Equations et syst`emes

, et l’on constate que l’´equation ´equivaut `aσqX=AX , o`u l’on fait agirσqsur chaque composante du vecteur X et o`u A=

0 1

−µ λ

∈GL₂(C(z)). Le fait que la matrice A du syst`eme est inversible n’est pas fortuit. Il vient de ce que l’on a n´ecessairement µ6=0. En effet, une ´equation du second ordre avec “terme constant” nulσ<sup>2</sup><sub>q</sub>φ−λσqφ=0 se ram`ene imm´ediatement `a une ´equation du premier ordre σqφ−σ⁻¹_q (λ)φ=0, cela, parce queσqest un automorphisme du corps C(z).

D’apr`es l’exercice ci-dessus, si c6∈q^Z, on a trouv´e une solution matricielle fondamentaleX^∈GL2(M^(C∗)).

Toute solution vectorielle X∈M^(C∗)2s’´ecrit alors X=X^{V avec V ∈}M^(C∗)2constant, c’est-`a-dire tel queσqV=V . Le corps des constantes de la th´eorie est donc le corps :

M^{(C∗)σq ={f ∈}M^(C∗)/σqf= f}.

Ce corps n’est pas r´eduit `a C, on l’explicitera au chapitre 6. Les solutions vectorielles du syst`emeσqX=AX forment donc un espace vectoriel de dimension 2 sur ce corps, les colonnes de la solution fondamentaleX en constituant une base.

5.2 Equations et syst`emes

Tout ce qui suit garde un sens sur un corps aux diff´erences quelconque, c’est-`a-dire un couple(K,σ), o`uσest un automorphisme du corps commutatif K : voir par exemple [37] pour de telles g´en´eralit´es. Nous prendrons pour K l’un des corps de fonctions C(z), C({z}), C((z)), et aussiM^(C)qui joue un plus grand rˆole dans le cas des ´equations aux q-diff´erences que dans le cas des ´equations diff´erentielles : il suffit de penser `a ce que l’on a prouv´e sur le domaine de d´efinition de la fonction hyperg´eom´etrique basique. Nous prendrons pourσl’automorphismeσqde K d´efini parσqf(z) = f(qz). Nous parlerons alors plutˆot de corps aux q-diff´erences.

Le corps K ci-dessus est le corps des coefficients des ´equations, syst`emes ... que nous ´etudierons, mais les solutions seront `a chercher dans un ensemble plus grand. On se donne donc une alg`ebre aux diff´erences sur(K,σ): c’est une K-alg`ebreAmunie d’un automorphisme qui ´etendσ=σq, et que nous noterons de la mˆeme mani`ere. Pour nous, l’alg`ebreAsera presque toujoursM^(C∗)(donc un corps) et son automorphisme seraσqencore d´efini parσqf(z) = f(qz). On parlera donc d’alg`ebre aux q-diff´erences.

5.2.1 Op´erateurs, ´equations

Un op´erateur aux q-diff´erences sur K est un op´erateur de la forme∑a_kσ^k_q, avec des coefficients a_k∈K (nuls sauf un nombre fini) et les exposants k∈Z. Il agit surA ^{par f 7→}∑a_kσ^k_q(f). Ces op´erateurs forment

une sous-alg`ebre de l’alg`ebre des endomorphismes du C-espace vectorielA. On prendra garde que, comme les op´erateurs diff´erentiels (dont ils sont les cousins), ils sont bien C-lin´eaires mais pas K-lin´eaires.

La structure de cette sous-alg`ebre est r´esum´ee par le fait qu’elle est l’image d’une alg`ebre de polynˆomes de Laurent non commutatifs :

Dq,K=K<σ,σ⁻¹>,

dans laquelle la multiplication est totalement sp´ecifi´ee par le fait que c’est une alg`ebre qui, comme K-espace vectoriel admet pour base la famille desσ<sup>k</sup>,k∈Z et par la r`egle de (non-) commutation suivante :

∀a∈K,∀k∈Z,σ^ka=σ^k_q(a)σ^k.

Cette r`egle se comprend bien si l’on observe queσ^ka repr´esente le compos´e des op´erateurs (d´efinis surA^{) :} f 7→a f etσ^k_q, donc l’op´erateur f7→σ^k_q(a f) =σ^k_q(a)σ^k_q(f).

Exercice 5.2.1 V´erifier que l’on obtient ainsi une K-alg`ebre.

Exercice 5.2.2 Soit∂ une d´erivation de K, par exemple D=d/dz ouδ=z d/dz. D´efinir les op´erateurs diff´erentiels∑a_k∂^k(ici, tous les k≥0) sur une alg`ebre diff´erentielleA, puis l’alg`ebre de polynˆomes non commutatifs correspondante K<∂>.

Indication : ici, on doit d´eduire la r`egle de commutation de la formule de Leibnitz :∂(ab) =a∂(b) +∂(a)b, donc poser∂.a=∂(a) +a∂. Il faut ensuite d´efinir∂^k.a pour k∈N quelconque.

Du fait queσqest inversible et que K est un corps, on peut ´ecrire toute ´equation aux q-diff´erences sous la forme :

(E_a) σⁿ_qf+a1σⁿ⁻¹_q f+· · ·+anf =0,an6=0, donc sous la forme P.f =0, o`u P est un op´erateur entier, unitaire :

P=σⁿ+a₁σⁿ⁻¹+· · ·+a_n.

On peut mˆeme supposer P propre, c’est-`a-dire a_n6=0. En fait, tout ´el´ement deDq,Kest de la forme u.P avec u inversible et P entier, unitaire, propre.

D´efinition 5.2.3 L’´equation(E_a)est dite fuchsienne en 0 si tous les a_isont holomorphes en 0 et si de plus a_n(0)6=0.

Exercice 5.2.4 On suppose l’´equation(E_a)fuchsienne en 0. Dire `a quelle condition cette ´equation admet une solution s´erie f telle que f(0) =1. Dire `a quelle condition elle admet une solution de la forme e_df , o`u f est une s´erie telle que f(0) =1 et, o`u la fonction e_dv´erifie la relationσqe_d=de_dpour un certain d∈C^∗. Indication : on doit trouver une “´equation caract´eristique” dont d est solution, comme dans le cas des hyperg´eom´etriques basiques ou dans le cas des ´equations diff´erentielles.

Enfin, on vectorialisera l’´equation(E_a)en posant X=



5.2.2 Syst`emes

D´efinition 5.2.5 Un syst`eme aux q-diff´erences de rang n sur K est un syst`eme : (S_A) σqX=AX,A∈GL_n(K).

Exercice 5.2.6 Montrer que si A∈M_n(K)est singuli`ere (d´eterminant nul), le syst`emeσqX =AX peut se ramener `a un syst`eme de rang inf´erieur.

Indication : si le rang de A est p<n, on peut (`a conjugaison pr`es) supposer que toutes ses lignes sont combinaison lin´eaires des p premi`eres ; on peut alors ´ecrire A= (σqP)A⁰avec P=

I_p C

. On a B=A⁰P∈ GL_p(K)et les solutions X de(S_A)sont les X=PY , o`u Y est solution de(S_B).

D´efinition 5.2.7 Une solution fondamentale de(S_A)dansAest une matriceX ^∈GLn(A^{)telle que}σqX ⁼ AX^.

Proposition 5.2.8 S’il existe une solution fondamentale de(S_A)dansA, les solutions (vectorielles) de(S_A) dansA forment un module libre de rangnsur l’alg`ebreA^σq des ´el´ementsσqinvariants deA; une base de ce module est constitu´ee par les colonnes deX^.

Preuve. - On peut toujours ´ecrire X =X^{C avec C∈}A^{n (puisque} X est inversible), et l’on a alors les

´equivalences suivantes :

σqX=AX ⇔ σq(X^{C) =A(}X^C)

⇔ (σqX⁾⁽σqC) =AX^C

⇔ σqC=C puisqueσqX ^=AX ^∈GLn(A⁾

⇔ C∈(A^σq)n.

Exercice 5.2.9 Le rang de l’espace des solutions est toujours (ind´ependamment de l’existence d’une solu-tion fondamentale) major´e par n.

D´efinition 5.2.10 L’alg`ebre des constantes est l’alg`ebre des ´el´ementsσq-invariants deA^: A^{σq ={f ∈}A^/σqf=f}.

En particulier, siA est un corps,A^σqest aussi un corps et, dans la proposition, les solutions forment un espace vectoriel de dimension n sur le corps des constantes. Si, par exemple,A ⁼M^(C∗)(qui sera notre favori), le corps des constantes est un corps de fonctions elliptiques, comme on le verra au 6.1.3

Exemple 5.2.11 L’´equation la plus simple est l’´equation de rang 1 : σqf =f,

(`a comparer avec son analogue diff´erentiel D f =0), dont les solutions forment leA^σq-moduleA^σq. Exemple 5.2.12 L’´equation la plus simple suivante est l’´equation de rang 1 :

σqf =c f,c∈C^∗,

(`a comparer avec son analogue diff´erentielδf =c f,c6=0). Si e_c est une solution inversible dansA^{, ses} solutions forment leA^σq-moduleA^σqec.

HYPOTH `ESE : nous supposerons queA contient, pour chaque c∈C^∗, un ´el´ement inversible ectel que σqe_c=ce_c.

Exercice 5.2.13 Montrer que,∀c,d∈C^∗,φc,d=^e_e^ced

cd ∈A^σq.

Exemple 5.2.14 Premier syst`eme ne se ramenant pas `a des ´equations de rang 1 : σqX=

; pour la compl´eter en une solution fondamentale, il faut prendre g inversible ; si l’on d´eshomog´en´eise en posant f =lg, il faut σql=l+1 ; dans ce cas, g=1 et

Exercice 5.2.15 Montrer, avec ces seules hypoth`eses, que l’on peut r´esoudre tous les syst`emes `a coeffi-cients constants (leur trouver une solution fondamentale).

Indication : reprendre la m´ethode via la d´ecomposition de Dunford utilis´ee pour les syst`emes fuchsiens standards ; ou bien voir le chapitre 6.

D´efinition 5.2.16 Soit A∈GL_n(K)(matrice d’un syst`eme aux q-diff´erences). Pour tout F∈GL_n(K), ma-trice d’une transformation de jauge, nous notons :

F[A] = (σqF)AF⁻¹,

et nous disons que B=F[A] est ´equivalent `a A : rationnellement si K =C(z), m´eromorphiquement si K=M^(C)ou C({z}), etc ...

On fait ainsi op´erer le groupe GL_n(K) `a gauche sur l’ensemble des syst`emes aux q-diff´erences. Si B=F[A]et si(S_A)admet la solution fondamentaleX^{, alors F}X est une solution fondamentale de(S_B); plus g´en´eralement, X est une solution (vectorielle) de(S_A)si et seulement si FX est une solution de(S_B).

R´eciproquement, siX ^etY sont respectivement solutions fondamentales des syst`emes de rang n(S<sub>A</sub>)et (S<sub>B</sub>)dansA<sup>, alors F=</sup>Y X<sup>−1∈GL</sup>n(A<sup>)</sup>v´erifie F[A] =B ; mais, bien sˆur, cela ne dit pas que F∈GL<sub>n</sub>(K)! Notre but principal est la classification rationnelle des syst`emes aux q-diff´erences lin´eaires rationnels.

Pratiquement, nous nous cantonnerons aux syst`emes fuchsiens.

5.2.3 Le lemme du vecteur cyclique

Une preuve alg´ebrique g´en´erale en sera donn´ee en expos´e (voir 8.5). La jolie d´emonstration qui suit est adapt´ee de Birkhoff (et reproduite telle quelle de [47]). Elle est r´edig´ee pour le cas o`u K=C(z)mais reste valable si K=M^{(C)ou C({z}).}

D´efinition 5.2.17 Le lieu singulier d’une matrice A∈GL_n(K)est : S^{(A) =} Pˆoles de A∪ Pˆoles de A⁻¹

= Pˆoles de A∪ Z´eros de det A.

Dire que(σqF)AF⁻¹est de la forme A_a, c’est dire que les lignes f⁽¹⁾, . . . ,f⁽ⁿ⁾de F sont lin´eairement ind´ependantes et queσqf⁽ⁱ⁾A= f⁽ⁱ⁺¹⁾pour 1≤i≤n−1. Nous cherchons donc f = (f₁, . . . ,f_n)∈C(z)ⁿ tel que, en posant

(f⁽¹⁾=f

f⁽ⁱ⁺¹⁾=σqf⁽ⁱ⁾A pour 1≤i≤n−1 on obtienne une base(f⁽¹⁾, . . . ,f⁽ⁿ⁾)de C(z)ⁿ.

On choisit pour cela z₀∈C^∗−q−{0,...,n−1}S(A), autrement dit, tel que A(z₀), . . . ,A(qⁿ⁻¹z₀)∈GL_n(C) et l’on impose les conditions :











(f₁(z₀), . . . ,f_n(z₀)) =e₁

(f1(qz₀), . . . ,fn(qz₀)) =e2A(z₀)⁻¹ . . .

(f1(qⁿ⁻¹z0), . . . ,fn(qⁿ⁻¹z0)) =enA(z₀)⁻¹A(qz₀)⁻¹· · ·A(qⁿ⁻¹z0)⁻¹

o`u(e₁, . . . ,e_n)d´esigne la base canonique de C(z)ⁿ. Ces conditions sont ´evidemment r´ealisables avec f₁, . . . ,f_n∈ C(z). Elles signifient que la matrice F∈M_n(C(z))de lignes f⁽¹⁾, . . . ,f⁽ⁿ⁾ v´erifie F(z₀) =I_n, donc que F∈GLn(C(z)). On en d´eduit :

Th´eor`eme 5.2.18 Tout syst`eme auxq-diff´erences (lin´eaire, `a coefficients rationnels) de rangnest ration-nellement ´equivalent au syst`eme associ´e `a une ´equation auxq-diff´erences (lin´eaire, `a coefficients rationnels)

d’ordren.