où V est le vecteur regroupant les vitesses nodales des 4 nœuds de l’élément considéré, et B la matrice des dérivées des fonctions de forme (considérée à la position (0,0) conformément à
2.3 Analyse de stabilité de pentes heuristiques
2.3.2 Comparaison MEFPIL / MEF Lagrangienne Présentation du modèlePrésentation du modèle
Le modèle étudié est constitué d’un talus vertical de 10 m, présenté à la figure 2.27, maillé avec des éléments Q4, de dimension 1×1 m. Les conditions aux limites sont des ancrages sur les 4 bords du modèle et le chargement consiste en une augmentation linéaire de la gravité jusqu’ à 9,81 m/s2.
Figure 2.27: Géométrie et conditions aux limites du modèle de talus vertical
Le calcul est mené d’une part avec Abaqus Standard (en MEF Lagrangienne réactualisée), d’autre part avec Ellipsis.
La redistribution du champ de contrainte grâce à la prise en compte des déformations a donc lieu avec ces deux modèles (la configuration est réactualisée dans les 2 cas).
Comme dans le paragraphe 2.2.2, la surface de charge choisie dans Abaqus est celle de Mohr-Coulomb (le critère de Van Eekelen n’est pas proposé par défaut dans Abaqus), alors que nous travaillons dans Ellipsis avec celle de Van Eekelen. Nous considérons dans ce modèle, un comportement du sol plus réaliste que pour le modèle précédent, avec un écrouissage de la surface de charge.
L’évolution de la cohésion C, entre sa valeur initiale et sa valeur critique, est similaire pour les deux codes (elle a été définie à l’aide de Bc pour Ellipsis, et d’une table de corrélation C − εPeqrentrée manuellement pour Abaqus). Nous n’avons pas décrit d’écrouissage de l’angle de frottement, car avec Abaqus, seul C peut par défaut être écroui.
Les propriétés mécaniques sont présentées au tableau 2.8.
Les paramètres numériques sont les mêmes qu’au modèle du paragraphe 2.2.2 (voir tableau 2.4) car les paramètres élastiques sont les mêmes que pour ce précédent modèle. Les
para-mètres effectifs de l’air restent donc négligeables devant ceux du sol, et la relaxation visqueuse négligeable pendant quelques centaines d’incréments (la gravité étant appliquée en 75 pas de temps).
Table2.8: Paramètres physiques du talus
E ν ϕe0= ϕc0 C0 ϕef = ϕcf Cf ψe =ψc Bp Bc ρ
(MPa) (°) (kPa) (°) (kPa) (°) (kg/m3)
5 0,35 30 40 30 75 15 0,01 0,02 2000
Remarque : Il faut souligner qu’une modélisation avec des éléments Q4 de 1×1 m en interpola-tion constante par les dérivées des foncinterpola-tions de forme est beaucoup trop imprécise pour obtenir ici des résultats fiables. Cependant dans cette modélisation, nous nous intéressons moins aux résultats en tant que tels qu’à la comparaison entre les résultats de deux méthodes numériques. Nous nous sommes dans un premier temps intéressés à un modèle avec une cohésion rela-tivement élevée, afin que la plasticité ne soit que légèrement activée (entrée du domaine de plasticité).
Comparaison des résultats à l’entrée du domaine de plasticité
Avant de décrire le sol avec un comportement élasto-plastique, nous avons souhaité simple-ment vérifier le comportesimple-ment en élasticité, en comparant les déplacesimple-ments horizontaux sur un profil vertical de nœuds situé à 1 m en retrait du front de talus. Les résultats sont pré-sentés à la figure 2.28 a. et montre que les résultats sont effectivement les mêmes (2, 5% de différence relative maximum sur la hauteur de talus). L’aspect ’en dent de scie’ des profils est dû à la faiblesse de l’approximation considérée : avec Ellipsis, l’interpolation constante par les dérivées des fonctions de forme est prise en compte et avec Abaqus, nous avons choisi une intégration réduite afin d’être comparable. Cet aspect disparait pour une interpolation normale.
Figure 2.28: Comparaison, sur un profil vertical de nœuds, des déplacements horizontaux en élasticité (a), à l’entrée du domaine plastique (b)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 5 10 15 20 25 Z(m) Déplacements en X (m) Abaqus Ellipsis a. b.
Puis, nous avons mené un calcul élasto-plastique avec les paramètres suivants : C=40-75 kPa et ϕ=30°.
2.3. Analyse de stabilité de pentes heuristiques 99
Les résultats de cette modélisation sont donnés à la figure 2.28 b. en terme de déplacements horizontaux : les solutions trouvées avec Abaqus et Ellipsis sont encore concordantes (3, 7% de différence relative maximum sur la hauteur de talus). Notons que les déformations plastiques sont bien faibles ici, puisque la déformation principale majeure plastique avoisine seulement 3% au pied du talus.
Comparaison des résultats pour une sollicitation proche du critère limite de plas-ticité
Lorsque nous réitérons ces 2 calculs en diminuant progressivement les valeurs de cohésion, il vient que pour C=4 - 32 kPa le calcul réalisé avec Abaqus ne converge plus, alors que le calcul mené avec Ellipsis continue de donner des résultats stables dans le sens où les vitesses nodales tendent à être nulles en fin du chargement.
Pour le calcul avec Ellipsis, le trajet de chargement en contraintes en tracé dans l’espace des contraintes principales et dans un plan J2σ / pression (figure 2.29a et b). Nous observons que le second invariant de contrainte finalement obtenu est proche du critère limite de plasticité, sans l’avoir atteint.
Figure 2.29: Trajet de chargement pour le calcul mené avec Ellipsis (x=22,5 m, y=15 m), dans l’espace des contraintes principales (a) et dans un plan J2σ-p (b)
a. b.
Remarque : La représentation J2σ-p de la figure 2.29b est basée sur le calcul -à chaque état de contrainte- du rayon de la limite élastique et du critère limite de plasticité dans la direction définie par l’angle de Lode θ (rappelons que la trace de ces 2 surfaces dans le plan déviatoire n’est pas circulaire lorsque celles-ci sont de type Van Eekelen). Dans le cas du chargement décrit ici, toutes les contraintes ont un angle de Lode proche, puisque les points qui les repré-sentent dans l’espace des contraintes appartiennent globalement à un même plan (en rouge sur la figure 2.29a). De ce fait, les enveloppes de limite élastique et du critère limite de plasticité, tracées dans le plan J2σ-p de notre représentation, correspondent quasiment à l’intersection entre les enveloppes 3D et le plan orienté selon l’angle de Lode (en rouge) et sont presque rec-tilignes. Cette représentation est un substitut à la représentation tridimensionnelle du trajet de contrainte de la figure 2.29a qui ne permet pas de bien visualiser la position d’un état de
contrainte par rapport aux limites élastiques et plastiques. De plus, elle est plus précise qu’un repère q = (σyy− σxx), p où la variation du critère plastique en fonction de l’angle de Lode n’est pas visible.
Il est communément admis que la perte de convergence d’un modèle numérique et la perte de stabilité d’un système physique sont liés. Est-il possible, puisque le modèle ne prend pas en compte de radoucissement ni de conditions isochore pouvant entraîner une rupture avant le critère plastique, que le calcul mené avec Abaqus ait simplement atteint une rupture due au dépassement du critère plastique ? En supposant que le trajet de chargement est identique pour les 2 calculs, nous l’avons représenté, dans le repère des contraintes principales, en le positionnant par rapport aux surfaces limites de rupture plastique de Mohr Coulomb et Van Eekelen (voir figure 2.30). Cette figure met en évidence que les derniers pas de chargement mènent à un état de contrainte situé au-delà de la surface de Mohr-Coulomb et en deçà de la surface de Van Eekelen.
Figure 2.30: Trajet de chargement dans le repère des contraintes principales, et position vis-à-vis des surfaces de rupture plastique de Van Eekelen et de Mohr-Coulomb
a. b.
La différence de résultats vis-à-vis de la stabilité s’explique donc ici uniquement par la diffé-rence des surfaces de charge considérées, et non par la diffédiffé-rence des méthodes.
Cependant, voyons à présent qu’il faut être prudent avec les résultats obtenus avec Ellipsis en élasto-plasticité, pour un modèle à surface libre.
2.3.3 Influence du matériau de remplissage pour les modèles à bords libres