Génération de chemins de dépôt pour les pièces de révolution

N g_n: Vecteur normal à la courbe guide au point Mgn

−−→

Bg_n: Vecteur binormal à la courbe guide au point Mgn

(2.1)

2.1 Génération de chemins de dépôt pour les pièces

de révolution

Les géométries de révolution sont un cas particulier des tubulures à parois minces. En effet, il s’agit de tubulures dont la courbe guide est rectiligne et le profil circulaire à section variable. Afin de définir le chemin de dépôt pour des pièces de révolution, considérons l’exemple d’une demi-sphère creuse de rayon Rs = 45 mm centrée sur l’origine du repère pièce, Figure 2.1.

Cette géométrie a été choisie car elle met en lumière différentes problématiques pouvant être rencontrées dans le domaine de la fabrication additive. En plus d’avoir un défaut géométrique aisément quantifiable [106], le porte-à-faux important présent sur le sommet de la géométrie peut conduire à un effondrement du matériau déposé lors d’une fabrication avec une machine 3 axes sans utilisation de matériau support [46, 103], démontrant alors le fort intérêt de la fabrication additive multi-axes.

Figure 2.1 – Géométrie de révolution : exemple de la demi-sphère.

L’ensemble des points Mi,v de la géométrie sont définis à l’Équation 2.2 à partir de l’équation générale d’une tubulure (Équation 2.1).

X_i,v = Ai·cos v Y_i,v = Ai·sin v Z_i,v = Zgi A_i =q R2 s− Zg2 i v ∈[0; 2π] Zg_i ∈[0; Rs] (2.2)

2.1.1 Tranchage par niveaux de Z à pas constant

Une première manière de générer un chemin de dépôt est le tranchage par niveaux de Z à pas constant. Dans le cas des géométries de révolution, il est aisé de déterminer l’ensemble des points Mi,v d’une couche en s’appuyant sur l’Équation 2.2. Le paramètre ∆passe est défini comme étant la distance suivant l’axe ^−→Z entre deux plans de tranchage, Équation 2.3.

∆passe = Zi+1,v − Z_i,v = Zgi+1− Zg_i (2.3) Afin de générer chaque couche de la trajectoire, il est nécessaire de les discrétiser en un ensemble de points. La discrétisation effectuée est fonction d’une erreur de corde e. Le chemin de dépôt généré est visible à la Figure 2.2a.

Si la génération de chemins de dépôt via la méthode de tranchage par niveaux de Z est la méthode la plus répandue pour effectuer de la fabrication additive, elle présente certains désavantages. Ainsi, pour une pièce présentant du porte-à-faux, la cartographie de la distance locale inter-couches δ (Figure 2.2a) montre que celle-ci augmente avec le porte-à-faux, dégradant alors l’état de surface ("effet escalier"). Il peut alors être néces-saire de modifier la paramétrie de dépôt de manière à augmenter la hauteur des couches

(a) (b)

Figure 2.2 – Chemin de dépôt par tranchage par niveaux de Z. e = 0.01 mm. a : Distances locales inter-couches. ∆_passe= 5 mm.

b : Distance entre deux points à iso-paramètre v = 0. ∆_passe= 5 mm.

déposées, au risque de dégrader l’homogénéité des caractéristiques mécaniques de la pièce (cf. § 1.2). De plus, une distance entre couches trop élevée peut aussi mener à des échecs de fabrication, notamment pour les technologies WAAM, lorsque la distance entre le fil et la pièce est trop importante pour la création de l’arc électrique.

Afin de diminuer l’effet escalier et les potentielles difficultés de dépôt, une diminution de la distance locale entre les couches est souhaitable. Comme cette distance est celle entre deux points à iso-paramètre v, Figure 2.2b, il est nécessaire de changer la définition du paramètre ∆passe de manière à prendre en compte la distance entre ces deux points.

2.1.2 Génération de chemin de dépôt suivant les courbes

iso-paramétriques

Application à une demi-sphère creuse Comme la distance locale inter-couches est égale à la distance entre deux points à iso-paramètre v pour les géométries de révolution (Figure 2.2b), la génération de chemins de dépôt à distance locale inter-couches constante passe par une définition locale du paramètre ∆passe telle que ce soit la distance entre deux points à iso-paramètre v, Équation 2.4.

∆passe= k^{−−−−−−−→}M_i,vM_i+1,vk (2.4)

Dans le cas de la sphère, la définition du paramètre Zgi+1 en fonction de Zgi et de ∆passedoit ainsi respecter l’Équation 2.5. Le paramètre Zgi+1peut ainsi être calculé analy-tiquement (Équation 2.6) en conservant la solution positive de l’équation du second degrés décrite à l’Équation 2.5. Le chemin de dépôt généré suivant les courbes iso-paramétriques est présenté à la Figure 2.3.

Figure 2.3 – Chemin de dépôt généré suivant les courbes iso-paramétriques.

∆_passe= 5 mm, e = 0.01 mm.

∆passe=k^{−−−−−−−→}M_i+1,vM_i,vk=^q(Xi+1,v − X_i,v)2+ (Yi+1,v − Y_i,v)2+ (Zi+1,v − Z_i,v)2 ∆2 passe=^qR2 s− Zg2 i+1·sin v −^qR2 s− Zg2 i ·sin v^2+ q R2 s− Zg2 i+1·cos v −^qR2 s− Zg2 i ·cos v^2+ (Zgi+1− Zg_i)2 (2.5) Zg_i+1= Zgi· 1 − ^∆2passe 2 · R2 s ! + ∆passe· v u u t 1 −^∆2passe 4 · R2 s ! · 1 −^Zgi² R2 s ! (2.6) Le chemin de dépôt ainsi généré a une distance locale inter-couches constante et égale au paramètre ∆passe, ce qui permet de réduire "l’effet escalier" tout en permettant la conservation d’une paramétrie de dépôt identique pendant toute la fabrication de la pièce.

Généralisation La généralisation de cette méthode nécessite l’équation Ai = f (Zgi) régissant la variation du rayon du profil le long de la courbe guide. Cette équation est de la même forme que celle de la courbe à iso-paramètre v. Ainsi, si la résolution analytique n’est pas possible, la distance entre deux points à iso-paramètre v peut être assimilée à l’abscisse curviligne si de la courbe Ai = f (Zgi) si ∆passemax (Zgi), Équation 2.7. La génération de chemins de dépôt peut alors se faire de manière numérique. En considérant l’exemple de la demi-sphère creuse, l’écart moyen entre la distance réelle inter-couches et ∆passe est de l’ordre de 0.06% pour ∆passe= 5 mm et de 0.05% pour ∆passe = 1 mm pour une trajectoire générée de manière numérique.

si =^{Z Zgi+1}

Zgi

dAi

dZgi

Il est alors possible de générer un chemin de dépôt à distance locale inter-couches constante pour des géométries de type tuyère, dont la courbe iso-paramétrique est définie à l’Équation 2.8 [153], Figure 2.4. A_i =^q(Zgi− θ) · 2 · ρ pour Zgi ∈[0; 96.5] ρ= −10 θ= 100 pour Zgi ∈]96.5; 128] ρ= 3 θ= 85 (2.8)

Figure 2.4 – Chemin de dépôt : Tuyère.

∆_passe= 5 mm, e = 0.01 mm.

Remarque Afin de générer un chemin de dépôt pour des géométries de révolution, une paramétrisation utilisant des coordonnées sphériques peut être utilisée. Dans le cas de la sphère, la coordonnée Zgi de la courbe guide peut être remplacée par Zgi = Rs·sin u. Ainsi, les coordonnées de l’ensemble des points Mi,v sont exprimées en fonction des paramètres u et v selon la convention rayon, longitude, latitude, Équation 2.9.

X_u,v = Rs·cos u · cos v

Y_u,v = Rs·cos u · sin v

Zu,v = Rs·sin u ^(2.9)

2.2 Génération analytique de chemins de dépôt :