où V est le vecteur regroupant les vitesses nodales des 4 nœuds de l’élément considéré, et B la matrice des dérivées des fonctions de forme (considérée à la position (0,0) conformément à
2.2.4 Gestion des éléments hétérogènes en plasticité
En visualisant les taux de déformations plastiques pendant le calcul, nous remarquons que sur certains éléments, contenant à la fois des particules de sol et d’air, des valeurs élevées peuvent être relevées avec une discontinuité du champ à la limite de ces éléments. C’est le cas par exemple des particules que nous avons encadrées aux figures 2.21a (pour g=1,7 m/s2) et 2.21b (pour g=3,7 m/s2). Nous montrons, grâce à un calcul supplémentaire, que la largeur de ces bandes "sur-plastifiées" dépend de la taille des éléments (voir figure 2.21c pour g=3,7 m/s2 et des éléments de dimensions 0,625×0,625 m).
Nous supposons donc que ce résultat est un effet numérique qui s’explique par le remplissage hétérogène des éléments, à la frontière entre les matériaux sol et air.
Or, nous avons rappelé précédemment qu’il était important pour un comportement irré-versible comme la plasticité, d’avoir le moins possible de fluctuation des réponses lors de
Figure 2.21: Mise en évidence d’une plasticité numérique sur les éléments en frontière de l’échantillon, pour g=1,7 m/s2 (a) et g=3,7 m/s2 (b). Résultats pour g=3,7 m/s2 avec un maillage plus fin
a. b. c.
la recherche de la solution finale. En effet, des particules "sur-plastifiées" pour une raison purement numérique créent une erreur conservée pendant toute la suite calcul.
Essayons de comprendre plus précisément cet effet.
Rappel : Construction de la matrice de viscosité pour un élément hétérogène
Étant donné le déplacement des particules dans le maillage Eulérien avec la MEFPIL, il est possible (et même fréquent) d’avoir une configuration dans laquelle certains éléments sont hétérogènes, c’est-à-dire constitués de particules de différentes natures. Le calcul de la matrice de viscosité élémentaire intègre donc les paramètres constitutifs de ces différents matériaux. Par exemple, dans le cas d’un modèle de sol à bord libre, la matrice élémentaire d’un élément hétérogène sol-air a des composantes moins élevées que celles d’une matrice élémentaire d’un élément rempli uniquement de sol. De la même manière, ses composantes sont plus élevées que si l’élément était rempli uniquement d’air. Par conséquent, pour un même état de contrainte appliqué, les taux de déformations générés dans cet élément sol-air sont intermédiaires entre ceux -élevés- qui seraient générés dans un élément ’air’ et ceux -plus faibles- qui seraient générés dans un élément ’sol’.
Plus particulièrement, si un élément hétérogène est majoritairement constitué de particules ’air’, les taux de déformation de toutes les particules vont être typiques de ceux de l’air, c’est-à-dire très élevés. Or, en élasto-plasticité, la loi Plasol est résolue en chaque point ma-tériau, indépendamment du voisinage en particules. Par conséquent, dans un tel élément, les particules ’sol’ vont avoir une grande tendance à plastifier (même si, pour le sol considéré, l’état de contrainte appliqué n’est pas critique vis-à-vis de la rupture).
Solution proposée
L’idée pour traiter ces éléments hétérogènes élasto-plastiques/visqueux, est de ne pas calculer la matrice de viscosité élémentaire avec l’ensemble des points d’intégration de l’élément, mais uniquement avec les points d’intégration du matériau ’majoritaire’.
En pratique, nous procédons de la manière suivante. Au début de chaque incrément, un marqueur flag est initialisé à 1 pour toutes les particules p du modèle. Puis en fin d’incrément, les éléments hétérogènes "de surface libre" sont recherchés :
2.2. Plasticité et discrétisation élémentaire 93
– Pour chaque élément : si celui-ci est hétérogène, alors, nous comptons le nombre n1 de particules ’sol’ et le nombre n2 de particules ’air’.
– Si n1< n2 : Nous considérons que l’élément a un comportement totalement homogène à l’air. flag(p)=2 pour les particules ’sol’, minoritaires dans l’élément.
– Si n1 > n2 : Nous considérons que l’élément a un comportement totalement homogène au sol. flag(p)=2 pour les particules de type air, en minorité.
– Pour chaque particule p : si flag(p) = 2, alors son poids numérique est annulé.
De cette manière, les particules en minorité dans un élément ne sont pas prises en compte dans le calcul de la matrice de viscosité élémentaire ou des différents termes de forces. De plus, pour ces particules, nous considérons que la plasticité est désactivée (il n’y a ainsi pas de risque de plasticité ’artificielle’), et que la densité est constante (pour ne pas mettre à jour la densité des particules ’sol’ à partir de déformations volumiques représentatives de l’air, potentiellement très élevées - voir Annexe). Insistons sur le fait que les déformations plastiques ne sont pas toujours interdites pour ces particules, elles sont seulement annulées pour certaines configurations particulières au cours du calcul.
Effet de la solution
Le modèle précédent est maintenant calculé avec le traitement des éléments de surface libre. Nous présentons à la figure 2.22 les résultats pour les deux étapes de chargement présentées à la figure 2.21 (g=1,7 m/s2 en a et g=3,7 m/s2 en b).
Ces deux vues mettent en évidence que les particules "sur-plastifiées" ne le sont plus. Elles se situaient effectivement dans des éléments où les particules ’air’ étaient majoritaires et imposaient leur comportement.
Figure 2.22: Effet de la prise en compte des éléments hétérogènes pour g=1,7 m/s2 (a) et g=3,7 m/s2 (b)
a. b.
En continuant le chargement de ce modèle, l’effet de cette modification s’avère très important, puisque nous voyons à la figure 2.23a que sans la prise en compte de ce traitement des éléments hétérogènes les particules de sol se déplacent en "bouffée" dans l’air, alors qu’avec la modification (figure 2.23b), le comportement semble beaucoup plus physique.
L’instabilité dans le premier cas est-elle d’ordre numérique ou matériel (rupture) ? Nous aurons l’occasion de revenir sur cette question au Chapitre 3.
Notons, en tout cas, que le niveau de sollicitation est très élevé au vu des vitesses de défor-mation plastique atteintes (>18 s−1). En extrayant la variation de ||dεp|| d’un incrément à
l’autre, nous obtenons, dès un chargement 3,8 m/s2, des valeurs de l’ordre de 0,1 % pour les points très plastifiés en base de la bande de cisaillement (x=4,5 m et y=1 m), ce qui est 10 fois supérieur au critère établi à la partie 2.1.4.
Pour cette raison, nous ne nous intéressons pas à la fin du chargement, même avec le traite-ment des élétraite-ments hétérogènes.
Figure 2.23: Calcul sans traitement des éléments hétérogènes sol-air pour g=5,4 m/s2 (a) et avec traitement de ces éléments (même gravité)
a. b.