Il est clair que l’estimation des matrices essentielle E et d’homographie H n´ecessite la connaissance de l’´etalonnage (la matrice K) de la cam´era. Par cons´equent, l’estimation du d´eplacement de la cam´era et de la structure de la sc`ene est affect´ee par d’´eventuelle erreurs sur les param`etres intrins`eques.
A partir de la matrice essentielle estim´ee bE et en utilisant la m´ethode d´ecrite
dans [Hartley 92] bas´ee sur la decomposition SVD de bE, il est possible d’estimer la
matrice de rotation et la translation `a un facteur d’´echelle pr`es.
Dans la suite de ce chapitre, nous nous int´eressons essentiellement aux matrices d’homographies. Apr`es un bref aper¸cu sur quelques r´esultats fondamentaux de la g´eom´etrie ´epipolaire pour la vision omnidirectionnelle, nous montrons l’existence d’une matrice d’homographie relative `a un plan, d´efinie pour n’importe quel capteur catadioptrique central y compris les cam´eras perspectives.
3.2
G´eom´etrie ´epipolaire en vision omnidirection-
nelle
La contrainte ´epipolaire est une propri´et´e de la projection centrale jouant un rˆole primordial dans la reconstruction euclidienne d’un d´eplacement d’une cam´era entre deux prises de vue. Cette contrainte g´eom´etrique peut ´egalement ˆetre ap- pliqu´ee aux capteurs catadioptriques centraux. Svoboda et Padjla sont les premiers `a avoir ´etudi´e la g´eom´etrie ´epipolaire pour les capteurs catadioptriques centraux `a mi- roirs hyperbolique [Svoboda 98] et parabolique [Pajdla 01]. Une formulation g´en´erale de cette g´eom´etrie pour tous capteurs catadioptriques centraux est pr´esent´ee dans [Svoboda 02a]. Les capteurs catadioptriques `a point central unique admettent une g´eom´etrie ´epipolaire similaire `a celles des cam´eras conventionnelles [Svoboda 98]. Ce r´esultat est important car les algorithmes d’estimation des g´eom´etries projective et euclidienne con¸cus pour les cam´eras conventionnelles, peuvent ˆetre utilis´es pour des capteurs catadioptriques centraux.
3.2.1
La contrainte ´epipolaire
Consid´erons deux prises de vue d’un objet 3D par un capteur catadioptrique central. Nous distinguons les deux positions des prises de vue par les positions cou- rante et d´esir´ee. Soit X un point appartenant `a l’objet 3D, qui se projette, dans
un premier temps, en un point de coordonn´ees Xs sur le premier miroir sph´erique
unitaire centr´e en M et attach´e au rep`ere courant Fm, et en un point de coordonn´ees
X∗
s sur le second miroir centr´ee en M∗ et attach´ee au rep`ere d´esir´e Fm∗ (voir Figure
3.2). Les points Xs et X∗s se projettent respectivement en xi dans l’image I et en x∗i
dans l’image I∗. Le plan ´epipolaire not´e (π), est form´e par les centres de projection
M et M∗ et le point 3D X . Il est clair que les points X
Fig. 3.2: Contrainte et g´eom´etrie ´epipolaire entre deux capteurs catadioptriques centraux.
`a ce plan. La coplanarit´e de ces points se traduit par :
Xs⊤R(t × X∗s) = Xs⊤R[t]×X∗s = 0 (3.8)
o`u R et t sont respectivement la matrice de rotation et le vecteur de translation
entre les rep`eres miroir courant et d´esir´e. L’´ecriture matricielle de la coplanarit´e (3.8) peut donc se formuler de la mˆeme mani`ere que dans le cas conventionnel. On obtient :
Xs⊤E X∗s = 0 (3.9)
o`u
E = R[t]× (3.10)
est la matrice essentielle catadioptrique [Svoboda 98]. Le vecteur n∗
π normal au plan
´epipolaire (π) s’´ecrit dans le rep`ere miroir d´esir´e F∗
m :
n∗π = t × X∗s = [t]×X∗s (3.11)
Le mˆeme vecteur s’´ecrit dans le rep`ere miroir courant Fm :
58 3.2 G´eom´etrie ´epipolaire en vision omnidirectionnelle
Le plan ´epipolaire (π) intersecte les deux surfaces du miroir sph´erique unitaire aux
positions courante et d´esir´ee, en deux grands cercles Γe et Γ∗e. La droite liant les
deux centres de projection M et M∗ intersecte les surfaces miroirs en deux paires
de points, eE1 et eE2 sur le miroir courant et eE∗1 et eE∗2 sur le miroir d´esir´e. Les
deux grands cercles Γe et Γ∗e se projettent ensuite sur les plans images normalis´es
courant et d´esir´e en deux coniques Ωe et Ω∗e appel´ees coniques ´epipolaires. Ces
coniques sont compl`etement d´efinies par la matrice essentielle E, les points images
xi et x∗
i repr´esentant la projection du point X sur le plan image des deux capteurs
catadioptriques et exprim´es en pixel, et les param`etres d’´etalonnage du capteur. La forme quadratique des ces coniques peut ˆetre obtenue en utilisant les ´equations de projection de droites (2.47). Les images des deux paires de points
(eE1, eE2) et (eE∗1, eE∗2) sont respectivement les points ´epipolaires (ee1, ee2) dans
l’image normalis´ee de I et (ee∗
1, ee∗2) dans l’image normalis´ee de I∗. Notons que
l’expression alg´ebrique de la matrice fondamentale liant les coordonn´ees homog`enes exprim´ees en pixel, des points de chaque image est difficile `a obtenir, voir mˆeme impossible en raison de la non lin´earit´e du mod`ele de projection.
Toutefois, dans [Geyer 03], Geyer et Daniliidis repr´esentent les primitives vi- suelles, d’une image prise par un capteur para-catadioptrique (miroir parabolique combin´e avec une cam´era orthographique), dans un espace augment´e. En effet, le plan projectif essentiellement utilis´e pour repr´esenter des primitives dans une image perspective, n’est pas n´ecessairement l’espace le plus adapt´e pour repr´esenter ces primitives lorsqu’un capteur catadioptrique est utilis´e. Lorsque le capteur est un para-catadioptrique, l’image catadioptrique d’une droite 3D est une ellipse ou un cercle lorsque les pixels de l’imageur sont carr´es, Geyer et al. montrent que la pro- jection st´er´eo-graphique inverse d’un cercle o dans l’image para-catadioptrique, sur une sph`ere unitaire est un cercle. Ce cercle peut ˆetre d´efini par l’intersection entre
la sph`ere unitaire et un plan π. Un point ˜o appel´e pˆole du plan π peut ˆetre obtenu
en construisant le cˆone tangent `a la sph`ere unitaire et contenant l’image du cercle o
sur la sph`ere. Le pˆole ˜o est le sommet du cˆone (se r´ef´erer `a la Figure 3.3). Le pˆole ˜o
repr´esente alors le cercle o. L’espace des points pˆoles est donc l’espace repr´esentant les cercles, appel´e l’espace des cercles.
Ce espace repr´esente non seulement l’image para-catadioptrique de droites 3D mais aussi l’image para-catadioptrique de points 3D. En effet, la projection st´er´eo- graphique inverse d’un point de l’image para-catadioptrique est un point unique. Cela peut ˆetre interpr´et´e par un cercle de rayon ´egal `a z´ero. Par contraste au plan
projectif o`u P2 consiste en les points images et o`u il faut construire un plan projectif
dual P2∗ pour repr´esenter les droites dans l’image, l’espace des cercles repr´esente `a
la fois les points et les droites images dans le mˆeme espace.
Les auteurs montrent par analogie au groupe de transformations d’un plan pro- jectif que le groupe de Lorentz projectif est le seul ensemble des transformations lin´eaires dans l’espace des cercles pr´eservant les relations entre les rayons de projec-
tion incidents. Malheureusement, le groupe de Lorentz n’est pas enti`erement ana- logue au groupe projectif lin´eaire. Ses propri´et´es sont plus proches de celles du groupe des rotations O(3). A partir d’une transformation lin´eaire entre le point image para- catadioptrique exprim´e dans l’espace des cercles et le point image perspective, la matrice fondamentale est obtenue.
Des m´ethodes d’estimation de la matrice fondamentale, d’auto-´etalonnage et de reconstruction sont pr´esent´ees dans [Geyer 03].
Fig. 3.3: Repr´esentation des cercles [Geyer 03].
Cependant, comme ces transformations ne sont valides que dans le cas des cap- teurs para-catadioptriques sous l’hypoth`ese que les pixels de leurs imageurs sont
carr´es, seule la contrainte fondamentale assignant `a chaque point xi de l’image I
(respectivement un point x∗
i de l’image I∗) la correspondance par l’ensemble des
points d´efinissant la conique ´epipolaire donn´ee par Ω∗
e dans l’image I∗ (respecti-
vement Ωe dans l’image I), peut ˆetre exprim´ee dans le cas g´en´eral des capteurs
catadioptriques centraux :
xi⊤Ω
ei(E, x∗i, K) xi = 0 et x∗i
⊤Ω∗
ei(E, xi, K) x∗i = 0 (3.13)
o`u Ωeiet Ω∗eisont les coniques ´epipolaires dans l’image catadioptrique exprim´ees en
pixel. Les algorithmes d’estimation de la g´eom´etrie ´epipolaire des cam´eras conven- tionnelle peuvent ˆetre utilis´es. Seule la phase de normalisation des donn´ees utilis´ees lors de l’estimation est diff´erente [Svoboda 02b].
Dans la suite, nous montrons comment une matrice d’homographie entre deux images catadioptriques peut ˆetre estim´ee. Nous traitons les cas de primitives visuelles points et droites.