τ)
(7.56) Le facteur de contraste|γ(τ)|=
1−ττc
ce qui montre qu’il diminue avecτ=2ec. Les franges sont sont initialement bien contrastées puis de moins en moins visibles au fur et à mesure que l’on déplace le chariot. Quand la valeur deτ atteint la valeur τc=L/cla visibilité des franges s’annule et l’intensité devient alors uniforme pour toute augmentation ultérieure dee: les deux trains d’onde ne peuvent plus interférer.
Si l’on suppose maintenant que le Michelson n’est pas éclairé par une onde mono-chromatique mais par une distribution d’ondes de différentes fréquences on peut voir que dans l’expression générale
Im(τ) = 2I0+ 2 Re [Css(τ)] (7.57) les deux parties de la somme s’indentifient à
I0 = ∞
0
D(f)df (7.58)
Re [Css(τ)] = ∞
0
D(f) cos (2πf τ)df L’intensité mesurée est donc
146 CHAPITRE 7. COHERENCE TEMPORELLE
Im(τ) = 2 ∞
0
D(f)(1 + cos (2πf τ))df (7.59) Le coefficient de cohérence peut donc être obtenu en effectuant l’opération suivante
γ(τ) =Im(τ)−2I0
2I0
Il est remarquable de noter que l’interféromètre de Michelson est l’instrument le plus approprié à cette mesure du coefficient de cohérence. En effet on peut imaginer que dans toute expérience d’interférence il est possible d’accéder à cette quantité puisque l’on superpose des signaux décalés dans le temps. Ce serait méconnaître les limitations expérimentales des dispositifs utilisant la division du front d’onde que de croire qu’il peuvent permettre la mesure deγ(τ).En effet ces dispositifs sont d’une part très sensibles à la cohérence spatiale de la source (voir chapitre suivant) et à la diffraction par de petites ouvertures qui masquent le contraste des franges d’interférence. D’autre part le décalage temporel que l’on peut raisonnablement mesurer dans ce type d’expérience reste toujours très faible. A titre d’exemple on peut considérer l’expérience des trous d’Young. Dans une expérience de ce type les franges d’interférences sont rarement mesurables au delà de l’ordre 100 à cause du phénomène de diffraction. Le champ est donc de l’ordre de 100λD/aet les ondes qui interfèrent à l’ordre 100 subissent une différence de chemin optique de 100λ≃50µm. Pour de nombreuses sources lumineuses la longueur de cohérence temporelle est nettement supérieure (de l’ordre de 30cm pour un laser He-Ne) et la cohérence temporelle n’est donc pas réellement mesurable car son effet n’est pas visible.
Dans une expérience de division d’amplitude utilisant l’interféromètre de Michelson, la cohérence spatiale de la source ne joue pas vraiment et le déplacement du chariot porteur de l’un des miroirs peut se faire sur une large course. Avec cet instrument on peut donc mesurer l’intensité sur une grande plage de valeurs deτ ce qui permet d’accéder à la cohérence temporelle de la source.
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Chapitre 8
COHERENCE SPATIALE
8.1 Introduction
Dans le chapitre précédent, nous avons étudié l’effet de la distribution spectrale sur la figure d’interférences. Nous avons établi qu’une source présentait une cohérence tem-porelle d’autant meillleure que sa distribution spectrale se rapprochait de la distribution de Dirac. En particulier nous avons montré que la cohérence temporelle de la source peut être décrite par la longueur de cohérence temporelle définie parL=cτ= ∆λλ2. Cette longueur est la distance qu’il faut parcourir dans le sens de propagation de l’onde pour décorréler deux trains d’onde issues de la même source ; on parle aussi de cohé-rence longitudinalede l’onde. Dans l’approche précédente nous avions supposé que le faisceau lumineux était parfaitement collimaté c’est à dire qu’il pouvait être assimilé à une onde quasi-plane. Dans ce cas la phase de l’onde est la même en tous points d’un plan perpendiculaire à la direction de propagation et l’on admet alors que la cohérence du faisceau est parfaite dans ce plan. La cohérence dans le plan perpendiculaire à la di-rection de propagation est appeléecohérence spatialedu faisceau. Si le faisceau n’est pas collimaté ou si l’on utilise une source étendue, l’onde lumineuse présente une phase qui varie dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation. Tant que cette variation de phase reste faible par rapport à 2πon admet que les ondes restent corré-lées. La distance qu’il faut parcourir pour perdre cette corrélation est appelée longueur de cohérence spatiale ou longueur decohérence transversale. Nous allons examiner dans ce chapitre comment définir cette longueur et comment la mesurer. Nous établirons ensuite quelles sont les conditions optimales d’observation d’une figure d’interférences.