Tout ce qui précède (excepté les formules avec des dérivations à adapter en mettant des dérivées par-tielles) reste valable siRest remplacé parRd,d>1. En notantx·yle produit scalaire entrex, y∈Rd, on a, pour toutf :
fˆ(k) = (2π)1d/2
Z
Rd
f(x)e−ik·xdx, k∈Rd f(x) = (2π)1d/2
Z
Rd
fˆ(k)eik·xdk, x∈Rd
7.4 A PPLICATIONS
Dans cette dernière partie, nous présenterons deux applications de la transformation de Fourier : l’une pour résoudre facilement une équation différentielle, et l’autre qui justifie l’introduction de la transfor-mée de Fourier : la résolution de l’équation de la chaleur à une dimension.
7.4.1 A la rescousse des équations différentielles
Exercice. Soitf ∈ C0(R)∩ L1(R). Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle :
−h′′(x) +h(x) =f(x), x∈R telle queh∈ C2(R)∩ L1(R).
Démonstration (Solution). On applique la transformation de Fourier à l’équation4différentielle. En no-tantfˆ=Ffetˆh=Fh, on trouve :
k2ˆh(k) + ˆh(k) = ˆf(k), i.e. (1 +k2)ˆh(k) = ˆf(k) Ainsi,
h(k) =ˆ 1
1 +k2fˆ(k), k∈R Notons alors
g(x) = 1
√2π Z
R
1
1 +k2eikxdk= rπ
2e−|x|
On a donch= √12πg∗f, d’où
h(x) =1 2
Z
R
e−|x−y|f(y)dy
3. Rappel :(u|v) = 14`
ku+vk2− ku−vk2+iku+ivk2−iku−ivk2´
(identité de polarisation)
4. La transformation de Fourier peut-être vue comme un changement de base qui diagonalise les opérateurs différentiels !
En résolvant l’équation différentielle de manière "classique", on trouve que les solutions générales ont deux termes supplémentaires de la formeCexetDe−xoùC, D∈R, mais comme ces termes explosent à l’infini siCetDne sont pas nuls, on les aurait écartés par la suite. Ainsi, la transformation de Fourier a permis immédiatement d’écarter ces termes (qui ne sont pas dansL1(R)).
7.4.2 L’équation de la chaleur à une dimension
L’analyse en fréquence apparaît en 1802 dans le traité de J. Fourier "Théorie analytique de la chaleur".
Mathématiquement, on dispose d’une fonctionf:R→Rcontinue et bornée. On cherche une fonction u:R×[0,+∞[→R, continue telle queuest de classeC2surR×]0,+∞[et telle que
( ∂u
∂t(x, t) = ∂∂x2u2(x, t), x∈R, t >0 u(x,0) =f(x), x∈R
Autrement dit, on dispose d’un barreau idéal de longueur infinie, chauffé initialement selon la distribu-tion de chaleurf. On sait que la chaleur se diffuse, et on cherche de quelle façon la fonction de diffusion use comporte.
f
u(x, t), t >0
On applique la transformation de Fourier sur la variablexavec
On suppose ici formellement que toutes les hypothèses des théorèmes que nous sommes amenés à utiliser sont vérifiées :
On trouve donc l’équation suivante :
∂uˆ
Sif est continue est bornée, alorsuestC2et bornée pour toutt >0. De plus,uvérifie l’équation de la chaleur, et àxfixé, on au(x, t)−→t→0f(x).
C HAPITRE A
M ESURE DE H AUSDORFF
Dans cette annexe, nous étudions brièvement les mesures de Hausdorff, qui généralisent la mesure de Lebesgue. Même si elles n’ont pas la même importance pratique que la mesure de Lebesgue, il est utile, dans de nombreux domaines des mathématiques, d’être un tant soit peu familier avec celles-ci.
La théorie des mesures de Hausdorff, née une quinzaine d’années après celle de la mesure de Lebesgue, répondait à plusieurs motivations principales, notamment :
1) la mesure d’objets de dimension inférieures. En effet, si on se place en dimension 3, on a vu que la mesure de Lebesgue λ3 permet d’attribuer à toutes les parties mesurables de R3 un "volume".
Cependant, si l’on a besoin de définir "l’aire" d’une surface, ou la "longueur" d’une courbe tracée dansR3, la mesure de Lebesgue de tels objets est bien sûr nulle... D’où l’introduction d’une mesure en dimension3permettant de "classer" les ensembles négligeables du point de vue de la mesure de Lebesgue. Du coup, appliquée à un ensemble de "volume" non nul, on s’attend à ce que cette nouvelle mesure soit infinie.
2) la notion de dimension. Intuitivement, on a l’habitude de penser qu’une coube "régulière" est de dimension 1, car on peut localement la déformer continûment en un morceau de droite. En générali-sant, on pensera donc qu’un ensemble est de dimensionksi on peut l’exprimer localement au moyen de kfonctions indépendantes. En particulier l’image par une application régulière d’un ensemble de dimensionkdevrait être de dimension au plusk. Ceci est effectivement vrai quand on travaille avec des fonctions régulières. Cependant, il existe des courbes dites "de Peano" qui sont des courbes continues surjectives de[0,1]dans[0,1]2. Immédiatement, on voit que l’image d’une telle courbe est de dimension 2... Cet exemple montre bien qu’il est impossible de définir une notion de dimension qui soit basée sur les dimensions d’espaces de départ et d’arrivée.
A.1 C OMPLÉMENTS SUR LES MESURES EXTÉRIEURES
Soit(X, d)un espace métrique séparable. Ainsi, pour toutδ >0et partieEdeX, on peut recouvrirE par une suite de boules de diamètres6δ, et plus généralement, de parties de diamètres6δ.
Définition A.1 (mesure métrique extérieure). Une mesure extérieureµ∗est appeléemesure métrique extérieuresi pour tous ensemblesE, F ⊂Xtels qued(E, F)>0, on aµ∗(E∪F) =µ∗(E) +µ∗(F).
On rappelle que la distance entre deux partiesEetFest donnée par la formule : d(E, F) = inf
x∈E y∈F
f(x, y)
Définition A.2 (δ-recouvrement). Soitδ > 0. Une famille{Xi}i∈N de parties deX est appelée un δ-recouvrementsi
X⊂ [
i∈N
Xi, diam(Xi)< δ ∀i∈N
On rappelle que le diamètre d’une partieEdeXest donné par la formule : diam(E) = sup
x∈E y∈E
d(x, y)
On va vouloir montrer que la mesure de Hausdorff est une mesure métrique extérieure. Pour cela, on aura besoin du lemme suivant :
Lemme A.3 (de Carathéodory). Soientµ∗une mesure métrique extérieure, et{Ai}i∈Nune famille croissante de parties deX. On poseA=S
i∈NAi. Sid(Ai, A\Ai+1)>0pour touti∈N, alors on a µ∗(A) = lim
i→∞µ∗(Ai)
Démonstration. PosonsB0 = A0 et, pour toutj > 1,Bj = Aj \Aj−1. Comme la famille{Ai}i∈N était croissante,{Bj}j∈Nest une famille de parties deX deux à deux disjointes et telle que
[
j∈N
Bj=[
i∈N
Ai =A
Supposons qu’il existej0etj1deux entiers de même parité tels quej0< j1etd(Bj0, Bj1) = 0. Alors,
∀ε >0,∃(x, y)∈Bj0×Bj1 :d(x, y)< ε
Prenonsε=d(Aj0, A\Aj0+1)>0par hypothèse. Il existe donc(x0, y0)∈Bj0×Bj1tel qued(x0, y0)< ε.
Or,x0∈Bj0 ⊂Aj0 ety0∈Bj1 =A\Aj1−1.
Comme j0 < j1 −1 (car de même parité et j0 < j1) et que la famille {Ai}i∈N est croissante, alors y0∈A\Aj0+1, et doncd(x0, y0)>d(Aj0, A\Aj0+1) =ε. On obtient une absurdité.
Ainsi, par hypothèse, µ∗ [
k
B2k
!
=X
k
µ∗(B2k), µ∗ [
k
B2k+1
!
=X
k
µ∗(B2k+1) On veut montrer quelimi→∞µ∗(Ai) =µ∗(A). Pour touti∈N, on a
Ai⊂A⊂Ai∪ [
k>i+1
Bk
Donc, commeµ∗est une mesure extérieure
µ∗(Ai)6µ∗(A)6µ∗(Ai) + X
k>i+1
µ∗(Bk) (A.1)
Il suffit maintenant de montrer quelimi→∞P
k>iµ∗(Bk) = 0. Pour cela, il suffit de montrer que la série de terme généralµ∗(Bk)converge. En effet, pour toutN ∈N,
( PN
k=0µ∗(B2k) =µ∗(SN
k=0B2k)6µ∗(A)<∞ PN
k=0µ∗(B2k+1) =µ∗(SN
k=0B2k+1)6µ∗(A)<∞
d’oùP
k>0µ∗(Bk)62µ∗(A).
Finalement, en passant à la limite dans (A.1), on a µ∗(A) = lim
i→∞µ∗(Ai)
Ce lemme va nous permettre de montrer qu’une mesure métrique extérieure définit une mesure boré-lienne.
Proposition A.4. Tout borélien estµ∗-régulier, i.e.B(X)⊂ M(µ∗).
Démonstration. SoitE un ensemble fermé deX. Montrons queEestµ∗-régulier. Pour cela, soitAune partie deX. On veut montrer queµ(A)>µ(A∩E) +µ(A∩E∁), oùE∁=X\Eest le complémentaire de E, l’autre inégalité provenant immédiatement de la sous-additivité deµ∗. On peut supposer que µ(A)<∞, sans quoi il n’y a rien à montrer.
Pour toutj >1, posons
Ej =
x∈X |d(x, E)> 1 j
Commed(A∩E, A∩Ej)>0, on a
µ∗((A∩Ej)∪(A∩E)) =µ∗(A∩Ej) +µ∗(A∩E) d’où
µ∗(A)>µ∗(A∩Ej) +µ∗(A∩E) par croissance de la mesure extérieure.
En passant à la limite, commeS
j∈NEj =E∁(Eest fermé), et comme{A∩Ej}i∈Nvérifie les hypothèses du lemme précédent, on obtient l’inégalité voulue.
Finalement, tout fermé est µ∗-régulier, et comme les fermés engendrent la tribu borélienne, on a la
conclusion voulue.