Avant de présenter et d’analyser le comportement en perméabilité des dépôts examinés dans le cadre de cette étude, nous proposons ici un bref rappel des approches théoriques sur lesquelles s’appuient les modèles décrivant la perméabilité d’un dépôt de filtration.
Le développement des modèles de perméabilité est le fruit des investigations menées par de nombreux chercheurs dans le but de décrire, maîtriser et prédire les propriétés de transport d’un liquide à travers un média poreux. Cette problématique se situe au cœur de nombreuses applications dans les domaines du pétrole, de la fabrication de papier ou de céramiques, dans des procédés de dépollution tels que le traitement des eaux de surface, eaux usées et boues et enfin dans des procédés naturels tels que les écoulements dans les sols. Pour décrire le transport du liquide aux travers de ces milieux variés et souvent complexes, le développement de lois générales de perméabilité s’appuie sur des considérations théoriques concernant la structure du matériau ou la géométrie des pores. A l’intérieur du matériau, l’écoulement est alors étudié suivant deux approches distinctes selon que l’on considère le transport du liquide à l’intérieur d’une conduite ou autour d’objets solides immergés.
Parmi les modèles d’écoulement dans une conduite, l’un des plus couramment utilisé est le modèle développé par Kozeny (1927) puis Carman (1937). Il s’appuie sur la description de la structure du pore au sein du média. Dans ce modèle, les pores sont considérés comme des capillaires ayant une section droite de forme complexe mais d’aire constante. Parmi les travaux menés sur la modélisation de la perméabilité de dépôts d’agrégats, on a présenté dans le premier chapitre de cette étude, l’approche développée par Waite et al (1999) pour décrire les propriétés de perméabilité de dépôts d’agrégats de particules d’hématite. On rappelle ici qu’une partie de leur étude a été consacrée à une comparaison des valeurs de perméabilité de ces dépôts obtenues expérimentalement et calculées par ce modèle de Kozeny-Carman. Les résultats de cette étude ont permis de mettre en évidence un bon accord entre les valeurs de perméabilité calculées via ce modèle et les valeurs expérimentales. Toutefois, comme l’ont suggéré Veerapaneni al (1996), ce type de modèle n’est pas adapté pour la description de l’écoulement dans des matériaux de moyenne ou grande porosité, supérieure à 0,5. Or, dans le cadre de cette étude, l’ensemble des dépôts examinés présente des porosités supérieures ou égales à 0,65. Le modèle de Kozeny- Carman ne parait donc pas pertinent pour le traitement des résultats expérimentaux de perméabilité obtenus en filtration et ne sera donc pas utilisé dans le cadre des investigations menées sur la modélisation du comportement des dépôts de Ludox/Al13.
Chapitre V – Filtration frontale : structure et propriétés de perméabilité de dépôts d’agrégats de sols de silice
En revanche, les modèles considérant l’écoulement du liquide autour d’objets immergés se révèlent être plus appropriés aux cas de matériaux présentant une porosité élevée [Tang et al (2002)].
• Modèles d’écoulement autour d’un objet
Les modèles de perméabilité basés sur la description de l’écoulement autour d’un objet sont définis comme des variantes, extensions ou généralisations de la loi de Stokes [Dullien (1979)] qui décrit la vitesse de chute v0 (m.s-1) d’une particule sphérique dans un liquide suivant l’expression :
(
)
2 part liq p 0 ρ ρ g d v 18 µ − = (V.1)dp (m) et ρpart.(kg.m-3) sont respectivement le diamètre et la masse volumique de cette particule, ρliq. (kg.m-3) et µ (Pa.s) sont respectivement la masse volumique et la viscosité dynamique du liquide, g est la constante d’accélération de la pesanteur (m.s-2).
La loi de Stokes s’applique pour la sédimentation de particules monodisperses et dures dans un milieu dilué. En milieu concentré, les interactions hydrodynamiques entre particules n’étant plus négligeables, cette loi doit être corrigée par une fonction K(Ф) dépendante de la fraction volumique solide moyenne des particules en sédimentation. On définit K*(Ф) comme l’inverse de cette fonction de correction de la loi de Stokes ; par ailleurs, K*(Ф) est aussi appelé coefficient hydrodynamique. La vitesse de chute vi d’une particule i dans un milieu concentré est alors définie suivant l’expression :
(
)
* 2 part liq p * i 0 K (Φ) ρ ρ g d v v K (Φ) 18 µ − = = (V.2)A partir de cette expression, on peut définir la vitesse d’écoulement v du liquide au travers d’un milieu poreux. Il faut alors considérer dans ce cas le mouvement de la phase liquide à l’intérieur de la phase de solide immobile (les particules concentrées formant le milieu poreux). Le produit (ρpart - ρliq.).g est alors relié au rapport du gradient de pression ∆P (Pa) appliqué dans le matériau suivant sa hauteur L (m) par l’expression suivante :
Chapitre V – Filtration frontale : structure et propriétés de perméabilité de dépôts d’agrégats de sols de silice
(
part liq)
(
mat liq)
1 ∆P
ρ ρ g ρ ρ g
Φ Φ L
− = − ≡ 1 (V.3)
ρmat. (kg.m-3) est la masse volumique du matériau poreux.
La vitesse d’écoulement du liquide v est alors exprimée par la relation suivante :
2 * p d K (Φ) ∆P v 18 µΦ L = − (V.4)
Cette vitesse v est aussi donnée par application de la loi de Darcy dans le milieu poreux en fonction du gradient de pression ∆P appliqué dans le matériau d’épaisseur L :
k ∆P v
µ L
= − (V.5)
k est la perméabilité moyenne du matériau, elle est exprimée en m2 (détail des calculs dans le chapitre II). En identifiant les équations 4 et 5, k est alors exprimée suivant l’équation:
2 * p d K (Φ) k 18 Φ = (V.6)
En divisant la perméabilité k par le diamètre des particules au carré, on définit alors une perméabilité adimensionnelle moyenne ka qui s’exprime en fonction de la fraction volumique solide moyenne Ф du matériau poreux et du coefficient hydrodynamique K*(Ф) suivant la relation:
* a 2 p k 1 K (Φ) k 18 Φ d = = (V.7)
Cette équation est la base commune de tous les modèles de perméabilité dérivés de la loi de Darcy. Ils décrivent l’écoulement du fluide autour d’un objet de taille caractéristique équivalente à la taille de la particule et se différencient suivant l’expression de K*(Ф).
L’un de ces modèles, développé par Zick et Homsy (1982), a été utilisé pour l’étude de la modélisation du comportement en perméabilité des dépôts de Ludox/Al13. Le coefficient hydrodynamique K*(Ф) est déterminé par simulation d’un écoulement à travers un matériau poreux représenté par un empilement périodique de sphères. L’expression de la perméabilité adimensionnelle ka est donnée par l’équation suivante :
Chapitre V – Filtration frontale : structure et propriétés de perméabilité de dépôts d’agrégats de sols de silice
(
)
3 a 2 p 0 1 Φ k 1 k 18 d 2K (Φ).Φ − = = 2 (V.8)La valeur du coefficient K0(Ф) évolue suivant la nature et la fraction volumique solide de l’empilement. Ce coefficient est calculé par les auteurs pour des valeurs de Ф fixées, en considérant des empilements de structure cubique simple, centré ou faces centrées.
B.2 Etude expérimentale des propriétés de perméabilité des dépôts