Généralisation à R d

Définition 5.8. Soit d ∈ N^∗. On noteS^d−1 =

x∈R^d | kxk= 1 , oùk · k représente la norme eucli-dienne. Etant donnéA⊂S^d−1, on noteγ(A)le secteur :

γ(A) =

rx∈R^d|x∈A,0< r61

On appellemesure euclidienne de surfacela mesure borélienne surS^d−1définie par : σd(A) =dλd(γ(A)), ∀A∈ B(S^d−1)

On vérifie facilement que l’on a bien défini une mesure.

Remarque. Calculons la valeur de la mesure de la sphère unité : σd(S^d−1) =dλd({x| kxk61}) =d π^d2

Γ ^d₂+ 1 = 2π^d2 Γ ^d₂

En particulier,σ1(S⁰) = 2(c’est la mesure de comptage surS⁰ ={−1,1}),σ2(S¹) = 2π(circonférence du cercle unité dans le plan),σ3(S²) = 4π(aire de la sphère unité dans l’espace), . . .

Proposition 5.9. Sifest une fonction mesurable positive, ou intégrable, définie surR^d, alors Z

R^d

fdλ= Z _∞

0

Z

S^d−1

f(r, ω)r^d−1drdσω (5.7)

oùλ=λdetσ=σd.

En particulier, sif est radiale (i.e. s’il existef0telle quef(x) =f0(kxk)), alors : Z

R^d

fdλ=Cd

Z _∞

0

f0(r)r^d−1dr, oùCd = 2π^d2 Γ ^d₂ Application : Soitf:R^d→[0,+∞]définie par

f(x) = 1

kxk^α, α >0 Alors, comme précédemment,

f est intégrable sur un voisinage borné de l’origine si et seulement si α < d.

f est intégrable sur le complémentaire d’un tel voisinage si et seulement si α > d.

Démonstration (Démonstration de la proposition5.9). Il suffit de vérifier (5.7) pour f = 1B avec B ∈ B(U) =B(R^d\ {0}). Définissonsµ: B(U)→[0,+∞]par :

µ(B) = Z _∞

0

Z

S^d−1

1B(rω)r^d−1drdσω

Alors, on vérifie queµest une mesure borélienne surR^d\ {0}. On veut montrer queµ=λ. D’après le corollaire3.11au lemme des classes monotones, il suffit de vérifier queµ(B) =λ(B)pour unB de la forme :

B =

x∈U | x

kxk ∈A, a <kxk6b

, avecA∈ B(S^d−1)et0< a < b

En effet, une telle famille vérifie les hypothèses voulues (stabilité par intersection finie, etUest l’union dénombrables de telles parties). On a donc :

•

µ(B) = Z _∞

0

Z

S^d−1

1]a,b]1A(ω)r^d−1drdσω=σ(A) Z b

a

r^d−1dr=σ(A)b^d−a^d d

• Par ailleurs, on noteγn(A) =

rx∈R^d|αⁿ⁺¹< r6αⁿ, x∈A oùα= ^a_b ∈]0,1[etA∈S^d−1. Alors, γn(A)∩γm(A) =∅sin6=m, etγ(A) =S

n∈Nγn(A). Par définition, on aB=bγ0(A). L’invariance par dilatation deλdonne queλ(γn(A)) =α^dnλ(γ0(A)). Ainsi,

λ(γ(A)) =X

n∈N

λ(γn(A)) = λ(γ0(A)) 1−α^d et

λ(B) =b^dλ(γ0(A)) Donc,

λ(B) =b^d(1−α^d)λ(γ(A)) = b^d−a^d

d σ(A) =µ(B)

C HAPITRE 6

E ^SPACES L ^{p ET} L ^p

Dans tous les chapitres précédents, nous avons considéré les fonctions “individuellement”. Dans ce chapitre, nous étudierons des familles entières de fonctions, c’est-à-dire des “espaces de fonctions”, ou espaces fonctionnels.

Dans tout ce chapitre, on considère un espace mesuré(X,M, µ), et on noteraK=RouC.

6.1 G ÉNÉRALITÉS SUR LES ESPACES L

^p

^ET L

^p

Définition 6.1. Soitp∈[1,+∞[. On définit : L^p(X,M, µ) =

f:X→Kmesurable| Z

X|f|^pdµ <∞

Pourf ∈ L^p(X,M, µ), on note

kfk^p= Z

X|f|^pdµ ¹_p

Les cas les plus importances sont p = 1 (i.e. l’ensemble L¹(X,M, µ) des fonctions intégrables, déjà défini), etp= 2(i.e. l’ensemble des fonctions de carré intégrable).

Définition 6.2. On dit qu’une fonctionf:X →Kestessentiellement bornées’il existe un réelA>0 tel que|f|6A µ-presque partout, i.e.

µ({x∈X | |f(x)|> A}) = 0

On noteL^∞(X,M, µ)l’ensemble des fonctions essentiellement bornées surX.

Pourf ∈ L^∞(X,M, µ), on note kfk∞=sup ess

x∈X |f(x)|= inf ({A>0| |f|6A µ-presque partout}) Remarque. En fait,kfk∞= min{A>0| |f|6A µ-presque partout}, de sorte que

|f(x)|6kfk∞, pourµ-presque toutx∈X En effet, soient En =

x∈X | |f(x)|>kfk∞+_n¹ et E = {x∈X | |f(x)|>kfk∞}. Alors, E = S

n∈NEnet pour toutn∈N,µ(En) = 0par définition dekfk∞, doncµ(E) = 0.

Définition 6.3. On dit quep, q∈[1,+∞]sont desexposants conjuguéssi1 p+1

q = 1(avec la convention 1

∞ = 0).

Proposition 6.4 (Inégalité de Hölder). Soientp, q∈[1,+∞]des exposants conjugués. Sif, g:X →Ksont des applications mesurables, alors

kf gk¹6kfk^pkgk^q (6.1)

En particulier, sif ∈ L^p(X,M, µ)etg∈ L^q(X,M, µ), alorsf g∈ L¹(X,M, µ)et l’inégalité (6.1) est vraie.

Remarque. Sip, q∈]1,+∞[, l’inégalité (6.1) devient : Z

X|f g|dµ6 Z

X|f|^pdµ ¹_pZ

X|g|^qdµ ¹_q

(6.2) et sip=∞etq= 1, on a : Z

X|f g|dµ6

sup ess

x∈X |f(x)| Z

X|g|dµ

(6.3) Cette dernière inégalité est évidente car|f g|6kfk∞|g|µ-presque partout.

La démonstration de l’inégalité de Hölder repose sur le lemme suivant : Lemme 6.5. Soientp, q∈]1,+∞[deux exposants conjugués. Sia, b>0, on a :

ab6 1 pa^p+1

qb^q avec égalité si et seulement sia^p=b^q.

Démonstration. On peut supposer quea, b >0sans quoi c’est évident. Notonsx=pln(a)ety=qln(b), de sorte quea=e^x/petb=e^y/q. Comme la fonctiont7→exp(t)est strictement convexe, on a

ab= exp 1

px+1 qy

6 1

pexp(x) +1

qexp(y) =1 pa^p+1

qb^q

avec égalité si et seulement six=y, i.e.a^p=b^q.

Démonstration (Démonstration de la proposition6.4). Sif etgsont deux fonctions mesurables, le produit f gl’est aussi. Il suffit donc de montrer (6.1). Les cas(p= 1, q =∞)et(p =∞, q = 1)sont faciles. On suppose donc que1< p, q <∞.

Sif = 0(oug= 0)µ-presque partout, alorsf g= 0µ-presque partout et les deux membres de (6.2) sont nuls. On suppose donc dorénavant quekfk^p>0etkgk^q>0.

Dans ce cas, on peut supposer quekfk^p<∞etkgk^q<∞, sinon le membre de droite de (6.2) vaut+∞ et il n’y a rien à montrer.

Supposons donc que1< p, q <∞et que0<kfk^p,kgk^q<∞. Définissons les fonctions suivantes : F(x) =|f(x)|

kfk^p , G(x) = |g(x)| kgk^q

Alors,F ∈ L^p(X,M, µ)etG∈ L^q(X,M, µ)aveckFk^p=kGk^q = 1.

En outre, par le lemme,

F(x)G(x)6 1

pF(x)^p+1 qG(x)^q En intégrant les deux membres, on trouve :

1 kfk^pkgk^q

Z

X|f g|dµ

6 1

pkFk^pp+1

qkGk^qq =1 p+1

q = 1

Remarque. Si1< p, q <∞, on a égalité dans (6.2) si et seulement si

α|f(x)|^p=β|g(x)|^q avecα, β >0, α+β >0 Sip=∞, q= 1, on a égalité dans (6.3) si et seulement si

|g|(kfk∞− |f|) = 0 µ-presque partout

Justifions maintenant que les applicationsf 7→ kfk^pintroduites pourp∈[1,+∞]sont des semi-normes, ce qui justifiera la définition des espacesL^p pour qu’elles deviennent des normes. Nous allons tout d’abord nous intéresser à l’inégalité triangulaire, dite de Minkowski.

Proposition 6.6 (Inégalité de Minkowski). Soit un réelp∈ [1,+∞]. Sif, g:X → Ksont deux applica-tions mesurables, alors

kf+gk^p6kfk^p+kgk^p (6.4)

En particulier, sif, g∈ L^p(X,M, µ), alorsf+g∈ L^p(X,M, µ)et l’inégalité (6.4) est vraie.

Démonstration. Comme|f+g|6|f|+|g|, alors le résultat est évident pourp= 1etp=∞. On suppose donc que1< p <∞, et quef, g∈ L^p(X,M, µ)avecf >0etg>0(sinon, on remplacefpar|f|etgpar

|g|). La fonctiont7→t^pétant convexe sur[0,+∞[, on a donc pour tousa, b>0: 1

2a+1 2b

p

61 2a^p+1

2b^p donc, on en déduit immédiatement que

(a+b)^p62^p−1(a^p+b^p) Ainsi,

(f(x) +g(x))^p62^p−1(f(x)^p+g(x)^p) et on en déduit quef+g∈ L^p(X,M, µ).

Par ailleurs, posonsh=f +g>0. Alors on a

h^p= (f+g)h^p−1=f h^p−1+gh^p−1 Soitq= _p−^p₁ l’exposant conjugué dep, on a alors

kh^p−1k^q= Z

X

h^pdµ ¹_q

=khk

p

pq =khk^pp⁻¹<∞ Par l’inégalité de Hölder, on en déduit donc que

khk^pp6kfk^pkh^p−1k^q+kgk^pkh^p−1k^q =khk^p−1p (kfk^p+kgk^p)

Si khk^p > 0, on obtient (6.4) en divisant les deux nombres parkhk^p−1p , et si khk^p = 0, alors f = 0 µ-presque partout etg= 0µ-presque partout, donc les deux membres de (6.4) sont nuls.

Soit p ∈ [1,+∞]. Il suit de l’inégalité de Minkowski queL^p(X,M, µ)est un espace vectoriel, et que l’applicationk · k^p:f 7→ kfk^pest une semi-norme surL^p(X,M, µ). En effet,

– kfk^p>0pour toute applicationf ∈ L^p(X,M, µ)

– kλfk^p=|λ| kfk^ppour toute applicationf ∈ L^p(X,M, µ)et toutλ∈K – kf+gk^p6kfk^p+kgk^ppour toutes applicationsf, g∈ L^p(X,M, µ)

En revanche,kfk^p = 0 ⇐⇒ f(x) = 0pourµ-presque toutx∈X, donck · k^pn’est pas une norme si la tribuMcontient des ensembles non vides de mesure nulle¹.

Considérons alorsRla relation d’équivalence surL^p(X,M, µ)définie par

fRgsi et seulement sif(x) =g(x)pourµ-presque toutx∈X, i.e.kf−gk^p= 0

Etant donnée une applicationf ∈ L^p(X,M, µ), on note[f]la classe d’équivalence def pour la relation R, c’est à dire que

[f] ={g∈ L^p(X,M, µ)|g(x) =f(x)µ-presque partout}

Définition 6.7. Soitp∈[1,+∞]. On noteL^p(X,M, µ)le quotient deL^p(X,M, µ)par la relation d’équi-valenceR, i.e.

L^p(X,M, µ) ={[f]|f ∈ L^p(X,M, µ)}

Par construction,L^p(X,M, µ)est un espace vectoriel normé, avec les opérations d’espace vectoriel [f] + [g] = [f+g], λ[f] = [λf], ∀λ∈K,∀f, g∈ L^p(X,M, µ)

et la norme²:

k[f]k^p=kfk^p, ∀f ∈ L^p(X,M, µ)



Attention !En fait, lorsque l’on travaille avec des éléments deL^p(X,M, µ), on raisonne avec des classes d’équivalence. Mais dans toute la suite du cours, on identifiera la classe d’équivalence avec l’une de ses fonctions représentatives. Cependant,on ne pourra pas évaluer une fonction deL^p(X,M, µ)en un point. En effet, deux fonctions dans la même classe d’équivalence peuvent différer sur un ensemble de points de mesure nulle.

L’analyse étant basée pour une grande part sur des procédés de limite et d’approximation, on n’étudie d’ordinaire les espaces vectoriels normés que s’ils sont complets, i.e. toute suite de Cauchy converge. Le théorème suivant assure la complétude des espaces de Lebesgue.

Théorème 6.8 (Riesz-Fisher). L’espace de LebesgueL^p(X,M, µ)est un espace vectoriel normé complet (i.e.

un espace de Banach) pour toutp∈[1,+∞].

Démonstration. Soit(fn)_n∈Nune suite de Cauchy dansL^p(X,M, µ). On choisit des représentants quel-conques fn ∈ L^p(X,M, µ), et on veut montrer qu’il existe une fonctionf ∈ L^p(X,M, µ) telle que kf−fnk^p_n−→_→∞0.

1. ... ce qui est, en particulier, le cas de la tribu de Lebesgue.

2. Il faut bien entendu vérifier que les lois de composition et que la norme ne dépendent pas du représentant choisi.

a) Si16p <∞. Par récurrence, on construit une suite extraite(fnk)k∈Nde(fn)n∈Ntelle que pour tout

Ainsi, la suite (g^p_N)N∈N est une suite croissante de fonctions intégrables, positives et telles que supN∈N

D’autre part, on a évidemment :

fnk(x) =fn0(x) +

Remarque. L’argument montre que toute suite de Cauchy dansL^p(X,M, µ)possède une sous-suite qui converge point par point presque partout.

b) Sip=∞. Pourn, m∈N, on définit :

On définit donc

f(x) =

limn→∞fn(x) six /∈E

0 sinon

Alorsf est mesurable, et |f(x)| 6 lim inf_n→∞kfnk∞ pour toutx ∈ X, doncf ∈ L^∞(X,M, µ)et kfk∞6lim inf_n→∞kfnk∞<∞. De même,

|fn(x)−f(x)|6lim inf

m→∞kfn−fmk∞, ∀x∈X\E

donckfn−fk∞6lim infm→∞kfn−fmk∞_n−→_→∞0.

Corollaire 6.9 (p= 2). L’espaceL²(X,M, µ)est un espace de Hilbert, muni du produit scalaire : (f|g) =

Z

X

f gdµ, f, g∈L²(X,M, µ)

On vérifie que(·|·)est bien un produit scalaire³ (i.e. une forme bilinéaire symétrique définie positive surR, ou une forme sesquilinéaire symétrique hermitienne définie positive surC) surL²(X,M, µ). En particulier, l’inégalité de Hölder (dans le casp= 2) donne l’inégalité de Cauchy-Schwarz:

|(f|g)|6kfk²kgk² Pourp6= 2, aucunL^p(X,M, µ)n’est un espace de Hilbert.

Dans le document Théorie de la mesure et de l’intégration (Page 86-94)