Formules de connexion

Pour d´ecrire explicitement “la” repr´esentation de monodromie, il suffit de d´ecrire l’effet sur l’une des trois basesB0,B1,B∞de deux des trois lacetsγ0,γ1,γ∞. Comme on connait l’effet de chaqueγasur la base Ba(monodromie locale), il suffit de connaitre une formule de connexion, c’est-`a-dire une matrice de pas-sage entre deux de ces bases.

On va suivre ici deux m´ethodes (parmi de nombreuses possibles, voir [26], chap. 2, §2.4). La premi`ere repose sur la formule int´egrale de Barnes et ne sera donc pas enti`erement justifi´ee. Elle est totalement explicite ; elle fournit tous les coefficients d’une matrice de passage entre deux bases connues. Elle est transcendante, comme toutes les m´ethodes qui fournissent des r´esultats explicites. Elle est providentielle puisqu’elle utilise des informations auxquelles on ne peut esp´erer avoir acc`es en g´en´eral.

La deuxi`eme m´ethode est due `a Riemann, [43]. Elle est alg´ebrique et syst´ematique, en ce qu’elle n’uti-lise que l’information contenue dans le sch´ema de Riemann. Elle n’est pas explicite en ce que la base dans laquelle est exprim´ee la monodromie n’est connue qu’`a un facteur constant pr`es sur chaque fonction. Elle d´etermine donc le groupe de monodromie (`a conjugaison pr`es) mais ne d´ecrit pas son action : on ne peut mˆeme pas en d´eduire la monodromie de la s´erie hyperg´eom´etrique ; ce genre d’information n’est accessible que par voie transcendante. En substance, elle dit `a quoi ressemblent toutes les repr´esentations de rang 2 du groupe libre `a deux g´en´erateurs. Ce point de vue est d´etaill´e, par exemple, dans [26], chap. 2, §2.4.2, ainsi que dans [2] et [54]mais nous nous en tiendrons `a la d´emarche artisanale de Riemann.

Monodromie via la formule de Barnes

On proc`ede encore par d´eformation de contour. On introduit le contour C<sub>N</sub><sup>−</sup>suivant, d´efini pour N>0 entier suffisamment grand. Il longe l’axe ıR de−ı∞`a−ıN ; il est horizontal de−ıN `a−ıN−N, vertical de

−ıN−N `a+ıN−N sauf au passage des s´eries de pˆoles−α−N (resp.−β−N), o`u il effectue des petits d´ecrochements pour passer entre−α−N et−α−N−1 (resp. entre−β−N et−β−N−1), horizontal de+ıN−N `a+ıN ; enfin, il longe l’axe ıR de+ıN `a+ı∞. On v´erifie `a l’aide de l’estimation de Stirling que l’int´egrale le long de C<sub>N</sub><sup>−</sup>tend vers 0 lorsque N→∞. L’int´egrale le long de C est donc (au signe pr`es) la somme des r´esidus de la fonction _Γ(α)Γ(β)^Γ(γ) Γ(α+s)Γ(β+s)Γ(−s)

Γ(γ+s) (−z)^s en les pˆoles compris entre les deux contours. Ces pˆoles sont les−α−n et les−β−n, pour les entiers naturels n≤N et les r´esidus en ces points sont donn´es par l’exercice suivant.

Exercice 4.1.12 Montrer que le r´esidu de la fonction_Γ(α)Γ(β)^Γ(γ) Γ(α+s)Γ(β+s)Γ(−s) cette derni`ere ´egalit´e venant de la formuleΓ(x−n) = (−1)ⁿ_(−x+1)^Γ(x)

n. Proposition 4.1.13 On a la formule de connexion :

F(α,β,γ; z) = Γ(γ)Γ(β−α)

Preuve. -Utiliser l’exercice (et la formule correspondante pourβ) et sommer pour tous les pˆoles.

Corollaire 4.1.14 On consid`ere les basesB0etB∞restreintes au demi-plan de Poincar´eH. On a la formule de connexionB0=B∞P, avec :

Preuve. -Outre les sym´etries d´ej`a ´evoqu´ees dans l’´ecriture des solutions, on a utilis´e les ´egalit´es(−z)^α=

e^−ıπαz^αet(−z)^β=e^−ıπβz^βvalables dansH^.

Corollaire 4.1.15 La monodromie est d´ecrite par l’effet des lacetsγ0etγ∞sur la baseB0: M(γ0)B0=B0

La m´ethode de Riemann : la monodromie sans calcul Elle s’applique `a une ´equation de Riemann g´en´erique : P

 facteur non nul pr`es. On jouera sur cette ind´etermination. On les suppose d´efinies sur un ouvert simplement connexe de S, obtenu apr`es avoir pratiqu´e une coupure, par exemple le long de abc et l’on ´ecrit les formules de connexion :

P^α = a_βP^β+a_β⁰P^β0

= a_γP^γ+a_γ⁰P^γ0, P^α0 = a⁰_βP^β+a⁰_β0P^β0

= a⁰_γP^γ+a⁰_γ0P^γ0,

les coefficients a_β, . . . ,a⁰_β0 ´etant constants. En termes de bases :

Exercice 4.1.16 D´ecrire le groupe de monodromie exprim´e dans la baseBa`a l’aide des matrices de connexion B et C et des matrices de monodromie locale : A<sub>a</sub>= Si l’on applique (l’automorphisme de monodromie associ´e au lacet)λc=λ<sup>−1</sup><sub>a</sub> λ<sup>−1</sup><sub>b</sub> `a la premi`ere relation de connexion, on voit que : On introduit un complexe non pr´ecis´eσ, que l’on fixera plus tard. En calculant :

e^σıπ×(la premi`ere relation)−e<sup>−σıπ</sup>×(la deuxi`eme relation) et en remarquant que e^σıπ−e^{(2τ−σ)ıπ}=2ı sin(σ−τ)π×e^τıπ, on obtient :

a_βsin(σ+α+β)πe^{−(α+β)ıπ}P^β+a_β⁰sin(σ+α+β⁰)πe^{−(α+β0)ıπ}P^β0=a_γsin(σ−γ)πe^γıπP^γ+a_γ⁰sin(σ−γ⁰)πe^γ0ıπP^γ0. Les mˆemes calculs men´es `a partir des formules de connexion pour P^α0 donnent :

a⁰_βsin(σ+α⁰+β)πe^{−(α0+β)ıπ}P^β+a⁰_β0sin(σ+α⁰+β⁰)πe^{−(α0+β0)ıπ}P^β0=a⁰_γsin(σ−γ)πe^γıπP^γ+a⁰_γ0sin(σ−γ⁰)πe^γ0ıπP^γ0. Hypoth`ese : nous supposerons dor´enavant que l’on est dans le cas irr´eductible, autrement dit, qu’aucun

des coefficients de connexion a_β, . . . ,a⁰_γ0 n’est nul. La signification de cette hypoth`ese peut ˆetre approch´ee comme suit. Dans le cas contraire, on aurait une mˆeme fonction P vecteur propre de la monodromie pour deux des trois lacets, donc aussi pour le troisi`eme. Elle serait donc de la forme(z−a)^α(z−b)^βQ avec Q uniforme, d’o`u, `a une conjugaison pr`es (par la fonction(z−a)^α(z−b)^β), la possibilit´e de factoriser notre

´equation de d´epart (plus pr´ecis´ement, l’op´erateur diff´erentiel correspondant) sur le corps des fonctions m´eromorphes C(z). En premi`ere approche, on peut consid´erer ce cas comme d´eg´en´er´e : la repr´esentation de monodromie est r´eductible, voir [2], [26], [54].

Remarque 4.1.17 Pour des compl´ements sur la signification de cette hypoth`ese, voir l’examen de fin d’ann´ee.

Revenant `a notre calcul, on fait respectivementσ=γetσ=γ<sup>0</sup>dans les deux derni`eres relations obtenues.

On a deux ´egalit´es reliant deux bases, et, avec l’hypoth`ese d’irr´eductibilit´e : a_γ

Exercice 4.1.18 V´erifier que ces ´egalit´es fournissent deux expressions distinctes pour le rapport^a_a^β0 β/^a_a^β0⁰

β0 et que ces expressions ont mˆeme valeur grˆace `a la relation de Fuchs.

Nous utilisons maintenant notre libert´e de choix des fonctions P^α, . . . ,P^γ0 `a un facteur d’´echelle pr`es.

Cela permet de prescrire arbitrairement, par exemple, a_β, a_β⁰, a_γ, a_γ⁰et l’une des autres constantes. Voici les choix de Riemann :

Th´eor`eme 4.1.19 La repr´esentation de monodromie dans la baseBaest donn´ee par : λa 7→

Exercice 4.1.20 V´erifier que ces images sont compatibles avec la relationλcλbλa=1 entre les clasees d’homotopie de ces lacets.

Exercice 4.1.21 D´ecrire la repr´esentation de monodromie dans les basesBbetBc.

Exercice 4.1.22 Comparer ces r´esultats avec ceux obtenus pour l’´equation hyperg´eom´etrique.

Exercice 4.1.23 Reprendre l’´etude dans le cas r´eductible, en supposant, par exemple, que P^α=P^β=P^γ. Indication : on pourra distinguer le cas compl`etement r´eductible, o`u l’on peut prendre P^α0=P^β0 =P^γ0, du cas r´eductible g´en´erique, o`u la monodromie n’admet qu’une droite stable.