O último encontro ocorreu no dia 16 de dezembro de 2004, igualmente no LIEM e destinou-se totalmente à exposição das atividades desenvolvidas pelas duplas aos colegas engajados na pesquisa e ao professor João Peres. Contamos ainda, nesta sessão, com a presença de um colega da turma que não estava em RER.
Foto 2: Flávio
Elucidamos que esta sessão se caracterizou como o fechamento do trabalho com os projetos, porém, foram promovidos outros encontros no primeiro semestre do ano de 2005, em que conversamos sobre os aspectos notáveis da intervenção realizada. Não obstante, promovemos uma experiência no LIEM com alguns calouros do Curso de Matemática, na qual uma dupla (Flávio e Luciano) explorou as atividades do projeto que desenvolveu, conforme registro fotográfico mostrado a seguir.
Retomando as considerações acerca do encontro de socialização dos projetos, acrescentamos que este foi um dia agitado, os alunos estavam ansiosos e tensos com o momento da apresentação das atividades produzidas. Alguns participantes (Edson, Paula e Vitor) chegaram ao laboratório por volta das 15 horas para acertar os últimos detalhes do trabalho e rever as questões que seriam explanadas e discutidas com o grupo. O início das atividades, conforme previsto, deu-se pontualmente às 17 horas, prolongando-se até às 20:20.
Antes de iniciarmos as apresentações, combinamos que o professor João Peres faria os comentários e sugestões concernentes às questões e aos assuntos de Geometria Analítica, enquanto que a professora-pesquisadora filmaria a exposição das atividades e faria considerações sobre as mesmas. Ficou acertado, também, que os componentes das outras duplas poderiam fazer colocações sobre os trabalhos que estivessem sendo mostrados, porém, isso não se verificou, talvez por inibição à câmera ou à presença do professor.
Neste encontro, foram notáveis os momentos de reflexão experimentados pelos alunos durante a exposição das atividades. Constantemente o professor João tecia comentários relativos ao software ou aos conceitos discutidos. Outras vezes interrogava os alunos acerca das atividades e dos conceitos envolvidos nas mesmas, ou sobre outras possibilidades de explorá-las. Não raro, um aluno durante a sua exposição percebia que havia cometido um erro conceitual e imediatamente retomava o ponto negligenciado, corrigindo-o.
Em alguns casos, após as colocações do professor, o aluno refletia sobre as considerações feitas pelo mesmo, ponderava sobre o equivoco apontado e, recorrendo a conhecimentos e concepções prévias, sugeria uma forma de saná-lo. Porém, em outras situações o próprio professor indicava os lapsos ou enganos cometidos e propunha correções, conforme podemos verificar na transcrição apresentada abaixo, o qual relata parte de exposição da primeira atividade desenvolvida pela dupla Flávio e Luciano.
Flávio: Sejam as retas representadas pelas equações: r: X = (2 ,3) + λ (2 , 2) (λ∈ IR) ( I ) s: X = (2 ,4) + µ (3, 6) (µ ∈ IR) (II )
Para verificar se as retas são concorrentes basta verificar se seus vetores diretores não têm mesma inclinação, ou seja, na prática, basta verificar se as coordenadas (2,2) e (3,6) não são “proporcionais”.
Neste caso fica fácil perceber que os dois vetores não seguem proporção. Portanto as retas que contêm esses vetores são concorrentes. Sendo concorrentes, podemos analisar ainda, se essas retas são coincidentes ou se são distintas. Então, transformando a equação (I) em paramétrica e atribuindo o valor 1 a λ, encontramos mais um ponto, que é o ponto que a gente estava precisando.
Prof. João Peres: Eu gostaria de fazer uma observação. É. Você diz que para conseguir o outro ponto para mostrar as posições relativas desses dois vetores, primeiro devemos transformar as equações vetoriais em paramétricas. Não há necessidade de transformar as equações vetoriais em paramétricas.
Flávio: Não?
Prof. João Peres: Bastaria. Volta na sua equação, por favor. Essa equação aqui { r: X = (2 ,3) + λ (2 , 2)} é uma equação vetorial. Bastaria você atribuir um valor para Lambda (λ), porque qualquer ponto que você pegar (...). Substituindo o par (2,3) numa equação e o outro ponto na outra. Veja. Bastaria você atribuir um valor para Lambda (λ) que não seja o ponto (0,0). Desculpa, que não seja o zero, senão vai repetir o ponto (2,3), e atribuir um valor para Mi (µ) que não seja o zero.
Tendo como pressuposto as situações observadas neste encontro, avaliamos que a socialização dos resultados se constituiu em um momento de formalização de conceitos essencial ao fechamento do trabalho com projetos nos processos educacionais (VALENTE, 2003c), em conseqüência das discussões e reflexões que surgiram ao longo das exposições dos licenciandos, bem como pelas contribuições do professor João.
Situação semelhante verificou-se no momento em que a dupla Edson e Bruno expunha uma das suas atividades ao grupo. Nesta, a dupla propôs uma definição para produto vetorial não muito usual nos cursos de Geometria Analítica, então o professor presente, ao comentar a questão, sugeriu que esta fosse substituída levando em conta que os livros não mencionam a divisão de vetor e sim, a multiplicação de um número real por um vetor. Porém, o professor considerou, que mesmo não sendo uma abordagem comum, esta pareceu ser mais acessível à aprendizagem deste conceito, sendo, portanto, aceitável.
A dupla concordou que a abordagem adotada não foi encontrada no material disponível para consulta no cenário da investigação, mas avaliaram que a mesma pareceu ser mais facilmente compreendida desta forma e que, assim, os alunos que fossem utilizá-la, poderiam compreender melhor esse conteúdo.
Ressaltamos que a formalização de conceitos é extremamente importante no trabalho com projetos, pois, de acordo com o estudo de Petito (2003), este momento se constitui no fechamento daquilo que foi pesquisado e elaborado pelos alunos. Esta etapa deve contar com a mediação atenta do professor para que seja efetuada a contraposição das definições e abordagens apresentadas pelos alunos com as definições formais. Ou seja, consideramos que o projeto precisa, além de ser motivador, instigador e desafiador para o projetista, deve culminar naquilo que é focado no currículo.
Igualmente, constatamos que a exposição do material desenvolvido pelas duplas às pessoas que não estavam envolvidas no processo contribuiu para que estes alunos investigassem as potencialidades do software Geometricks de forma crítica, reforçando sempre o papel do mesmo à aprendizagem de conceitos matemáticos e de que forma o professor (eles) precisa intervir neste tipo de prática pedagógica.
Durante a exposição dos projetos os licenciandos avaliavam constantemente as contribuições e limitações do software à abordagem dos conceitos implícitos em cada uma das atividades construídas, mostrando em que situações (se na introdução de um novo conceito ou no aprofundamento do conteúdo visto em sala de aula) este recurso pode favorecer a aprendizagem de conceitos matemáticos.
No caso do estudo de vetores, assim como a dupla Paula e Vitor, também o professor João Peres ponderou que o software não privilegiou a representação gráfica dos mesmos, pois não dispõe de setas que indicam a orientação (sentido) de vetor. Por outro lado, com relação à construção de cônicas e ao estudo do plano, todos concordaram que o Geometricks auxilia a compreensão destes assuntos e suas propriedades, pois as representações geométricas executadas complementam as definições.
Nesta sessão foi possível perceber a relevância de ocorrer a socialização dos resultados dos projetos desenvolvidos para a realização pessoal dos sujeitos engajados neste tipo de trabalho pedagógico, aspecto este que é defendido por Petito (2003), Maltempi (2004) e Valente (2003c). A satisfação de estarem mostrando suas atividades a outras pessoas, atividades estas que foram resultado exclusivo do seu esforço, dedicação e trabalho, estava estampada nas faces destes estudantes e pode ser constatada em alguns depoimentos, como o que está exposto abaixo.
Avaliando o momento da socialização das atividades produzidas durante o processo de coleta de dados, Flávio acrescenta que
o que mais me marcou nesta experiência foi a exposição das atividades pro professor. Pra um professor. Eu acredito que ali, é [pausa] a gente passou nervosismo, ansiedade, tudo. Era uma experiência que a gente nunca tinha tido entendeu. Talvez, alguns já tivessem, assim, estado no papel de professor, mas pra mim foi novidade.
Entretanto, acrescentamos que algumas das etapas que constituíram a intervenção investigada nesta pesquisa apresentaram pontos críticos e, de certa forma, podem ter acarretado implicações tanto no desenvolvimento dos projetos dos sujeitos, quanto no processo de descrever e analisar a própria intervenção, conforme considerações explicitadas na seção subseqüente.