h(x, y) =β1τ a∗rO(x, y, z)eiφ(x,y,z)+arO∗(x, y, z)e−iφ(x,y,z)
(9.16) Sa présence dans l’intensité montre indubitablement que l’on enregistre sur la plaque photographique des franges d’interférences qui contiennent l’information sur la diffé-rence de phase entre l’onde de réfédiffé-rence et l’onde diffusée.
9.3.3 Reconstruction optique de l’hologramme
On éclaire l’hologramme au moyen d’une onde de référencear identique à celle utilisée pour enregistrer l’hologramme.
L’onde transmise par l’hologramme est donc d’amplitude
At=N(x, y)ar (9.17)
Elle contient tous les termes relatifs à la transmission de la plaque.
164 CHAPITRE 9. HOLOGRAPHIE
Image virtuelle orthoscopique
Image réelle pseudoscopique
Plaque
F.9.4 — Reconstruction de l’image par éclairement de la plaque par l’onde de réfe-rence. On récupère deux images qui sont conjuguées l’une de l’autre.
On distingue dans cette somme les termes suivants
At=A0+A1+AO(x, y) +Ap(x, y) +Ac(x, y) (9.18)
avec
—A0=arN0
—A1=c1ara2r
—A0(x, y) =c1ar |O(x, y, t)|2
—Ap(x, y) =c1ar
a∗rO(x, y, z)eiφ(x,y,z)
reconstruction primaire
—Ac(x, y) =c1ar
arO∗(x, y, z)e−iφ(x,y,z)
reconstruction conjuguée
9.4 Double diffraction
9.4.1 Montage expérimentalSi l’on envoie une onde plane sur un objet diffractant (objet d’amplitude ou de phase) on récupère dans le plan focal de la lentille d’observation la figure de diffraction de cet objet. Le plan ou cette figure est observée est applelé plan de Fourier. Par le biais d’une seconde lentille convergente dont on place le plan focal objet dans le plan de Fourier on forme sur un écran une image de l’objet diffractant : ceci constitue l’expérience de double diffraction.
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9.4. DOUBLE DIFFRACTION 165
F.9.5 — Relation de conjugaison entre le plan objet et le plan image et localisation du plan de Fourier
Il est intéressant de considérer ce que l’on peut observer dans le plan image. Si l’on place un objet lumineux dans le plan objet on sait en utilsant les lois de l’optique géométrique que l’image formée par ce système optique est celle de l’objet lumineux renversée et modifiée du facteur de grandissement du système.
Plan de Fourier
Si l’on utilise le montage 4fdans lequel l’objet est dans le plan focal de L1et L2
est à 2fde L1, l’image se forme à la distancefde L2et est de grandissement -1. On obtient donc dans ce type de montage
t(x′, y′) =Ct(−x,−y) (9.19) sous réserve que rien n’altère le cheminement des rayons dans le plan de Fourier (la constante C indique que la luminosité de l’image n’est pas égale à celle de l’objet).
166 CHAPITRE 9. HOLOGRAPHIE
9.4.2 Etude théorique
Si maintenant on se place du point de vue de la diffraction, la lentille L1donne dans le plan de Fourier de coordonnées (X,Y) une image qui est la transformée de Fourier de la fonction de transparence de l’objet soit
* Cet image peut être considérée comme un objet diffractant dont récupère la figure de diffraction dans le plan focal de la lentille L2. On obtient donc dans le plan focal une image d’amplitude
Or dans l’expression de la transformée de Fourier det(x, y)on peut changer la variable muette d’intégrationxen−xsans changer l’intégrale. On a donc
**t(x′
Si l’on se rappelle que
t(−x)∗p(x) =
t(−x)p(x′−x)dx (9.28) On voit que l’image formée est donnée par
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9.4. DOUBLE DIFFRACTION 167
**t(x′, y′) =K2t(−x,−y)∗*p(x, y) (9.29) L’image est donc le produit de convolution de la fonction de transparence de l’objet renversé par la réponse impulsionelle de ce qui se passe dans le plan de Fourier en l’absence de la figure de diffraction dans ce plan. Dans le cas particulier où il n’y a rien dans le plan de Fourier on a
* Il devient clair que l’on mesure alors
**t(x′, y′) =K2λ2f2t(−x′,−y′) (9.31) soit à une constante près la transparence de l’objet renversé.
9.4.3 Expérience d’Abbe
L’expérience d’Abbe (1873) consiste à modifier la figure de diffraction dans le plan de Fourier. Cette modification en langage moderne est appelée filtrage. Comme elle consiste à occulter certaines parties du spectre de Fourier de fréquences spatialesu, v, cette opération est connue sous le nom de filtrage des fréquences spatiales.
L’une des expériences très spectaculaire de filtrage consiste à détramer un réseau carré en filtrant les fréquences de Fourier dans une direction du spectre ainsi que l’ex-plique la figure 9.7.
F.9.7 — Réseau de diffraction carré contenu dans le plan objet et sa transformée de Fourier observable dans le plan de Fourier
168 CHAPITRE 9. HOLOGRAPHIE
La mise en place d’une fente coupant toutes les fréquences spatiales dans la direction Xconduit à ne conserver que les fréquences spatiales selonY (voir figure ).
X (mm-1)
F.9.8 — Filtrage dans le plan de Fourier au moyen d’une fente qui coupe toutes les fréquences spatiales sauf celles contenues dans la direction Y en X=0
Si l’on réalise la transformée de Fourier de l’image représentée figure 9.8 on voit bien alors que l’on ne récupèrera dans le plan image que des lignes périodiques selon y′.
On peut expliquer mathématiquement ce phénomène en explicitant la fonction p
*
Par changement de variable on aboutit à
*
Il s’ensuit que l’image formée dans le plan image n’est pas altérée selon Oy’ en raison de la présence de la distribution de Dirac dans cette direction mais est sérieusement
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9.4. DOUBLE DIFFRACTION 169 modifiée selon Oy. Si l’onde éclairant l’objet est plane d’amplitudeA0, l’amplitude de l’onde dans le plan image est donnée par
A(x′, y′) =A0**t(x′, y′) =A0aλfK2t(−x,−y)∗sincπxa
λf (9.36)
Nous montrons par exemple ce qui se passe si l’objet est constitué de deux réseaux de traits accolés l’un à l’autre perpendiculairement. Les 4 photos suivantes montrent le parallèle entre la figure de Fraunhofer (à gauche), filtrée ou non, et l’image obtenue (à droite) : en resserrant la fente verticale, le réseau vertical a disparu.
F.9.9 — 9.4.4 Strioscopie
Cela consiste à placer dans l’espace objet un objet de phase. Un objet qui modifie la phase de l’onde incidente uniformément est une lame mince de verre d’épaisseureet d’indicen. Si la phase à l’entrée de la lame est nulle (onde plane avec origine des phases sur le plan d’entrée), alors la phase en sortie de la lame seraφ(x, y) = 2πne/λet sera constante si l’épaisseur de la lame l’est. Si on ne place rien dans l’espace de Fourier on observe une intensité constante dans le plan image. En effet l’onde plane qui arrive en incidence normale sur l’objet en ressort avec une amplitude
170 CHAPITRE 9. HOLOGRAPHIE
A(x, y) =A0t(x, y) =A0e−iφ(x,y) (9.37) L’amplitude mesurée dans le plan image en absence de masque dans le plan de Fourier est donc
A(x′, y′) =**t(x′, y′)A0=A0λ2f2K2t(−x,−y) =A0λ2f2K2e−iφ(−x,−y) (9.38) et l’intensité qui en résulte est bien constante et vaut
I(x′, y′) =
A0λ2f2K22
(9.39) Supposons maintenant que l’on place une lame d’épaisseur variable dans le plan objet (voir figure??).
e n
y
Objet de phase constitu d’une lame d’paisseur variable. Dans la partie enfle de la lame le chemin optique diffre de celui dans l’air de(n−1)e.
Il s’ensuit que la phase en sortie de lame n’est pas constante.
En sortie de lame la phase n’est plus uniforme. Elle vaut φ(x, y) =
+
φ1=2πn(a+e)λ siy∈rectb(y−y0)
φ2=2π(na+e)λ =φ1+2π(1−n)eλ autrement (9.40) L’onde en sortie de lame vaut donc
A(x, y) =A0t(x, y) =A0e−iφ1rectb(y−y0) +A0e−iφ2[1−rectb(y−y0)] (9.41)
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soit9.4. DOUBLE DIFFRACTION 171
A(x, y) =A0
e−iφ1−e−iφ2
rectb(y−y0) +A0e−iφ2 (9.42) On voit ainsi que
Il s’ensuit que l’intensité mesurée sur l’écran du plan image devient
I(x′, y′) =
A0λ2f2K22
e−iφ1−e−iφ2
rectb(y0−y′) +e−iφ22 (9.43) Le produit de deux portes étant une porte il vient
I(x′, y′) = La petite variation de phase ne produit donc aucun effet sur l’écran qui est éclairé de façon uniforme.
Si par contre on place dans le plan de Fourier un petit écran qui coupe les fréquences spatiales voisines dev=0 il en est tout autrement. En effet on mesure dans le plan de Fourier laT.F.deA(x, y)donnée par 9.42. Cette T.F. contient deux termes
* Le deuxième terme ne contient que des fréquences spatiales proches deu=0 etv=0 qui seront filtrées (éliminées) par le masque alors que le premier fait apparaître des
172 CHAPITRE 9. HOLOGRAPHIE
fréquences très élevées pour peu quebsoit assez petit. Ces fréquences ne seront pas altérées par le filtre et il s’ensuit que nous mesurerons dans le plan image
I(x′, y′) =T.F.(A,1(u, v)2= 2 Si l’on admet que le changement de phase est faible alors
cos2π(n−1)e On observe sur l’écran une intensité très faiblement contrastée de même étendue que le défaut de phase. Le faible contraste est dû au terme2π(n−1)e
λ
2
<<1dont la valeur est extrèmement petite.
En filtrant la composante de Fourier de fréquence nulle (fond continu), on montre que l’on peut rendre visible un objet de phase, et améliorer le contraste d’un objet quasi-transparent. C’est ce qu’on appelle la strioscopie. On utilise pour cela un cache noir circulaire de petite dimension (juste assez grande pour couper entièrement le faisceau en l’absence d’objet diffractant : l’écran doit être noir), placé au centre du plan de Fourier. L’image ci-dessous montre un goutte de glycérol placée dans l’eau, sans et avec filtrage(expérience réalisée avec une source de lumière blanche) :
F.9.10 —
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9.4. DOUBLE DIFFRACTION 173 9.4.5 Contraste de phase
Le contraste de phase a été inventé par le physicien Zernike ce qui lui valut le prix Nobel en 1953. En effet nous venons de voir que si le montage strioscopique permet de fait d’observer des objets de phase, il n’en reste pas moins très peu lumineux. En contraste de phase, le masque qui se trouve dans dans le plan de Fourier est remplacé par une lame de phase qui change en ce lieu la phase deπ/2. Nous rappelons que l’amplitude en sortie de l’objet de phase est donnée par
A(x, y) =A0
e−iφ1−e−iφ2
rectb(y−y0) +A0e−iφ2 (9.55) ce qui conduit à
A(u, v) =T.F.
A0
e−iφ1−e−iφ2
rectb(y−y0) +T.F.
A0e−iφ2
(9.56) Après la lame de phase on a
A(u, v) =T.F.
A0
e−iφ1−e−iφ2
rectb(y−y0)
+eiπ/2δ(u)δ(v)T.F.
A0e−iφ2 (9.57) ce qui montre que le second terme qui est constant et qui n’apparaît qu’au centre du plan de Fourier devient déphasé. Ce déphasage dans le plan de Fourier est équivalent à déphaser l’ondeA0e−iφ2deπ/2(en effet eiπ/2est une constante). On a alors
I(x′, y′) =
A0λ2f2K22
(1 +... (9.58)
e−iφ1−e−iφ2
ei(φ2+π/2)+
eiφ1−eiφ2
e−i(φ2+π/2)
rectb(y0−(9.59)y′) +
eiφ1−eiφ2 e−iφ1−e−iφ2
rectb(y0−y′)) (9.60) soit
I(x′, y′) =
A0λ2f2K22
(1 +... (9.61)
e−iφ1−e−iφ2
ei(φ2+π/2)+
eiφ1−eiφ2
e−i(φ2+π/2)
rectb(y0−(9.62)y′) +2(1−cos (φ2−φ1)rectb(y0−y′)) (9.63) Il s’ensuit que
I(x′, y′) =
A0λ2f2K22
(1 + 2 cos (φ2−φ1−π/2)rectb(y0−y′) + (9.64) 2(1−cos (φ2−φ1)rectb(y0−y′)) (9.65) Si l’on analyse l’ensemble de ces trois termes on voit que le dernier est négligeable par rapport aux précédents ce qui permet d’écrire que
174 CHAPITRE 9. HOLOGRAPHIE
I(x′, y′) =
A0λ2f2K22
(1 + 2 cos (φ2−φ1−π/2)rectb(y0−y′)) (9.66) soit
I(x′, y′) =
A0λ2f2K22
(1 + 2 sin (φ2−φ1)rectb(y0−y′)) (9.67) ou encore
I(x′, y′) =
A0λ2f2K22
(1 +4π(n−1)e
λ rectb(y0−y′)) (9.68) Le plan image est éclairé uniformément sauf à l’endroit de l’objet de phase ou une surintensité apparaît. Par rapport au montage strioscopique on a un montage plus lumineux.
La méthode de contraste de phase est très appréciée des biologistes qui observent des objets transparents dont l’indice diffère de peu du milieu liquide dans lequel ils sont immergés.