Sommaire
1. Modes de rep´erage dans l’espace 156
1.1. Coordonn´ees cart´esiennes 156
1.2. Coordonn´ees cylindriques 157
1.3. Coordonn´ees sph´eriques 158
2. Produit scalaire 158
2.1. D´efinition. Expression dans une base orthonorm´ee 158
2.2. Propri´et´es du produit scalaire 159
3. Produit vectoriel 161
3.1. D´efinition 161
3.2. Propri´et´es du produit vectoriel. Expression dans un rep`ere orthonormal direct 162
4. D´eterminant ou produit mixte 163
4.1. D´efinition. Expression en rep`ere orthonormal direct 163
4.2. Propri´et´es du d´eterminant 163
5. Droites et plans 164
5.1. Plans 164
5.2. Droites 165
5.3. Distance d’un point `a un plan, `a une droite 167
5.4. Perpendiculaire commune 170
6. Sph`eres 172
7. Lin´earit´e des projecteurs orthogonaux dansE 175
8. Bilin´earit´e du produit vectoriel 175
9. Feuille de TD 7 : G´eom´etrie ´el´ementaire de l’espace 177
9.1. Produit vectoriel, produit mixte 177
9.2. Droites, distances, aires, volumes 178
9.3. Plans 178
9.4. Sph`eres, cercles 179
Dans tout ce chapitre, on notera E (resp. E) l’espaceR3 dont les ´el´ements seront consid´er´es comme des points (resp. des vecteurs). Il apparaˆıt d´ej`a en filigrane, dans ce chapitre et dans le pr´ec´edent, des outils et techniques d’alg`ebre lin´eaire et multilin´eaire (vecteurs ind´ependants, bases, coordonn´ees, d´eterminant, produit mixte, produit vectoriel). Il pourra ˆetre utile de revenir `a ces chapitres lorsqu’on abordera l’alg`ebre lin´eaire : d’une part, pour se rem´emorer ces exemples intuitifs, afin de mieux assimiler cette th´eorie abstraite, et, d’autre part, pour mieux saisir le parti-pris dans ces chapitres, et les compl´eter (notamment les propri´et´es des d´eterminants de tableaux de nombres).
155
1. MODES DE REP ´ERAGE DANS L’ESPACE CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE
1. Modes de rep´erage dans l’espace 1.1. Coordonn´ees cart´esiennes
Une base de E est la donn´ee d’un triplet (~i,~j, ~k) de vecteurs ind´ependants de E.
Cela signifie que les trois vecteurs ne sont pas coplanaires (ou encore, qu’aucun ne s’´ecrit comme une combinaison lin´eaire des deux autres).
Unrep`ere (cart´esien)est la donn´ee d’un pointO deE, et d’une base (~i,~j, ~k) deE.
Pour tout pointM deE, le vecteur−−→
OM se d´ecompose de fa¸con unique sous la forme
−−→OM =x~i+y~j+z~k,
o`u x, y, z sont des r´eels, et sont appel´escoordonn´ees du point M (oucomposantes du vecteur−−→
OM).
Si~i,~j, ~k sont deux `a deux orthogonaux, et de norme 1, on dit que la base (~i,~j, ~k) estorthonorm´ee(ou orthonormale), et que le rep`ere (O,~i,~j, ~k) estorthonormal(ou orthonorm´e).
Proposition (Formule de changement de rep`ere dans l’espace)
1.a
Il ne faut pas apprendre ces formules par cœur : il vaut mieux savoir les retrouver tr`es vite par le calcul.
On peut cependant retenir que lorsqu’on connaˆıt bien les vecteurs de R0 en fonction de ceux deR, on connaˆıt bien les coordonn´ees d’un point dansRen fonction de ses coordonn´ees dansR0.
On dit queB0 amˆeme orientationqueBsi
Une orientation de l’espace correspond au choix d’une base (ou d’un rep`ere) que l’on d´ecr`ete direct(e). Comme dans le cas de la g´eom´etrie plane, tous les bases ou rep`eres ayant mˆeme orientation que cette base ou ce rep`ere seront d´ecr´et´esdirects, les autres seront d´ecr´et´esindirects.
D´efinition (Orientation dans l’espace)
1.b
Nous admettons que l’on d´efinit ainsi une relation d’´equivalence (seule la r´eflexivit´e est ´evidente `a ce stade de l’ann´ee).
156 St´ephane FLON
CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE 1. MODES DE REP ´ERAGE DANS L’ESPACE La plupart du temps, on oriente E avec la base canonique (e1, e2, e3) = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) (on rappelle qu’on a identifi´eE `aR3). C’est ce que nous faisons dans la suite, sauf pr´ecision contraire.
Soit (~i,~j, ~k) une base. La base (~k,~i,~j) est-elle directe ? Exercice (Orientation dans l’espace)
1
D´efinissons maintenant d’autres syst`emes de coordonn´ees (qui sont deux extensions possibles des coordon-n´ees polaires dans le plan), surtout utiles en physique.
1.2. Coordonn´ees cylindriques
On munitE d’une base orthonorm´ee directeB= (~i,~j, ~k), et du rep`ere de base sous-jacente B, et d’origine O∈ E.
Si θest un r´eel, on note
~
u(θ) = cosθ~i+ sinθ ~j et ~v(θ) =−sinθ~i+ cosθ ~j.
Soit M un point de coordonn´ees x, y, z dans R, et soit P son projet´e orthogonal sur le plan (Oxy). Ce point admet dans ce plan un syst`eme de coordonn´ees polaires (r, θ), pour lequel :−−→
OP =r ~u(θ).
On a alors :
−−→OM =r ~u(θ) +z ~k
SoitM ∈ E. On appelle(triplet ou syst`eme de) coordonn´ees cylindriques deM par rapport `aRtout triplet (r, θ, z)∈R3 tel que :
−−→OM =r~u(θ) +z~k.
D´efinition (Coordonn´ees cylindriques)
1.c
On a donc les relations suivantes entre coordonn´ees cart´esiennes dansRet coordonn´ees cylindriques :
x = rcosθ y = rsinθ z = z
Illustration
Ces coordonn´ees sont donc tr`es proches des coordonn´ees polaires : on rajoute seulement une troisi`eme coor-donn´ee (que l’on pourrait appeler l’altitude), qui n’est pas mˆel´ee aux deux premi`eres. Le syst`eme de coordonn´ees suivant est plus compliqu´e, car aucune coordonn´ee n’est´epargn´eepar le passage des coordonn´ees cart´esiennes aux coordonn´ees sph´eriques.
157 St´ephane FLON
2. PRODUIT SCALAIRE CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE
1.3. Coordonn´ees sph´eriques
SoitM un point de coordonn´ees (x, y, z) dansR. Soit (ρ, ϕ, z) un syst`eme de coordonn´ees cylindriques de M, o`uρ>0. On a, en posantr=OM :
r=p
ρ2+z2, et il existe donc un r´eel θ∈[0, π] tel quez=rcosθet ρ=rsinθ.
On appelle syst`eme decoordonn´ees sph´eriques tout triplet (r, θ, ϕ) de r´eels tel que r>0,θ∈[0;π] et :
x = rcosϕsinθ y = rsinϕsinθ z = rcosθ
rest appel´erayon,ϕlongitude,θcolatitude(etθ−π2 lalatitude).
D´efinition (Coordonn´ees sph´eriques)
1.d
Illustration
2. Produit scalaire
Dans ce paragraphe, on introduit la notion de produit scalaire dans l’espace (notre parti-pris est toujours g´eom´etrique : la d´efinition est donc assez naturelle, mais a pour principal d´efaut de cacher la bilin´earit´e du produit scalaire). L’´etude est comparable `a celle qu’on a men´ee dans le plan. La seule diff´erence notable est l’impossibilit´e d’orienter les angles dans l’espace (ce qui ne nous d´erange pas pour le produit scalaire).
2.1. D´efinition. Expression dans une base orthonorm´ee
On appellemesurede l’angle entre deux vecteurs non nuls~uet~v, et on note (~u, ~v) l’unique r´eelθ∈[0;π] tel que, pour toute orientation du plan vectoriel engendr´e par
~
uet~vsi~uet~vne sont pas colin´eaires (tout plan vectoriel contenant~uet~v sinon) : cos((~[u, ~v)) = cos(θ)
D´efinition (Angle dans l’espace)
2.a
158 St´ephane FLON
CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE 2. PRODUIT SCALAIRE
Illustration
La relation de Chasles angulaire n’est plus valable.
Soient~uet~v deux vecteurs non nuls. Leproduit scalairede~upar~v, not´e~u·~v est :
~
u·~v=k~uk k~vkcos ((~u, ~v)) Si~uou~v est nul, leproduit scalaire~u·~v est nul.
D´efinition (Produit scalaire)
2.b
Ne pas oublier qu’ici, le termescalaire signifier´eel, et que l’application produit scalaire va deE2 dansR, d’o`u son nom.
2.2. Propri´et´es du produit scalaire
Le produit scalaire est bilin´eaire sym´etrique.
Proposition (bilin´earit´e et sym´etrie du produit scalaire dans l’espace)
2.a
La sym´etrie est ´evidente, et permet de d´eduire la bilin´earite de la lin´earit´e par rapport `a la premi`ere variable.
Pour cette derni`ere, soit~u, ~u0, ~vtrois vecteurs deE,λ, λ0∈R. On cherche `a montrer : (λ~u+λ0~u0)·~v=λ(~u·~v) +λ0(~u0·~v).
On ´ecarte le cas ´evident o`u~v est nul.
L’id´ee consiste `a se ramener `a un produit scalaire dans un plan, cas pour lequel la formule a d´ej`a ´et´e prouv´ee.
Notons ple projecteur orthogonal sur la droite vectorielle dirig´ee par ~v (voir page 175). Il est clair que pour tout w~ ∈ E : p(w)~ ·~v = w~ ·~v. Comme p est en outre lin´eaire, on a :
(λ~u+λ0~u0)·~v = (p(λ~u+λ0~u0))·~v
= (λp(~u) +λ0p(~u0))·~v
= λ(p(~u)·~v) +λ0(p(~u0)·~v)
= λ(~u·~v) +λ0(~u0·~v),
d’o`u la lin´earit´e par rapport `a la premi`ere variable, puis le r´esultat demand´e.
D´emonstration
159 St´ephane FLON
2. PRODUIT SCALAIRE CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE
Pour tous vecteurs~uet~v deE :
|~u·~v|6k~uk k~vk.
De plus, cette in´egalit´e est une ´egalit´e si et seulement si~uet~vsont colin´eaires.
Proposition (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz dans l’espace)
2.b
Cons´equence imm´ediate de la d´efinition.
D´emonstration
Pour tout vecteur~udeE,~u·~u=k~uk2.
Soient ~u et ~v deux vecteurs de E. Soit B = (~i,~j, ~k) une base orthonorm´ee de E.
Soientxu, yu, zu etxv, yv, zv les coordonn´ees respectives de~uet~v dansB. Alors :
~
u·~v=xuxv+yuyv+zuzv
Proposition (Expression du produit scalaire en base orthonorm´ee dans l’espace)
2.c
Cela r´esulte de la bilin´earit´e du produit scalaire, et du fait queBsoit orthonorm´ee : D´emonstration
Ne pas oublier que ces formules ne sonta priori valables que dans le cas d’une base orthonorm´ee. Remarquer qu’il est inutile de supposer la base directe (la valeur d’un produit scalaire ne d´epend pas de l’orientation).
Soit~u∈E,B= (~i,~j, ~k) une base orthonorm´ee. On a :
~
u= (~u·~i)~i+ (~u·~j)~j+ (~u·~k)~k Corollaire (D´ecomposition dans l’espace en BON)
2.d
Soit (x, y, z) le triplet de composantes de~udansB :
~
u=x~i+y~j+z~k.
En prenant le produit scalaire avec~i, on obtient, puisqueBest orthonorm´ee : (~u·~i) = x. De mˆeme poury etz.
D´emonstration
160 St´ephane FLON
CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE 3. PRODUIT VECTORIEL
3. Produit vectoriel
Le produit vectoriel est une notion propre `a l’espace orient´eE (nous n’avons pas parl´e de produit vectoriel dans le plan), en tout cas `a ce stade du cours. Comme son nom l’indique, le r´esultat de ce produit est un vecteur, ce qui fait de l’application produit vectoriel une loi de composition interne surE.
3.1. D´efinition
Soit~uet~v deux vecteurs non colin´eaires.
Un vecteur−→
t est ditdirectement orthogonalau couple (~u, ~v) s’il est orthogonal `a~u et `a~v, et si (~u, ~v,−→
t) est une base directe.
D´efinition (Vecteur directement orthogonal `a un couple de vecteurs non colin´eaires)
3.a
Le vecteur −→
t est donc directement orthogonal au couple (~u, ~v) si et seulement si −−→
t est directement orthogonal au couple (~v, ~u), si et seulement si−−→
t est directement orthogonal au couple (−~u, ~v).
Si ~uet ~v sont deux vecteurs non colin´eaires, on appelleproduit vectoriel de~u et~v (ou de~upar~v), et on note~u∧~v, le vecteur de normek~uk k~vksin((~u, ~v)), directement orthogonal au couple (~u, ~v). Sinon, le produit vectoriel est nul.
D´efinition (Produit vectoriel)
3.b
Il apparaˆıt ainsi d`es la d´efinition le lien entre colin´earit´e et produit vectoriel : deux vecteurs~uet ~v sont colin´eaires si et seulement si~u∧~vest nul.
On montre ´egalement facilement l’antisym´etrie du produit vectoriel `a l’aide de cette d´efinition :
∀(~u, ~v)∈E2, ~v∧~u=−~u∧~v.
Illustration
Si (~i,~j, ~k) est une base orthonorm´ee directe, alors :
~i∧~j=~k, ~j∧~k=~i et ~k∧~i=~j Exemple (Produit vectoriel et BOND)
i
161 St´ephane FLON
3. PRODUIT VECTORIEL CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE
Illustration
3.2. Propri´et´es du produit vectoriel. Expression dans un rep`ere orthonormal direct Comme nous l’avons dit, deux vecteurs ~uet~vsont colin´eaires si et seulement si~u∧~v=−→
Le produit vectoriel peut donc ˆetre utilis´e pour d´eterminer des ´equations de droites.
Pour tous vecteurs~uet~v deE,
(~u·~v)2+ (k~u∧~vk)2=k~uk2k~vk2.
Le produit vectoriel est bilin´eaire et antisym´etrique.
Proposition (Bilin´earit´e et antisym´etrie du produit vectoriel)
3.a
Voir la d´emonstration en fin de chapitre.
D´emonstration
Proposition (Expression du produit vectoriel en base orthonorm´ee directe)
3.b
C’est une cons´equence facile de la bilin´earit´e, de l’antisym´etrie, et de l’exemple page 161.
D´emonstration
Comme le produit vectoriel est une notion d´ependant de l’orientation, il n’est pas ´etonnant d’obtenir une formule valable en base orthonorm´eedirecte et non quelconque.
Faire un ou deux exercices de TD sur le produit vectoriel.
Exercice (Produit vectoriel)
2
162 St´ephane FLON
CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE 4. D ´ETERMINANT OU PRODUIT MIXTE
4. D´eterminant ou produit mixte
Dans l’espace, seul le d´eterminant de trois vecteurs a un sens. Comme dans le plan, le r´esultat d’un d´ eter-minant est un nombre r´eel. Le d´eterminant dans l’espace exprime bien le caract`ere coplanaire de trois vecteurs (ou de quatre points).
4.1. D´efinition. Expression en rep`ere orthonormal direct
Soient ~u, ~v, ~w trois vecteurs de E. Le d´eterminant (ou produit mixte) des trois vecteurs ~u, ~v, ~wa, not´e det(~u, ~v, ~w), ou [~u, ~v, ~w], est le nombre r´eel d´efini par : leurs composantes dans une base orthonorm´ee directe (~i,~j, ~k). On a :
det(~u, ~v, ~w) =
Proposition (Expression du produit mixte en base orthonorm´ee directe)
4.a
D´emonstration
4.2. Propri´et´es du d´eterminant
Le d´eterminant est trilin´eaire et antisym´etrique.
Proposition (Trilin´earit´e et antisym´etrie du produit mixte)
4.b
163 St´ephane FLON
5. DROITES ET PLANS CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE
D´emonstration
Si ~u, ~v, ~w sont trois vecteurs de E, alors |det(~u, ~v, ~w)| s’interpr`ete comme le volume du parall´el´epip`ede construit sur~u, ~v etw~ :
Illustration
Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur d´eterminant est nul : le d´eterminant dans l’espace sera utile pour d´eterminer des ´equations de plans.
Faire des exercices de TD sur le d´eterminant.
Exercice (Determinant dans l’espace)
3
5. Droites et plans 5.1. Plans
Le plus souvent, un plan est donn´e par un point et un vecteur normal non nul (i.e. un vecteur (non nul) orthogonal `a tout vecteur−−→
AB o`u A et B sont deux points du plan), un point et deux vecteurs ind´ependants (on dit que le plan estdirig´e par ces deux vecteurs), ou trois points non align´es.
On se fixe pour la suite un vecteur normal non nul~n(a, b, c), deux vecteurs ind´ependants~u(xu, yu, zu) et
~
v(xv, yv, zv), et trois pointsA(xA, yA, zA),B(xB, yB, zB) etC(xC, yC, zC), donn´es avec leurs coordonn´ees dans un rep`ere orthonormal direct (O,~i,~j, ~k).
Si P est donn´e par~net A, une ´equation deP est donn´ee par la caract´erisation suivante d’appartenance `a P :M ∈ P si et seulement si−−→
AM·~n= 0, d’o`u l’´equation :
a(x−xA) +b(y−yA) +c(z−zA) = 0 R´eciproquement, une ´equation du type
ax+by+cz+d= 0
164 St´ephane FLON
CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE 5. DROITES ET PLANS dans laquelle les trois r´eels a, b, cne sont pas tous nuls, d´efinit un plan, dont un vecteur normal est (a, b, c).
On appelle´equation normaledeP une ´equation du type ax+by+cz=p
dans laquelle a2+b2+c2= 1. Une ´equation normale correspond donc `a la donn´ee d’un vecteur normal unitaire de P.
D´efinition ( ´Equation normale de plan)
5.a
Si P est donn´e parA,~uet~v, une ´equation deP est donn´ee par la caract´erisation suivante d’appartenance
`
SiP est donn´e parA,BetC, une ´equation deP est donn´ee par la caract´erisation suivante d’appartenance
`
Donner une ´equation cart´esienne du plan passant par A(1,1,1), B(3,0,1) et C(2,1,−2).
Exercice ( ´Equation de plan)
4
5.2. Droites
Le plus souvent, une droite est donn´ee par un point et un vecteur directeur, deux points distincts (ce qui revient essentiellement au mˆeme), ou encore comme intersection de deux plans s´ecants.
Si une droite D est donn´ee par un point A(xA, yA, zA) et un vecteur directeur ~u(α, β, γ), on en obtient directement une ´equation param´etrique :
Pour en obtenir une ´equation cart´esienne, c’est-`a-dire comme intersection de deux plans s´ecants, il suffit de caract´eriser l’appartenance d’un pointM deE `a Dpar :M ∈ D si et seulement si−−→
AM et ~usont colin´eaires si et seulement si−−→
AM∧~u=−→
0 , ce qui donne au moins deux ´equations non proportionnelles, et donc une ´equation cart´esienne de D.
Donner un syst`eme d’´equations cart´esiennes pour la droite passant parA(1,2,0) et B(−2,−2,1).
Exercice ( ´Equation de droite)
5
On dit qu’une droiteDestparall`ele`aP si et seulement si tout vecteur directeur de Dest dans la direction deP.
D´efinition (Droite parall`ele `a un plan)
5.b
165 St´ephane FLON
5. DROITES ET PLANS CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE
Une droite parall`ele `a un plan est contenue dans le plan, ou en est disjointe.
Proposition (Droite parall`ele `a un plan)
5.a
Si l’intersection n’est pas vide, et poss`ede donc un point M, alors tout point de la droite s’´ecrira M +λ~u, o`u λ est un r´eel et~u un vecteur directeur de la droite.
Commeλ~uest dans la direction du plan, la droite est contenue dans le plan.
D´emonstration
L’intersection d’un plan et d’une droite non parall`ele `a ce plan est un singleton.
Proposition (Droite non parall`ele `a un plan)
5.b
Premi`ere d´emonstration : soitDune droite, non parall`ele `a un planP. Prenons un planP0 contenantD. Ce plan n’est pas parall`ele `aP, carDn’est pas parall`ele `aP. L’intersectionP ∩ P0 est donc une droite D0. Cette droite n’est pas parall`ele `a D puisque cette derni`ere n’est pas parall`ele `aP. Comme ce sont deux droites du plan P0, elles sont s´ecantes,D ∩ D0 est un singleton. Or
D ∩ P = (D ∩ P0)∩ P=D ∩(P0∩ P) =D ∩ D0, et le r´esultat est prouv´e.
D´emonstration
Donnons deux autres d´emonstrations, plus constructives, mais plus calculatoires. On se place dans un rep`ere orthonormalR. Dans la suite, ax+by+cz+d= 0 est une ´equation deP. Un vecteur non nul deP est donc
~
n(a, b, c).
Deuxi`eme d´emonstration : supposonsDest donn´ee par une ´equation param´etrique, c’est-`a-dire par un pointA(xA, yA, zA) et un vecteur directeur~u(xu, yu, zu),
Or les vecteurs ~u et ~n(a, b, c) ne sont pas orthogonaux, car D n’est pas parall`ele
`
a P. Par cons´equent, le nombre axu+byu+czu n’est pas nul, et l’unique valeur convenable deλest donc :
−d−axA−byA−czA
axu+byu+czu
L’intersectionD ∩ P est bien un singleton (dont nous pouvons expliciter les coor-donn´ees).
D´emonstration
166 St´ephane FLON
CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE 5. DROITES ET PLANS
Troisi`eme d´emonstration : supposons D est donn´ee par une ´equation cart´esienne, i.e.comme intersection de deux plans :
a0x+b0y+c0z+d0 = 0 a00x+b00y+c00z+d00 = 0 Un pointM(x, y, z) est commun `aDet P si et seulement si :
ax+by+cz+d = 0 a0x+b0y+c0z+d0 = 0 a00x+b00y+c00z+d00 = 0
Si l’on d´efinit les deux vecteurs~n0(a0, b0, c0) et~n00(a00, b00, c00), on constate que~n0∧~n00 est un vecteur directeur deD, et n’est donc pas dans la direction deP. Ainsi,
det(~n, ~n0, ~n00) = det(~n0, ~n00, ~n) = (~n0∧~n00)·~n6= 0
Le syst`eme consid´er´e est donc de Cramer, et l’intersection est bien un singleton.
D´emonstration
A retenir :`
– comment d´eterminer l’intersection d’une droite et d’un plan (prendre une ´equation param´etrique pour la droite, cart´esienne pour le plan) ;
– comment obtenir un vecteur directeur d’une droite donn´ee par un syst`eme d’´equations cart´esiennes.
Donner une ´equation param´etrique de la droite, intersection des plansP :x+y+z= 1 etP0 :x−2y+ 3z= 2.
Exercice (Vecteur directeur d’une droite)
6
5.3. Distance d’un point `a un plan, `a une droite
SoitP un plan etM un point deE. SoitM0 le projet´e orthogonal deM surP. La distance deM `aP, not´ee d(M,P), est la longueurM M0.
D´efinition (Distance d’un point `a un plan)
5.c
La distance de M `a un plan P est la plus petite distance possible entreM et un point deP.
Caract´erisation de la distance d’un point `a un plan
5.1
167 St´ephane FLON
5. DROITES ET PLANS CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE
Illustration
SoitP un plan donn´e par un pointA et un vecteur normal non nul~n: d(M,P) = |~n·−−→
AM|
k~nk
En particulier, siax+by+cz+d= 0 est une ´equation deP, et si (xM, yM, zM) est le triplet de coordonn´ees deM, alors :
d(M,P) = |axM +byM +czM +d|
√a2+b2+c2 Proposition (Formules de distance d’un point `a un plan)
5.c
D´emonstration
Calculer la distance de M(1,2,1) au plan passant par A(1,1,0), B(−1,1,2) et C(1,0,3).
Exercice (Distance d’un point `a un plan)
7
La formule est donc particuli`erement agr´eable dans le cas o`u l’´equation deP est normale.
168 St´ephane FLON
CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE 5. DROITES ET PLANS
SoitD une droite etM un point deE. SoitM0 le projet´e orthogonal deM surD.
LadistancedeM `a D, not´ee d(M,D), est la longueurM M0. D´efinition (Distance d’un point `a une droite dans l’espace)
5.d
La distance de M `a D est la plus petite distance possible entre M et un point de D.
Proposition (Distance d’un point `a une droite dans l’espace)
5.d
Illustration
SoitDune droite donn´ee par un pointAet un vecteur directeur~u. Alors : d(M,D) =
−−→AM∧~u k~uk
Proposition (Formule de distance d’un point `a une droite dans l’espace)
5.e
D´emonstration
169 St´ephane FLON
5. DROITES ET PLANS CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE
Calculer la distance deM(1,−1,2) `a la droite passant parA(2,1,4) etB(−1,2,3).
Exercice (Distance d’un point `a une droite)
8
5.4. Perpendiculaire commune
Deux droites sont dites orthogonalessi leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, et perpendiculairessi elles sont orthogonales et s´ecantes.
D´efinition (Droites perpendiculaires)
5.e
Soient deux droitesD etD0non parall`eles, de vecteurs directeurs respectifs~uet~u0, passant respectivement parAet A0.
Il existe une unique droite perpendiculaire `aD et `aD0. Proposition (Perpendiculaire commune)
5.f
Nous notons ∆ cette unique droite.
Dans ce contexte, ∆ est la perpendiculaire commune `aD etD0. D´efinition (Perpendiculaire commune)
5.f
∆ est n´ecessairement dirig´ee par~u∧~u0, et est donc intersection des plansP et P0, contenant respectivementAetA0, et de directions respectives (~u, ~u∧~u0) et (~u0, ~u∧~u0).
R´eciproquement, on v´erifie queP et P0 ont pour intersection une droite, perpendi-culaire `aD et `aD0.
D´emonstration
170 St´ephane FLON
CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE 5. DROITES ET PLANS
Illustration
Soit H (resp.H0) le point de concours de D et ∆ (resp. de D0 et ∆). Ladistance d(D, D0) entre les deux droites Det D0 est la longueurHH0.
D´efinition (Distance entre deux droites)
5.g
C’est la plus petite distance entre deux points deDetD0. (De plus, c’est en ces deux points uniquement que l’on atteint cette distance minimale, car−−→
M H+−−−→
H0M0=−→ 0 impliqueH =M etH0=M0 par non colin´earit´e).
Caract´erisation de la distance entre deux droites
5.2
171 St´ephane FLON
6. SPH `ERES CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE
Illustration
d(D, D0) = |det(−−→
AA0, ~u, ~u0)|
k~u∧~u0k =|−−→
AA0·(~u∧~u0)|
k~u∧~u0k Proposition (Formule pour la distance entre deux droites)
5.g
Trouver une ´equation de la perpendiculaire commune `a (D) :
2x−y−z = 3
x+y−3z = −2 et (D0) :
3x−y+z = −1 x−y+ 4z = 2 Calculer la distance entre (D) et (D0).
Exercice (Perpendiculaire commune)
9
6. Sph`eres
Soit Ω∈ E, etR >0. On appellesph`ereet on noteS(Ω, R) decentreΩ et derayon R>0 l’ensemble :
nM ∈ E,
−−→ΩM =Ro Le nombre 2R est appel´ele diam`etrede la sph`ere.
Si M et M0 sont deux points de la sph`ere S(Ω, R), sym´etriques par rapport `a Ω, alors le segment [M M0] est appel´eun diam`etredeS(Ω, R).
D´efinition (Sph`ere)
6.a
SoitRun rep`ere orthonormal, notons (xΩ, yΩ, zΩ) le triplet de coordonn´ees de Ω dansR: (x−xΩ)2+ (y−yΩ)2+ (z−zΩ)2=R2
est une ´equation cart´esienne de la sph`ereS(Ω, R).
172 St´ephane FLON
CHAPITRE VII. G ´EOM ´ETRIE DANS L’ESPACE 6. SPH `ERES
Toute sph`ere admet une ´equation cart´esienne du type : x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d= 0
R´eciproquement, une telle ´equation d´efinit une sph`ere, un singleton, ou∅.
Equation cart´´ esienne de sph`ere
6.1
SoitS une sph`ere de centre Ω, de rayon non nulR. Soit P un plan. L’intersection deS avecP est :
Proposition (Intersection d’une sph`ere et d’un plan)
6.a
Notonsdla distance de Ω `a P.
On peut se placer dans un rep`ere orthonormal direct dans lequelP est d’´equation z= 0, etS est d’´equationx2+y2+ (z−d)2=R2.
SoitS une sph`ere de centre Ω, de rayon non nulR. SoitDune droite. L’intersection deS avecDest :
– vide sid(Ω,D)> R;
– un unique point sid(Ω,D) =R;
– un unique point sid(Ω,D) =R;