Grandeurs locales

L’examen de l’influence de l’indice de comportement, n, qui est un paramètre significatif de la pseudoplasticité du fluide étudié, sur les vitesses axiale et radiale, est illustré sur les figures 15 et 16.

La figure 15, montre les profils des vitesses axiales relatifs à deux valeurs de l’indice de comportement, n = 0.68 (fluide d’Ostwald) et n = 1(fluide newtonien). On peut constater qu’une diminution de n, qui se traduit par une pseudoplasticité plus marquée, s’accompagne d’une diminution de la viscosité apparente qui entraine donc une augmentation des amplitudes des vitesses axiales. Nous obtenons des résultats qualitativement semblables à ceux obtenus par différents auteurs, que ce soit dans le cas de conduites déformables, ou dans le cas de conduites rigides tronconiques Gueraoui et al. [42] et Hammoumi et al. [43].

73 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 20 40 60 80 100 Vi te sse a xi a le (cm s-1 ) r/R n=0.68 n=1

Figure 15 : Profils de la vitesse axiale en fonction de la variable radiale, r/R, à l’instant T/2 pour deux valeurs de l’indice de comportement du fluide, n

Par contre, sur la figure 16, nous remarquons qu’une diminution de n entraine une diminution des amplitudes des vitesses radiales.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Vi te sse ra d ia le (cm s-1 ) r/R n=0.68 n=1

Figure 16 : Profils de la vitesse radiale en fonction de la variable radiale, r/R, à l’instant T/2 pour deux valeurs de l’indice de comportement du fluide, n

74

L’influence de la consistance du fluide, K, sur les vitesses axiale et radiale est illustrée sur les figures 17 et 18.

La figure 17, indique les variations des profils des vitesses axiales en fonction de la consistance, K, du fluide. Les variations de, K, influent sur les profils des vitesses axiales et ceci, quelque soit l’indice de comportement n. La diminution des valeurs des vitesses axiales d’une part et d’autre part, l’aplatissement des profils au centre de la conduite, est dû à l’accroissement du frottement interne entre les diverses couches coaxiales du fluide lorsque K augmente.

Sur la figure 18, une augmentation de la consistance du fluide se traduit par une augmentation des amplitudes des vitesses radiales. Ces résultats sont semblables à ceux obtenus par Gueraoui et al. [45].

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 20 40 60 80 100 Vi te sse a xi a le (cm s-1 ) r/R k=0.047 k=0 .052

Figure 17 : Profils de la vitesse axiale en fonction de la variable radiale, r/R, à l’instant T/2 pour deux valeurs de la consistance du fluide, K

75 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Vi te sse ra d ia le (cm s-1 ) r/R k=0.047 k=0 .052

Figure 18 : Profils de la vitesse radiale en fonction de la variable radiale, r/R, à l’instant T/2 pour deux valeurs de la consistance du fluide, K

Les figure 19 et 20 montrent l’évolution des profils des vitesses axiale et radiale pour deux valeurs de l’angle au sommet du cône Ψ = 0.025 rd et Ψ = 0.015 rd. Nous constatons sur la figure 19, qu’une diminution de Ψ entraine une diminution des valeurs de la vitesse axiale.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 20 40 60 80 100 Vi te sse a xi a le (cm s-1 ) r/R

angle au sommet du cône=0.025 angle au sommet du cône=0.015

Figure 19 : Profils de la vitesse axiale en fonction de la variable radiale, r/R, à l’instant T/2 pour deux valeurs de l’angle au sommet du cône, Ψ

76

Par contre, sur la figure 20, on remarque que les valeurs de la vitesse radiale augmentent lorsque Ψ diminue. Ceci est dû à l’augmentation de la section du tube. 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Vi te sse ra d ia le (cm s-1 ) r/R k=0.047 k=0 .052

Figure 20 : Profils de la vitesse radiale en fonction de la variable radiale, r/R, à l’instant T/2 pour deux valeurs de l’angle au sommet du cône, Ψ

Nous étudions sur les figures 21 et 22 l’influence de l’élasticité de la paroi sur les profils de la vitesse axiale et la vitesse radiale.

On note, sur ces deux figures, qu’une augmentation du coefficient d’élasticité, α, de la paroi conduit à une diminution du module d’Young au cours d’une période, donc à une grande déformabilité de la paroi et par conséquent, à une augmentation des valeurs des vitesses axiale et radiale. Ces résultats sont qualitativement semblables à ceux obtenus par Gueraoui et al. [45]

77 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 20 40 60 80 100 Vi te sse a xi a le (cm s-1 ) r/R alpha=0.4 alpha=0.5

Figure 21 : Profils de la vitesse axiale en fonction de la variable radiale, r/R, à l’instant T/2 pour deux valeurs du coefficient d’élasticité de la paroi, α

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 Vi te sse ra d ia le (cm s-1 ) r/R alpha=0.4 alpha=0.5

Figure 22 : Profils de la vitesse radiale en fonction de la variable radiale, r/R, à l’instant T/2 pour deux valeurs du coefficient d’élasticité de la paroi, α

78

V. Conclusion

Nous avons présenté des résultats de notre code numérique qui nous a donné la possibilité de simuler l’écoulement sanguin en microcirculation. Les résultats obtenus sont en parfaite accord avec ceux d’autres auteurs qui traitent des problèmes similaires.

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Conclusion générale

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L’objet de notre travail concerne une modélisation des écoulements non permanents de fluides non-newtoniens en conduites déformables.

Afin d’aborder le problème sous un aspect assez général, nous avons proposé un modèle qui teinne compte, d’une part, de la géométrie du réseau vasculaire en considérant une conduite axisymétrique déformable à paroi mince, élastique, de forme tronconique au repos et d’autre part, du comportement rhéologique du sang , fluide non-newtonien modélisé par la loi d’Ostwald.

Les études numériques que nous avons menées ont été établies de manière à pouvoir prendre en compte une grande variété de fluides.

La partie relative aux écoulements en conduites tronconiques rigides tient compte d’hypothèses moins restrictives par rapport à celles qui sont retenues dans les études présentées dans la littérature. L’aspect original provient de la prise en considération simultanée des termes de convection et de l’aspect non linéaire du comportement rhéologique du fluide.

Le modèle numérique proposé a permis de mettre en évidence l’influence de différents paramètres (élasticité, fluide plastique) dans le cas des écoulements périodiques.

Pour l’étude des écoulements pulsés en conduites déformables (à paroi mince élastique), nous nous sommes attachés à mettre au point une méthode de résolution numérique peu contraignante au niveau de la stabilité. Nous avons, pour cela, utilisé une méthode aux volumes finis.

Nous avons dans le cas où la pression se propage le long du vaisseau sanguin sans subir de réflexion en s’amortissant totalement à l’infini aval, établi le système des équations locales traduisant la conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Système que nous avons simplifié en considérant le cas

81

d’une conduite dont le rapport entre son rayon d’entrée au repos et sa longueur au repos est très petit devant l’unité.

Comme le gradient de pression est inconnu le long de la conduite, le système des équations locales ne peut être résolu séparément, on lui a donc adjoint le système des équations intégrales qui décrit de manière globale l’écoulement.

Nous avons systématiquement analysé l’influence et l’évolution des phénomènes liés aux différents paramètres du modèle, à savoir pour le sang : la consistance du fluide, K, et l’indice de comportement, n, du fluide et pour la conduite : l’angle au sommet du cône, ψ, et l’élasticité de la paroi.

Les résultats obtenus ont montré l’importance de certains paramètres tels que, l’indice de comportement, n, l’élasticité de la paroi et la consistance, K, du fluide. La variation de chacun de ces différents paramètres influence aussi bien les grandeurs globales que les grandeurs locales.

Les différentes études que nous avons menées peuvent trouver divers champs d’applications, notamment dans le domaine de l’hémodynamique. En effet, dans un système aussi complexe que le réseau cardio-vasculaire, les phénomènes qui prédominent varient fortement suivant le site du réseau : dans l’aorte, par exemple, la déformabilité de la paroi et sa conicité jouent un rôle essentiel sur l’écoulement.

Ce travail nous semble constituer à la fois un complément nécessaire aux études antérieures, souvent très simplifiées, qui ont été réalisées dans ce domaine, et un préambule aux traitements de cas plus proches des réalités biomécaniques voire industrielles.

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