Sommaire
1. Pr´eliminaires sur les fonctions vectorielles 181
2. Courbes planes param´etr´ees 184
2.1. D´efinition et premi`eres propri´et´es 184
2.2. Etude locale ´´ el´ementaire 185
2.3. Branches infinies, directions asymptotiques, asymptotes 188
2.4. Plan d’´etude d’une courbe plane param´etr´ee 190
3. Courbes en polaires 191
3.1. Courbes d´efinies par une repr´esentation polaire 191
3.2. Courbes d´efinies par une ´equation polaire 192
3.3. R´eduction du domaine utile 193
3.4. Branches spirales, branches infinies 193
3.5. Plan d’´etude d’une courbe d´efinie par une ´equation polaire 195
4. Feuille de TD 8 : Courbes param´etr´ees 196
4.1. Courbes cart´esiennes 196
4.2. Courbes polaires 197
Le but de ce chapitre est d’introduire un formalisme pour d´efinir et ´etudier des trajectoires dans un plan. Il est donc d’un int´erˆet physique – et plus pr´ecis´ement cin´ematique– ´evident. Pour cette raison, nous emploierons tr`es souvent des termes issus de cette branche (mobile, vitesse, acc´el´eration). Loin d’ˆetre nuisible, cet aspect cin´ematique permet d’´eclairer les notions et propri´et´es ici ´etudi´ees.
Pour motiver l’introduction des courbes param´etr´ees, on peut constater l’insuffisance des fonctions r´eelles d’une variable r´eelle pour d´ecrire une trajectoire. Le graphe d’une telle fonction ne peut pas se croiser lui-mˆeme, deux points distincts ne peuvent avoir mˆeme abscisse, etc.
Pour pallier ces d´efauts, on utilise des fonctions vectorielles. Nous en avons vu quelques exemples, lors des param´etrages de droites, de segments, de cercles, et mˆeme d’arcs d’hyperboles. Avant d’entrer dans le vif du sujet, je voudrais insister sur la diff´erence entre un arc et son support : l’arc est une fonction (du temps), ce qui permet d’y lire le parcours d’un point mobile et les notions qui y sont li´ees (vitesse, acc´el´eration, point de d´epart, etc.), tandis que le support est la visualisation directe du lieu de parcours du point mobile : on ne sait pas o`u la trajectoire commence, ni mˆeme si elle s’arrˆete en temps fini, par exemple.
Dans tout ce chapitre les intervalles consid´er´es seront d’int´erieur non vide, et I d´esignera un intervalle.
Physiquement,Iest un intervalle temporel. Le plan euclidien est identifi´e `aR2`a l’aide d’un rep`ere orthonormal.
1. Pr´eliminaires sur les fonctions vectorielles
Une fonction d´efinie surIet `a valeurs dans le planR2est appel´eefonction vectorielle.
On peut donc ´ecrire une telle fonctionf sous la forme f = (fx, fy),
o`u fx et fy sont deux fonctions deI dans R. Les fonctionsfx et fy sont appel´ees fonctions coordonn´eesdef (respectivementpremi`ereet seconde).
D´efinition (Fonction vectorielle)
1.a
Dans la suite,f = (fx, fy) d´esigne une fonction vectorielle deI dansR2,l= (lx, ly)∈R2 ett0 est un point deI ou une extr´emit´e deI.
181
1. FONCTIONS VECTORIELLES CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES
On dit que f tend vers le vecteur l en t0 (ou qu’elle admetl pour limite en t0) si kf−lktend vers 0 ent0.
Dans le cas o`ut0∈I, et sifadmetlpour limite ent0, on a n´ecessairementl=f(t0), et on dit alors dans ce cas quef estcontinue ent0.
On dit quef estcontinue surI si elle est continue en chaque point deI.
D´efinition (Limite d’une fonction vectorielle)
1.b
La fonction vectoriellef tend versl ent0si et seulement sifxet fy tendent respectivement verslxetlyen t0 :
f est dited´erivable ent0∈I si ses deux fonctions coordonn´ees le sont. Lad´eriv´ee f0(t0) def ent0 est alors :
f0(t0) = (fx0(t0), fy0(t0)).
f est dited´erivable surI si elle l’est en tout point deI. Dans ce cas, on peut d´efinir la fonction d´eriv´ee def, not´eef0.
D´efinition (D´erivabilit´e d’une fonction vectorielle)
1.c
Si on identifie le plan `a C, la fonction f peut ˆetre vue comme une fonction de I dans C. Les notions de limite co¨ıncident bien. De mˆeme pour les notions de continuit´e et de d´erivabilit´e.
On d´efinit par r´ecurrence la d´erivabilit´e def `a l’ordrek∈Net la d´eriv´eef(k) def
`
a l’ordrek:
D´eriv´ees successives d’une fonction vectorielle
1.1
Pour k∈N, on dit qu’une fonction d´efinie sur I et `a valeurs r´eelles ou vectorielles est declasse Ck si elle estk fois d´erivable, et si sa d´eriv´ee k`eme est continue surI.
On la dit de classeC∞si elle est ind´efiniment d´erivable, c’est-`a-dire d´erivable `a tout ordrek∈N.
D´efinition (Classe d’une fonction `a valeurs r´eelles ou vectorielles)
1.d
f est de classeCk si et seulement sifx etfy le sont.
182 St´ephane FLON
CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES 1. FONCTIONS VECTORIELLES
Notons le produit scalaire de deux vecteurs U et V deR2 par< U, V >. Soit f et g deux fonctions vectorielles surI, d´erivables surI. L’application
t7→< f(t), g(t)>
deI dansRest alors d´erivable surI, et :
∀t∈I, (< f, g >)0(t) =< f0(t), g(t)>+< f(t), g0(t)>
Proposition (D´erivation d’un produit scalaire)
1.a
D´emonstration
On supposef d´erivable et ne s’annulant pas. L’application kfk :t7→ kf(t)k
est alors d´erivable surI, etkfk0= <f,fkfk0>. Corollaire (D´eriv´ee de la norme)
1.b
D´emonstration
Si kfk est constant, alors, pour toutt∈I, les vecteurs f(t) etf0(t) sont orthogo-naux.
Exemple (Mouvement circulaire)
i
183 St´ephane FLON
2. COURBES PLANES PARAM ´ETR ´EES CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES
Soitf etg deux fonctions vectorielles surI, d´erivables surI. L’application det(f, g) :t7→det(f(t), g(t))
deI dansRest d´erivable, et :
∀t∈I, (det(f, g))0(t) = det(f0(t), g(t)) + det(f(t), g0(t)) Proposition (D´eriv´ee du d´eterminant)
1.c
D´emonstration
2. Courbes planes param´etr´ees 2.1. D´efinition et premi`eres propri´et´es
Soit k ∈ N∗∪ {∞}. On appelle courbe (plane) param´etr´ee (ou arc param´etr´e) de classeCk toute fonction vectoriellef surI de classeCk (on le note parfois (I, f)).
Soit t ∈ I, M(t) le point de R2 tel que −−−−→
OM(t) = f(t). Le point M(t) est appel´e point de param`etre (ou d’instant)tde la courbe param´etr´eef.
L’imagef(I) ={M(t), t∈I}def est appel´eesupportde la courbe param´etr´ef. D´efinition (Courbe param´etr´ee)
2.a
Dans le cadre du cours, on supposera l’arc de classe C2 au moins, f d´esignera un tel arc, et on notera, conform´ement `a l’usage,xety ses fonctions coordonn´ees.
(1) SoitA(xA, yA) etB(xB, yB) deux points du plan. Le support de l’arc
Il est souvent ´eclairant d’interpr´eter une courbe param´etr´ee comme la trajectoire, sur un intervalle de temps I, d’un point mobile M(t). Pour tout t ∈ I, les vecteurs f0(t) et f00(t) s’interpr`etent (et se nomment) respectivement vecteur vitesseet vecteur acc´el´erationdu point mobileM(t) `a l’instantt.
On ne confondra pas la courbe param´etr´ee et son support1(sur lequel on perd toute la cin´ematique). Par exemple, les deux courbes de param`etres r´eelst7→(cos(t),sin(t)) ett7→(cos(2t),sin(2t)) ont mˆeme support (le cercle unit´e), et sont pourtant diff´erentes.
On introduit pour la suite l’arc
f0:t7→
1. De mˆeme, on ne confond pas la fonction sinus et son image [−1,1]
184 St´ephane FLON
CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES 2. COURBES PLANES PARAM ´ETR ´EES
Montrer que l’arc f0 est de classeC∞ sur tout intervalle o`u il est d´efini, et dresser le tableau de variations de ses fonctions coordonn´ees.
Exercice (Classe def0)
1
Un arc param´etr´e (I, f) est ditsimple s’il est injectif.
D´efinition (Arc simple)
2.b
Du point de vue cin´ematique, un arc est simple si et seulement si le point mobile ne revient jamais au mˆeme endroit.
(1) Bien sˆur, un arc p´eriodique ne saurait ˆetre simple ;
(2) Compl´eter : pour qu’un arc soit simple, il que ses fonc-tions coordonn´ees le soient, et donner un exemple montrant que la r´ eci-proque est fausse :
Exemple (Arcs simples ou non)
ii
.
Implicitement, lorsqu’on ´etudie le point mobile de param`etre t (not´e M(t)), on consid`ere le point mobile `a l’instant t. Mˆeme s’il existe un autre instant t0 pour lequelM(t) =M(t0), on s’autorise donc `a parler par exemple de la vitesse au point M(t) (il serait plus correct et moins ambig¨u de parler de vitesse `a l’instantt). Il faut donc bien comprendre que l’on effectue une distinction (abusive) entre point mobile et point physique. L’expression pointM(t) renvoie donc, sauf mention contraire, au point mobileM(t) `a l’instantt, et non au point physique du plan.
Distinction entre point mobile et point physique
2.1
Soit ϕ une application de I dans R. L’application t 7→ (t, ϕ(t)) est une fonction vectorielle, dont l’image est le graphe deϕ (ou la courbe repr´esentative de ϕ). Un des objectifs de ce chapitre est de g´en´eraliser cet exemple, mais en s’autorisant un panel plus large de premi`ere fonction coordonn´ee. Si ϕ:I→R, le graphe de ϕest le support det7→(t, ϕ(t)).
Exemple (Les graphes vus comme des supports)
iii
2.2. Etude locale ´´ el´ementaire 2.2.1. Points multiples.
185 St´ephane FLON
2. COURBES PLANES PARAM ´ETR ´EES CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES
On dit qu’un point M du support d’un arc param´etr´e f : I→R2 est simple s’il n’existe qu’un seul instant t0 pour lequel M(t0) = M. S’il existe au moins deux instants (resp. exactement deux instants) en lesquels le point mobile est en M, on dit queM est unpoint multiple(resp. unpoint double) de l’arc.
D´efinition (Multiplicit´e d’un point)
2.c
Un arc est donc simple si et seulement si tous les points de son support le sont.
Nous supposerons toujours que f est localement injective, c’est-`a-dire qu’`a tout instant t0, on peut restreindre l’intervalle de temps en un intervalle centr´e en t0, sur lequelf est injective. Ce faisant, tout point du support est (localement) simple, ce qui justifiera plusieurs d´efinitions et propositions dans la suite. En particulier, le point mobile n’est jamais immobile pendant un intervalle de temps donn´e.
Points multiples par p´eriodicit´e
2.2
Pour la recherche de points multiples d’un arc dont les fonctions sont rationnelles, c’est-`a-dire des quotients de fonctions polynomiales, on pourra chercher deux instants distincts t1 et t2 en lesquels les points physiques co¨ıncident, simplifier part1−t2les ´egalit´es obtenues (des abscisses et des ordonn´ees), puis introduires=t1+t2
et p=t1t2. Exercice (Points multiples def0)
2
2.2.2. Points stationnaires.
Soit f : I→R2 un arc param´etr´e. Le point M(t) est dit r´egulier si f0(t) 6=−→ 0 . Si M(t) n’est pas r´egulier,i.e.f0(t) =−→
0 , on dit qu’il eststationnaire(ousingulier). On dit que le pointM(t) estbir´eguliersi les vecteursf0(t) et f00(t) sont ind´ependants.
On dit que l’arc est r´egulier(resp.bir´egulier) si tous ses points le sont.
D´efinition (Point r´egulier)
2.d
M(t) est r´egulier si et seulement si la vitesse est non nulle `a l’instantt.
Un point stationnaire est un point en lequel la vitesse est nulle, mais on ne stationne pas r´eellement en ce point, puisque l’arc est suppos´e localement injectif. Un bon exemple de point stationnaire est le sommet de la trajectoire d’un mobile lanc´e vers le haut `a la verticale.
D´eterminer les points singuliers def0? R´eponse : aucun.
Exercice (Points singuliers def0)
3
D´eterminer la p´eriode T de la courbe de Lissajous (voir la feuille de TD), puis les points multiples de l’arc restreint `a [0, T[.
Exercice (Points multiples de la courbe de Lissajous)
4
186 St´ephane FLON
CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES 2. COURBES PLANES PARAM ´ETR ´EES 2.2.3. Tangentes.
On dit que l’arc f admet une tangente au point M(t0) si la droite (M(t0)M(t)) admet une position limite ∆ quandt tend verst0 (en ´etant diff´erent det0). On dit alors que ∆ est latangenteau point de param`etret0 de l’arcf.
D´efinition (Tangente en un point `a un arc)
2.e
La droite (M(t0)M(t)) est bien d´efinie pourtsuffisamment proche (et distinct) det0, car l’arc est suppos´e localement injectif.
Illustration
En supposantxlocalement injective au voisinage det0, dire que l’arcf admet une tangente au pointM(t0) revient `a dire que le rapport
y(t)−y(t0) x(t)−x(t0)
admet une limite (´eventuellement infinie, auquel cas la tangente est verticale) ent0. Tangente en un point `a un arc
2.3
Si M(t0) est un point r´egulier, alorsf admet une tangente en ce point, dirig´ee par f0(t0).
Proposition (Tangente en un point r´egulier)
2.a
D´emonstration
187 St´ephane FLON
2. COURBES PLANES PARAM ´ETR ´EES CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES
Donner les tangentes verticales et horizontales pourf0, ainsi que celles aux points o`uf0 croise un des axes de coordonn´ees.
Exercice (Tangentes def0)
5
Supposons queM(t0) soit un point singulier, et qu’il existe une d´eriv´ee def ent0
non nulle : soit j le plus petit entier tel quef(j)(t0)6=−→
0 . L’arcf admet alors une tangente enM(t0), dirig´ee parf(j)(t0).
Proposition (Tangente en un point singulier)
2.b
Admise.
D´emonstration
Donner les tangentes
(1) au point de param`etre 0 de t7→(cost,sin3t) ; (2) au point de param`etre 1 de t7→(t−1)2
t ,(t−1)t2 2
. Exercice (Tangente en un point d’un arc)
6
2.3. Branches infinies, directions asymptotiques, asymptotes
On dit que l’arc param´etr´e f pr´esente une branche infinie au voisinage de t0 si
tlim→t0kf(t)k= +∞.
D´efinition (Branche infinie)
2.f
Illustration
Etudions maintenant quelques cas particuliers. Traitons d’abord le cas des asymptotes horizontales ou´ verticales :
188 St´ephane FLON
CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES 2. COURBES PLANES PARAM ´ETR ´EES
Si y tend vers ±∞ et si x tend vers un r´eel l en t0, on dit que l’arc pr´esente au voisinage det0 uneasymptote d’´equationx=l.
Si x tend vers ±∞ et si y tend vers un r´eel l en t0, on dit que l’arc pr´esente au voisinage det0 uneasymptote d’´equationy=l.
D´efinition (Asymptotes horizontales ou verticales)
2.g
Illustration
On se place dans le cas o`u x et y tendent tous les deux vers ±∞ et o`u de plus
tlim→t0 y(t)
x(t) =a∈R∪ {−∞,∞}.
On dit alors que la droite d’´equationy=ax(l’axeOysia=±∞) est unedirection asymptotique`a la courbe au voisinage det0.
(1) Dans le cas o`ua=±∞, on dit aussi que l’arc pr´esente unebranche para-boliquedans la directionOy.
(2) Dans le cas o`ua= 0, on dit aussi que l’arc pr´esente unebranche parabolique dans la directionOx.
(3) Poura∈R∗ :
– si en outre lim
t→t0y(t)−ax(t) = ±∞, on dit que l’arc pr´esente au voisinage det0 unebranche paraboliquedans la directiony=ax.
– si lim
t→t0y(t)−ax(t) =b∈R, on dit que l’arc pr´esente au voisinage de t0 uneasymptoted’´equationy=ax+b(ou que la droite d’´equation y = ax+b est asymptote `a la courbe). Dans ce dernier cas, si la quantit´ey(t)−ax(t)−b est positive (resp. n´egative) quandt tend verst0, on dit que la courbe est(localement ent0) au-dessus (resp.
en dessous) de l’asymptote.
D´efinition (Branches paraboliques et asymptotes)
2.h
Illustration
189 St´ephane FLON
2. COURBES PLANES PARAM ´ETR ´EES CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES
Etudier les branches infinies de´ f0. R´eponse :
– en −1 : asymptote horizontale d’´equationy=−32, avecy(t) +32 = (t+1)(2t−3) 2(t−1) ; – en 1 : |x| et |y| tendent vers +∞, y(t)x(t) tend vers−2, et y(t) + 2x(t) vers 52. La
formule
y(t)−(−2x(t) +5
2) =(t−1)(6t+ 5) 2(t+ 1) permet de situer la courbe par rapport `a son asymptote ;
– en ±∞ : |x| et |y| tendent vers +∞, yx tend vers 1, et y−x tend vers−1. La formule
y(t)−(x(t)−1) =−2t+ 1 t2−1 permet de situer la courbe par rapport `a son asymptote.
Exercice (Branches infinies def0)
7
2.4. Plan d’´etude d’une courbe plane param´etr´ee
(1) Domaine de d´efinition de l’arc param´etr´e, puis r´eduction ´eventuelle de celui-ci pour obtenir, par des consid´erations de sym´etrie ou de p´eriodicit´e, ledomaine utile;
(2) ´Etude sur ce dernier domaine de la courbe param´etr´ee, c’est-`a-dire de ses fonctions coordonn´ees (classe, variations et, dans une moindre mesure, signe) ;
(3) ´Etude ´eventuelle des points exceptionnels (points stationnaires, nous dis-posons pour le moment de moyens limit´es pour cette ´etape) ;
(4) ´Etude ´eventuelle des branches infinies ; (5) Recherche des points multiples ; (6) Trac´e (du support) de la courbe.
M´ethode (Plan d’´etude d’une courbe param´etr´ee)
2.4
Tracer le support def0. Exercice (Support def0)
8
190 St´ephane FLON
CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES 3. COURBES EN POLAIRES
3. Courbes en polaires
3.1. Courbes d´efinies par une repr´esentation polaire On reprend les notations usuelles en polaires.
Soit ret θ deux fonctions de classe Ck (o`u k ∈N∗∪ {∞}) sur un intervalle I. La courbe param´etr´ee
f :t7→r(t)~u(θ(t)) est dite d´efinie par unerepr´esentation polaire.
D´efinition (Courbe polaire)
3.a
La fonction r n’est pas forc´ement positive, et l’´etude de son signe est plus importante que celle de ses variations2, puisque elle permet de situer le point mobile du bon cˆot´e par rapport au pˆole.
Illustration
On a
d−−→
OM
dt =r0~u+rθ0~v et
d2−−→
OM
dt2 = (r00−rθ02)~u+ (2r0θ0+rθ00)~v
Proposition (Expression des vecteurs vitesse et acc´el´eration en polaires)
3.a
D´emonstration
2. on se passe parfois de cette derni`ere ´etude
191 St´ephane FLON
3. COURBES EN POLAIRES CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES
3.2. Courbes d´efinies par une ´equation polaire Dans le cas particulier o`u la courbe est donn´ee par une fonction
θ7→r(θ)~u(θ)
on dit que la courbe est d´efinie par l’´equation polaire ρ=r(θ).
Mˆeme si cela n’a plus grand sens, on utilisera toujours les termes cin´ematiques (point mobile, vitesse, acc´el´ era-tion).
Le vecteur d´eriv´e est alors donn´e par d−−→
OM
dθ (θ) =r0(θ)~u(θ) +r(θ)~v(θ),
qui ne peut donc ˆetre nul que lorsquers’annule (ainsi quer0). Le seul point ´eventuellement singulier est donc le pˆole. De plus, lorsquerne s’annule pas, l’angleV de la tangente avec le vecteur~u(θ) est donn´e par
cosV = r0 pr2+r02
et sinV = r pr2+r02 (o`u par cotanV = rr0, ce qui donneV moduloπ).
Cette notation V est standard, mais la formule donnant le vecteur vitesse est tout aussi agr´eable.
Un vecteur directeur de la normale (sauf ´eventuellement au pˆole) est−r(θ)~u(θ) +r0(θ)~v(θ).
Illustration
Si on atteint l’origine au param`etre θ0, la courbe admet simplement pour tangente la droite d’´equation θ=θ0 en ce point.
Illustration
192 St´ephane FLON
CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES 3. COURBES EN POLAIRES
3.3. R´eduction du domaine utile
Plus encore que dans le cas des arcs cart´esiens (ceux donn´es avec leurs fonctions coordonn´ees), il est souvent crucial de r´eduire le domaine d’´etude, afin de mieux rep´erer les invariances du support (par translation, rotation, sym´etrie, etc.), et de faciliter le travail.
Donnons quelques exemples de r´eduction du domaine (en supposant pour simplifier l’arc d´efini surR) : (1) r est 2π-p´eriodique : il suffit d’´etudier la courbe sur un intervalle ferm´e de longueur 2π, tout le
support sera trac´e.
(2) r estπ-antip´eriodique3: les points de param`etresθetθ+πsont confondus. Il suffit donc d’´etudier la courbe sur un intervalle ferm´e de longueurπ, tout le support sera trac´e.
(3) r est π-p´eriodique : il suffit d’´etudier la courbe sur un intervalle ferm´e de longueur π. Le point M(θ+π) se d´eduit deM(θ) par sym´etrie (centrale) par rapport au pˆole, le support total se d´eduira du support sur le domaine utile en lui adjoignant son sym´etrique par rapport au pˆole.
(4) Plus g´en´eralement, supposons que r soit 2πq -p´eriodique (pour un certain q ∈ N∗) : on obtiendra le support de la courbe en dessinant le support de la courbe restreinte `a un intervalle ferm´e de longueur 2πq , puis en lui adjoignant ses images par les rotations de centreO et d’angle de mesure
2kπ
q ,k∈[[1, , q−1]].
(5) rest paire (resp. impaire): le pointM(−θ) se d´eduit deM(θ) par sym´etrie orthogonale par rapport
`
a l’axe des abscisses (resp. celui des ordonn´ees).
Illustration
3.4. Branches spirales, branches infinies
Si r tend vers 0 (resp. a ∈ R∗, ±∞) en ±∞, alors la courbe admet une branche spirale au voisinage de
±∞: le pointOcomme asymptote (resp. le cercle de centreOde rayon|a|comme asymptote, resp. une branche infinie spirale).
3. i.e.∀θ∈R, r(θ+π) =−r(θ)
193 St´ephane FLON
3. COURBES EN POLAIRES CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES
Illustration
Sir(θ) tend vers±∞lorsqueθtend vers la valeur finieθ0, alors la courbe admet une direction asymptotique d’´equationθ=θ0 au voisinage deθ0.
Dans ce cas, on peut ´etudier la quantit´er(θ) sin(θ−θ0), qui mesure la distance alg´ebrique entre le point de param`etreθet la droite d’´equationθ=θ0 :
Illustration
(1) Si r(θ) sin(θ−θ0) tend vers un r´eel d quand θ tend vers θ0, la courbe admet alors une asymptote d’´equationrsin(θ−θ0) =dau voisinage deθ0.
(2) Sir(θ) sin(θ−θ0) tend vers±∞quandθtend versθ0, la courbe admet alors une branche parabolique (dans la direction asymptotique d’´equationθ=θ0) au voisinage de θ0.
Dans le premier cas, le signe der(θ) sin(θ−θ0)−dpermet de situer courbe et asymptote.
Illustration
194 St´ephane FLON
CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES 3. COURBES EN POLAIRES 3.5. Plan d’´etude d’une courbe d´efinie par une ´equation polaire
(1) Domaine de d´efinition de la fonctionr, puis r´eduction ´eventuelle de celui-ci pour obtenir, par des consid´erations de sym´etrie ou de p´eriodicit´e, le domaine utile;
(2) ´Etude sur ce dernier domaine de la courbe (classe, variations et, surtout, signe der) ;
(3) ´Etude ´eventuelle des branches infinies ; (4) Trac´e du support de la courbe.
M´ethode (Plan d’´etude d’une courbe param´etr´ee d´efinie par une ´equation polaire)
3.1
195 St´ephane FLON
4. FEUILLE DE TD 8 CHAPITRE VIII. COURBES PARAM ´ETR ´EES
4. Feuille de TD 8 : Courbes param´etr´ees 4.1. Courbes cart´esiennes Trouver une ´equation polaire de la cardio¨ıde (prendre un autre rep`ere).
3de l’astro¨ıde
f :t7→ cos3t,sin3t .
Exercice 1 ( ´Etude d’arcs param´etr´es classiques) 1
Etude et repr´´ esentation de 1f0 :t7→
Exercice 2 ( ´Etude d’arcs param´etr´es rationnels) 2
Etude et repr´´ esentation
1de lacourbe de Lissajous f :t7→(cos 3t,sin 2t).
2deg :t7→(2 cos(t),sin(2t)).
3de ladelto¨ıde h :t7→(2 cos(t) + cos(2t),2 sin(t)−sin(2t)).
Exercice 3 ( ´Etude d’arcs param´etr´es trigonom´etriques) 2
Trouver les droites `a la fois tangentes et normales `a la courbe Γ :x(t) = 3t2, y(t) = 2t3.
Exercice 4 (Centrale MP 08) 3
On pourra s’aider de Maple.
SoitC l’arc param´etr´e :x(t) = 1+tt4, y(t) =1+tt34. 1Tracer cette courbe.
2Montrer queCest un arc simple.
3Donner l’´equation de la tangenteDt`aC au pointM(t) = (x(t), y(t)).
4D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante surtpour queDtcoupeCen deux pointsM(t1) et M(t2) distincts deM(t). Calculert1+t2 ett1t2.
5Donner les coordonn´ees du centre du cercle circonscrit au triangleOM(t1)M(t2).
Exercice 5 (Centrale MP 08) 3
196 St´ephane FLON
4.2. Courbes polaires
Etude et repr´´ esentation de la stropho¨ıde droite d´efinie en polaires par ρ= cos 2θ
cosθ .
Exercice 6 (Stropho¨ıde droite) 1
Etude et repr´´ esentation de la courbe polaire d´efinie par 1ρ= sin(2θ)−cos(3θ).
2ρ= tan2θ3. 3ρ= 1 + tanθ2.
On montrera en particulier que la courbe admet un unique point doublev´eritable, en lequel les tangentes sont orthogonales.
Exercice 7 (Courbes en polaires) 2
SoitF(1,0) etF0(−1,0). Former une ´equation polaire du lieu Γ des pointsM tels queM F·M F0= 1.
Etudier et repr´´ esenter la courbe correspondante.
Exercice 8 (Lemniscate de Bernoulli) 2
Etudier la courbe´ ρ= cos1θ/3.
Exercice 9 (Centrale MP 08) 2
Etudier la courbe d’´´ equation polaireρ=p
cos(2θ).
Remarque :on demandait aussi de calculer l’aire de la boucle, mais c’est trop compliqu´e pour nous pour le moment.
Exercice 10 (Mines MP 08) 2
197
CHAPITRE IX
Coniques
Sommaire
1. D´efinition monofocale. ´Equations 199
1.1. D´efinition monofocale 199
1.2. Equations´ 200
1.3. Equation polaire´ 207
2. Propri´et´es 208
2.1. D´efinitions bifocales des coniques `a centre 208
2.2. Tangentes 210
3. Equations polynomiales `´ a deux variables de degr´e 2 212
4. Feuille de TD 9 : Coniques 216
4.1. Equations´ 216
4.2. Tangentes et normales 216
4.3. Param´etrages, lieux 217
On se place dans le plan affine euclidien P, muni d’un rep`ere orthonormal direct (O,~i,~j).
Les coniques ont une d´efinition historique purement g´eom´etrique, que nous ne ferons qu’´evoquer. Elles sont d’une grande importance en physique, ce qui explique qu’elles soient abord´ees si tˆot dans l’ann´ee.
Ce cours ne pose pas de difficult´e th´eorique, mais demande la m´emorisation d’un vocabulaire ´etendu, et de
Ce cours ne pose pas de difficult´e th´eorique, mais demande la m´emorisation d’un vocabulaire ´etendu, et de