Equations fuchsiennes

X(z),

les matrices r´esiduelles A_i ´etant constantes. La matrice r´esiduelle `a l’infini est : A_m+1=−

∑

A_i.

En 1908, Plemelj a r´esolu positivement le probl`eme dans ce cas. Il construit d’abord une solution fuch-sienne partout sauf en∞, o`u elle est singuli`ere r´eguli`ere (voir supra). Puis il montre comment rendre le syst`eme fuchsien partout ; mais cette partie de la preuve est incorrecte, ce qui n’a ´et´e remarqu´e que plu-sieurs d´ecennies plus tard. Voici les cas o`u une solution positive a ´et´e (correctement) trouv´ee.

1. L’une des matrices de monodromie M_iest semi-simple : dans ce cas, les preuves de Plemelj et de Birkhoff marchent.

2. Si toutes les matrices M_isont “suffisamment proches de I_n”, Lappo-Daniliewski a construit une solu-tion explicite en 1928.

3. Si n=2 et m quelconque, Dekkers a obtenu la solution en 1979.

4. Si la repr´esentation est irr´eductible, Kostov (1991) et Bolibruch (1992) ont obtenu une solution posi-tive.

Bolibruch a obtenu, entre 1989 et 1992, des contre-exemples avec 3 singularit´es en dimension 4, et aussi avec 4 singularit´es en dimension 3, et analys´e pr´ecis´ement les conditions de r´esolubilit´e du probl`eme ; voir [26] et surtout [2] (ainsi que [5] pour un survey).

4.2.3 Equations fuchsiennes

Il est connu depuis avant Hilbert, que, pour (m,n)6= (2,2), la solution n’est pas possible avec des

´equations fuchsiennes : cela r´esulte d’un “comptage des constantes”, autrement dit, d’un argument de di-mensions. Sans vouloir en donner une d´emonstration compl`ete, on va tout de mˆeme essayer de pr´eciser les raisons math´ematiques de cette impossibilit´e. Comme aucun argument de dimension ne peut empˆecher une application quelconque d’ˆetre surjective, il faut bien ´etablir que l’application “repr´esentation de mo-nodromie associ´ee” ou l’application “classe de conjugaison de la repr´esentation de momo-nodromie associ´ee”

poss`ede quelque propri´et´e sp´eciale. La continuit´e ne suffirait pas, comme le montrent les exemples de courbes qui remplissant un carr´e (Hilbert, Peano, Von Koch ...) et la lin´earit´e serait sans doute trop deman-der. On va montrer qu’elle est analytique. On introduit d’abord l’ensembleEndes ´equations fuchsiennes `a pˆoles dansΣ.

Exercice 4.2.8 Montrer qu’une telle ´equation est de la forme f⁽ⁿ⁾+a1f⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a_nf , o`u chaque aiest de la forme Pi/[(z−z1)· · ·(z−zm)]ⁱ, Pi ´etant un polynˆome de degr´e≤(m−1)i. En d´eduire queEnest un espace affine de dimension mn(n+1)/2−n(n−1)/2.

Il d´ecoule alors de l’exercice 4.2.2 que l’application “repr´esentation de monodromie associ´ee” est analy-tique deEndansRn. Comme la dimension deRnest bien sup´erieure `a celle deEn, l’application n’a aucune chance d’ˆetre surjective. Cependant, ce qui nous int´eresse est la possibilit´e de r´ealiser une repr´esentation

`a conjugaison pr`es. Il faudrait donc munirCnd’une structure de vari´et´e analytique telle que la surjection canonique deRnsurCnsoit analytique et permette de calculer la dimension de ce quotient. En fait, l’action de conjugaison de GL_n(C)surRnn’est pas assez “bonne” pour cela, en tout cas, pas partout. On va donc se restreindre `a une classe de repr´esentations qui se comporte bien.

NotonsRn⁰le sous-espace deRnform´e des repr´esentations irr´eductibles (aucun sous-espace autre que 0 et l’espace total n’est stable). On peut montrer que c’est un ouvert dense deRn, donc une vari´et´e analytique ; voir par exemple [20], §9.

Exercice 4.2.9 Le d´emontrer lorsque n=2.

On peut montrer ´egalement que l’imageCn⁰ deRn⁰ dansCnpeut ˆetre munie d’une unique structure de vari´et´e analytique de dimension n²m−(n²−1)telle que la projectionRn⁰→Cn⁰ est une fibration (loc. cit., th. 27).

Exercice 4.2.10 Montrer que le noyau de l’action par conjugaison de GL_n(C)surRnest C^∗: c’est donc PGL_n(C)qui op`ere. Montrer que l’action de ce dernier surRn⁰est sans point fixe et en d´eduire la dimension des fibres de la fibrationR_n^0→C_n^0.

Indication : cela d´ecoule du lemme de Schur sur les morphismes de repr´esentations irr´eductibles.

SoitEn⁰l’image r´eciproque deRn⁰par l’application deEndansRn. On peut montrer qu’elle est constitu´ee des ´equations fuchsiennes dont l’op´erateur associ´e est factorisable, et que c’est un ouvert dense deEn. Exercice 4.2.11 Le d´emontrer lorsque n=2.

L’application deEn⁰ dansCn⁰ne peut ˆetre surjective que si celle deEndansCnl’est. Cela n’est possible que si n²m−(n²−1)≤mn(n+1)/2−n(n−1)/2, ce qui entraine m≤(n+2)/n, donc m=n=2.

Exercice 4.2.12 D´eduire de l’´etude faite en 4.1 que, pour m=n=2, on a bien la surjectivit´e.

Indication : la section 4.1 est loin d’ˆetre suffisante `a elle seule, car elle ne permet de traiter que le cas g´en´erique d’une repr´esentation irr´eductible avec des g´en´erateurs semi-simples.

Remarque 4.2.13 Un contournement classique de l’obstruction ci-dessus (dimension de l’espace de d´epart insuffisante) est l’introduction de singularit´es apparentes : on autorise des ´equations fuchsiennes ayant des pˆoles suppl´ementaires, mais en lesquels la monodromie des solutions est triviale. Bolibruch a d´emontr´e que, si l’on ajoute exactement le nombre de singularit´es apparentes n´ecessaire pour que la dimension de l’espace de d´epart soit suffisante, alors la r´eponse est positive ; voir [2].

Deuxi`eme partie

Equations aux q-diff´erences

Chapitre 5

Introduction et boite `a outils

Dans toute cette partie du cours, q d´esigne un complexe non nul de module diff´erent de 1 : cette condition est essentielle si l’on veut faire de l’analyse. Cependant, deux conventions sont r´epandues : 0<|q|<1 et

|q|>1. Elles jouent un rˆole parfaitement sym´etrique, mais donnent lieu `a des formules diff´erentes.

Exercice 5.0.14 Trouver dans [13] des incoh´erences dues au m´elange de ces deux conventions.

Dans la section 5.1, nous supposerons que 0<|q|<1, pour pouvoir ´etudier les s´eries hyperg´eom´etriques basiques avec les formules r´epandues dans la litt´erature [16], etc ... Puis, pour la th´eorie g´en´erale, on prendra

|q|>1, comme dans [47] qui est le support des chapitres qui vont suivre.

5.1 Equation hyperg´eom´etrique basique

Dans cette seule section, on a 0<|q|<1 ; on peut donc ´ecrire q=e^2ıπτavecτ∈H. Chaque fois que l’on lira x=q^ξ, resp. q→1, il faudra donc comprendre x=e^2ıπτξ, resp.τ→0, τ∈H^.