Détection et décomposition du problème en zones

Dans cette section, nous proposons une détection au pire cas de situations en trafic aérien en-route pour lesquelles il pourrait survenir des risques de conflits aériens pour une configuration donnée.

2.2.1 Régulation subliminale et détection au pire cas

Les manœuvres de régulation en vitesse sont intéressantes pour la résolution du problème d’évitement de conflits aériens, comme conclus des investigations menées dans le cadre du projet européen ERASMUS [28] (reportées en sous-section 1.1.3.2). Deux intervalles de régulation en vitesse ont été identifiés. Une régulation dite faible (1.1) autorise une marge allant de −6% à +3% autour de la vitesse nominale des avions, et l’autre dite forte (1.2) qui autorise une marge allant de −12% à+6% autour de la vitesse nominale des avions.

Les définitions de tels intervalles de régulation en vitesse peuvent être vues comme des contraintes d’ordre un sur les états de vitesses des avions concernés. Les contraintes sur les états posent généralement des difficultés dans le cadre de la résolution analytique de ce type de problème en contrôle optimal.

Dans la suite, en bénéficiant de l’information suivant les intervalles de régulation en vitesse, le but est de mettre en place une décomposition du problème en sous-problèmes plus aisés à résoudre. Grâce à la détection au pire cas et à la décomposition en zones que nous proposons, des combinaisons de méthodes numériques de résolution sont possibles, et font l’objet de cette thèse. En effet, les conditions de séparation entre avions se traduisent par des contraintes d’inégalité (le plus souvent) nombreuses. Pour réduire la difficulté de résolution du problème, en réduisant le nombre de telles contraintes (de séparation), la détermination et la détection de sous-ensembles d’avions sont importantes.

Remarque 2.1. Le plus souvent dans la littérature (par exemple, Durand [78]), le terme « cluster » d’avions est utilisé pour désigner un sous-ensemble d’avions défini de la façon suivante. Un cluster d’avions correspond à une composante connexe du graphe non orientéa en considérant comme sommets les avions et comme application la relation binaire associant « vrai » pour des paires d’avions en conflits potentiels.

a. Des références en théorie des graphes sont, par exemple, Diestel [71], Bondy et Murty [27].

Nous préférons définir et utiliser des sous-ensembles d’avions qui s’articulent autour de la notion de « rencontres potentielles » spécifiques à la régulation en vitesse, décrite en Définition2.2.

D´efinition 2.2. Une « rencontre potentielle » entre deux avions correspond à l’existence d’un conflit potentiel (décrit en Définition 1.3) entre ces deux avions pour des variations données en vitesse, dépendant ainsi des intervalles de régulation en vitesse relatifs aux avions. L’ensemble des rencontres potentielles (Rp) est un sous-ensemble des paires

d’avions (avec I l’ensemble des avions), qui peut être représenté avec le formalisme :

R_pdef=                    (i, j) ∈ I2tel que i< j , ∃_v_i(.) : [t₀, t_f_{] −→ [v}_i, v_i_], ∃_v_j(.) : [t₀, t_f_{] −→ [v}_j, v_j_{] et} ∃_{t ∈ ]t}₀, t_f_{] k x}_i_{(t) − x}_j_{(t) k}2< D2.                    .

Des exemples de la décomposition en sous-ensembles d’avions en rencontres potentielles sont détaillés en sous-Section3.3.2.

Remarque 2.3. Soit l’ensemble des conflits potentiels (Cp), suivant le terme de cluster, un

sous-ensemble des paires d’avions, pour lequel les vitesses sont fixées. La définition de l’ensemble (Cp) est donc indépendante des bornes de vitesses, contrairement à la Défini-

tion2.2. L’ensemble des conflits potentiels (Cp) est inclus au sens large dans l’ensemble

des rencontres potentielles (Rp).

C_p ⊆ R_p

Tout au long de l’étude, sauf mention contraire, nous considérons l’ensemble (Rp) pour

notre travail.

Cette définition de rencontres potentielles nous est particulièrement utile dans notre approche de résolution, ne faisant intervenir que des variations en vitesse. L’ensemble total des paires d’avionsn(i, j) ∈ I2_{tel que i}_{< j}o_{a une taille de l’ordre du carré du nombre}

d’avions. Concernant l’évitement de conflits aériens par une régulation en vitesse, à partir du modèle de contrôle optimal (P), pour résoudre exactement ce problème pour l’ensemble total des avions (I), il est suffisant de résoudre le problème sur l’ensemble (Rp).

Selon Rey [140], actuellement plus de 90% des conflits potentiels, à résoudre par les contrôleurs, proviennent de conflits de type croisement (i.e., en considérant des trajectoires d’avions qui sont rectilignes et sécantes). Ainsi, nous considérons des conflits potentiels en croisement. Étant données des trajectoires d’avions prédites, nous pouvons observer les intersections des trajectoires et identifier des régions spatiales dans lesquelles les contraintes de séparation doivent être vérifiées et d’autres où on peut ne pas imposer de telles contraintes. Une fois que ces régions ont été localisées, nous pouvons tirer partie de l’information de ces intersections pour ainsi produire une stratégie de résolution dont le but est de réduire la difficulté du problème.

2.2.2 Décomposition du problème : une interprétation spatiale

D’un point de vue spatial, comme dessiné en Figure 2.1, nous considérons deux points de la trajectoire par avion (un point d’entrée et un point de sortie) pour chaque paire d’avions (i, j), dont les trajectoires sont en croisement.

1. Soit xi j_entrée le premier point (par ordre chronologique, suivant le sens de déplace- ment) de la trajectoire de l’avion i pour lequel la distance entre ce point et un autre point quelconque de la trajectoire de l’avion j correspond à la norme de séparation. 2. Réciproquement, par projections, nous notons xi j_sortie le dernier point (par ordre chronologique, suivant le sens de déplacement) de l’avion i pour lequel la distance entre ce point et un autre point quelconque de la trajectoire de l’avion j correspond à la norme de séparation.

Pour cette paire d’avions (i, j), dont les trajectoires sont en croisement, nous avons défini les points d’entrée et de sortie de zone pour la trajectoire de l’avion i. De manière similaire, pour la trajectoire de l’avion j, nous pouvons définir le point x_entréeji pour l’entrée dans la zone, et respectivement x_sortieji pour la sortie de la zone.

prézone

zone

postzone

x

i j_entrée

x

_entréeji

x

i j_sortie

x

_sortieji

D

• avion j

avion i

Décomposition spatiale

Figure 2.1 – Décomposition d’un problème d’évitement de conflit à deux avions : une interprétation spatiale.

Ainsi, en tenant compte de l’ensemble des avions (I def= {1, ..., n}), nous définissons pour chaque avion i :

1. le point d’entrée en zone xi_entréecomme le premier point, en tenant compte de l’ordre chronologique, de l’ensemble des points d’entrée :nxi j_entréeo

(i,j)∈I2;

2. le point de sortie de zone xi_sortie le dernier point, en tenant compte de l’ordre chronologique, de l’ensemble des points de sortie :nxi j_sortieo

(i,j)∈I2.

Ainsi, pour chaque avion, il y a trois zones. En effet, la trajectoire rectiligne de chaque avion est partitionnée en trois segments de droite (respectivement, prézone, zone et postzone, du point de vue spatial). De même, la fenêtre totale de temps étudiée peut être partitionnée, comme suit, en trois périodes (respectivement, prézone, zone et postzone, du point de vue temporel).

2.2.3 Décomposition du problème : une interprétation temporelle

La même décomposition peut être étudiée du point de vue temporel, comme représenté en Figure2.2, en utilisant les intervalles de régulation en vitesse et en identifiant deux instants (de la fenêtre de temps considérée) par avion. Il s’agit des instants pour atteindre les points de sa trajectoire, points d’entrée et points de sortie, de la zone en termes d’es- pace définie ci-dessus. Un instant d’entrée au plus tôt et un instant de sortie au plus tard sont définis pour chaque avion, comme suit :

1. Soit ti_{1_min}le minimum des instants (le plus tôt) de l’avion i (en utilisant les bornes supérieures de vitesse) pour atteindre le premier point de sa trajectoire xi j_entrée(avec un autre avion j).

2. Soit ti_{2_max}le maximum des instants (le plus tard) de l’avion i (en utilisant les bornes inférieures de vitesse) pour atteindre le dernier point de sa trajectoire xi j_sortie (avec un autre avion j).

Remarquons que pour prévenir et détecter au pire cas des risques de conflits potentiels, au moins deux avions doivent être en mesure d’être proches l’un de l’autre, sur une période de temps donnée. La zone peut être vide, dans ce cas, il n’y a pas de conflits potentiels à résoudre. Nous définissons donc la zone en termes de temps, suivant les « rencontres potentielles » entre avions. Par ailleurs, la zone (en termes de temps) peut être vide.

t

i_{1_min}

t

_{2_max}j

t

_{1_min}j

t

i_{2_max}

temps

>

avion j

avion i

t

prézone

zone

postzone

Décomposition temporelle

Figure 2.2 – Décomposition d’un problème d’évitement de conflit à deux avions : une interprétation temporelle.

Ainsi, pour l’ensemble des avions (Idef= {1, ..., n}), nous définissons :

1. l’instant d’entrée en zone tZcomme le deuxième instant, en tenant compte de l’ordre

chronologique, de l’ensemble des instants d’entré au plus tôt :nti_{1_min}o

i∈I;

2. l’instant de sortie de zone tZ le pénultième instant, en tenant compte de l’ordre

chronologique, de l’ensemble des instants de sortie au plus tard :nti_{2_max}o

i∈I.

Plus précisement, donnons nous la définition suivante.

D´efinition 2.4. Soit tZl’instant d’entrée en zone :

tZ def= min i∈{1,...,n}\{i_m1}t

1_min, tel que im1

def

= argmin

i∈{1,...,n}

ti_{1_min}.

Et de manière similaire, nous avons aussi la définition.

D´efinition 2.5. Soit tZl’instant de sortie de zone :

tZdef= max i∈{1,...,n}\{i_m2}t

2_max, tel que im2

def

= argmax

i∈{1,...,n} t i 2_max.

D´efinition 2.6. Du point de vue temporel, la zone est définie de manière unique pour tous les n avions, et elle correspond à [tZ, tZ]. La prézone correspond à [t0, tZ] ; et la

postzonecorrespond à [tZ, tf].

Cette définition de zone et le point de vue temporel sont des éléments clefs de notre approche puisqu’ils vont nous permettre de décomposer le problème de contrôle optimal en sous-problèmes plus aisés à résoudre, en particulier en découpant la fenêtre totale de temps étudiée en trois périodes. Nous nous limitons à satisfaire la contrainte de séparation au sein de la zone pour garantir la séparation sur l’ensemble de la fenêtre de temps.

La partition de la fenêtre de temps en trois périodes permet de considérer les conditions de séparation (pour l’ensemble des avions considérés) de manière différente suivant les zones. Nous imposons les contraintes de séparation uniquement en zone. En effet, la zone correspond à la région dans laquelle les contraintes de séparation doivent être vérifiées pour les paires d’avions, la prézone est la région précédente où la violation de la contrainte de séparation entre avions ne peut pas avoir lieu ; et la postzone est la région restant pour laquelle tous les conflits potentiels ont été résolus et pour laquelle les avions sont déjà séparés, en train de poursuivre leur route.

Dans le document Evitement de conflits aériens par une régulation subliminale en vitesse : modélisation & résolution via le contrôle optimal (Page 57-62)