Pour introduire la notion de « compléxité » concernant les problèmes d’évitement de conflits aériens, dans la sous-section suivante, nous préciserons les indicateurs retenus pour notre approche Nous présentons ainsi des configurations aériennes (problème du cercle et problème du cercle avec déviation) et les instances retenues, en sous-section3.2.2 et annexeC, permettant de réaliser les tests numériques.
3.2.1 Indicateurs de complexité
De nombreux travaux visent à établir des indicateurs et une meilleure compréhen- sion de la « compléxité » des configurations en trafic aérien. Un état de l’art, en 2011, sur les travaux concernant les indicateurs (dans la littérature, on retrouve aussi le terme de « metrics ») pour la complexité des configurations aériennes, est présenté dans Pran- dini et al. [137]. Différents aspects remarquables des configurations aériennes ont été étudiés.
1. Le nombre d’avions est l’un des indicateurs primordiaux pour mesurer la difficulté de résolution de l’instance.
2. Le nombre de conflits potentiels (| Cp|) ; les expériences montrent que plus le nombre
de conflits est élevé, plus sa résolution numérique est délicate (ou la sévérité du problème d’évitement de conflits, notamment présente dans les problèmes du type cercle).
3. Les angles de croisement entre les trajectoires d’avions (nous préciserons pour nos instances l’angle de croisement minimal), par exemple, Huang et Tomlin [105]. 4. Le temps d’anticipation (comme nous l’avons discuté en section précédente), ou du
temps d’arrivée (sans changement en vitesse) à l’intersection de leurs trajectoires, par exemple, Rey [140].
5. La somme des durées des conflits potentiels peut être utilisée pour mesurer la com- pléxité du trafic aérien, par exemple, Delahaye et Puechmorel [67]. Cet indicateur peut être vu comme un agrégat de deux types de grandeurs discutées usuellement pour des paires d’avions : la durée (maximale) de violation potentielle de la condi- tion de séparation, et la distance (minimale) potentielle entre les deux avions, par exemple, Friedman [91].
Les deux grandeurs, la durée (maximale) de violation potentielle de la condition de séparation, et la distance (minimale) potentielle entre les deux avions, sont corrélées dans la mesure où en considérant les trajectoires rectilignes, et en prenant comme référentiel l’un des deux avions la durée de violation de séparation croît à mesure que la distance entre les avions se réduit. Ces grandeurs sont aussi discutées pour le travail des contrôleurs aériens :
1. la géométrie des conflits potentiels affecte la charge des contrôleurs aériens, par exemple, Majumbar et Ochieng [121].
2. la distance minimale entre deux vols est un indicateur utilisé par les contrôleurs aériens, par exemple, Averty et al. [6].
Pour décrire nos instances, nous ajoutons, en plus des cinq indicateurs cités ci-dessus, des indicateurs propres à notre approche, présentée au Chapitre2, concernant :
1. le nombre de rencontres potentielles (| Rp|) entre avions ;
3. la durée de la zone (exprimée en pourcentage par rapport à la fenêtre de temps totale étudiée).
3.2.2 Caractéristiques des configurations aériennes et instances
À présent, nous discutons les types d’instances les plus utilisés. Il s’agit deux types de configurations (géométriques) :
1. Problèmes dits « du cercle », illustrés en Figure3.12;
2. Problèmes dits « du cercle avec déviation », illustrés en Figure3.11.
Dans les problèmes dits du cercle, disposés sur une portion du cercle (un quart de cercle), les avions convergent tous en passant par le centre de ce cercle. Pour un problème du cercle avec n avions, dans lequel les avions sont considérés avec les mêmes carac- téristiques (notamment, les mêmes vitesses nominales), tous les avions sont en conflits potentiels deux à deux ; ce qui donne une situation avec n(n−1)2 conflits potentiels. Cette situation permet de mettre à l’épreuve les algorithmes et approches de résolution en con- sidérant un nombre particulièrement important de conflits aériens. Nous représentons ce type de configuration aérienne en Figure3.11.
Figure 3.11 – Représentation de configurations aériennes avec les positions initiales des avions et leur trajectoire rectiligne prévue (segment en rouge). Les trajectoires satisfont le type de problèmes dit du cercle, configurations avec 4 avions et 10 avions.
Cette situation aérienne admet aussi des limites par rapport à la régulation subliminale en vitesse, concernant les situations en phase tactique, avec un temps d’anticipation faible avant conflits (d’environ 200). En effet, suivant les paramètres choisis (par exemple, pour un rayon du cercle égal à 100NM, une vitesse nominale égale à 400NM/h et un intervalle de vitesse correspondant à la régulation faible suggérée par le projet ERASMUS), seulement de l’ordre de 4 ou 5 avions de vitesses nominales identiques, peuvent effectivement passer par le centre en satisfaisant les contraintes de séparation. Pour nous permettre de tester des instances plus réalistes en usant d’une régulation subliminale en vitesse, nous présentons les problèmes dits du cercle avec déviation. Cette fois, les avions sont disposés sur la totalité du cercle, tels que les avions soient équi-répartis, dans le sens où les distances entre les positions initiales de deux avions consécutifs (i.e., pour tout i dans {1, ..., n − 1}, les distances entre les positions initiales x0i et x0i+1) sont identiques. Les avions convergent proche du centre du cercle (leurs trajectoires rectilignes ne passent pas par le centre du cercle ; elles sont comme étant déviées par rapport au centre du centre, avec un certain angle latéral au départ, ce type de situation est illustré en Figure3.12.
Figure 3.12 –Représentation de configurations aériennes avec les positions initiales des avions et leur trajectoire rectiligne prévue (segment en rouge). Les trajectoires satisfont le type de problèmes dit du cercle avec déviation, configurations avec 7 avions et 13 avions.
Les avions considérés peuvent éventuellement avoir des caractérisques différentes notamment, des vitesses nominales différentes. Cette situation offre la possibilité d’avoir des instances réalisables pour la régulation subliminale en vitesse, en tout en proposant un nombre d’avions plus important à gérer. Les instances pour les tests numériques ont les caractéristiques suivantes. Les problèmes sont du type du cercle avec déviation, dans lesquels les avions sont initialement disposés sur un cercle et convergent vers le centre de ce cercle, avec un angle de déviation appartenant à l’intervalle [−π6, +π6], (en Figure3.12), et avec les caractéristiques suivantes :
1. les trajectoires sont rectilignes ;
2. la norme de séparation horizontale est fixée à 5NM ;
3. la plupart des avions ont un faible temps d’anticipation (de l’ordre de 100) ; 4. la vitesse nominale, pour chaque avion i, notée vt0
i , correspond à 400 NM/h ou
447 NM/h, ou même, dans le cas où nous considérons différentes vitesses pour les avions, différentes valeurs de vitesses nominales incluses dans l’intervalle [400; 450] ; 5. les vitesses sont bornées, basées sur le projet européen ERASMUS [28], par un
intervalle de régulation faible (i.e., [vt0
i − 6%v t0 i , v t0 i + 3%v t0 i ]), par un intervalle de
régulation forte (i.e., [vt0
i − 12%v t0 i , v t0 i + 6%v t0
i ]) ou par l’intervalle de régulation
[vt0 i − 10%v t0 i , v t0 i + 10%v t0 i ] ;
6. les accélérations sont bornées, basées sur le manuel de référence aéronautique d’Eu- rocontrol, Base of Aircraft Data (BADA) [80] : ui = −ui = 4000 NM/h2;
7. la fenêtre de temps considérée pour étudier une configuration correspond à [t0, tf]
avec t0= 0 et tf = 1h ;
8. les conditions terminales imposent un retour aux vitesses nominales pour tous les avions, autrement dit, atteindre les vitesses (vt0
i ) au temps final (tf).
Le nombre d’avions, le nombre de conflits potentiels détectés, le nombre de rencontres potentielles détectées, le pourcentage de temps que représente la zone par rapport à toute la fenêtre de temps, en tenant compte de notre décomposition (présentée dans la Section2.2), les vitesses nominales des avions, les pourcentages sur les bornes de vitesse, la somme des temps de conflits sont reportés dans le Tableau 3.3. Les détails sur les configurations aériennes, notamment les positions initiales et les directions des avions, sont décrites et illustrées en Annexe C. Avec les instances proposées, nous sommes à présent en mesure de réaliser les tests numériques de notre approche.