Formulation incrémentale du comportement viscoélastique

La formule incrémentale a été proposée initialement par Bazant et al. [BAZ 74] en se basant sur l’équation différentielle du modèle de Maxwell généralisé. En s’inspirant de ce travail, les auteurs [JUR 99] [SAI 14] ont adapté cette formulation pour le cas d’un matériau vieillissant à partir de l’équation de Boltzmann où la fonction de relaxation est remplacée par une série de Dirichlet. Dans cette section, nous examinons également cette approche, avec pour objectif l’écriture de la loi de comportement viscoélastique sous une forme incrémentale à pas de temps fini, d’abord dans le cas 1D, puis dans les cas 3D isotrope et enfin 3D orthotrope.

2.2.1 Formulation incrémentale pour le cas 1D

Compte tenu des développements précédents, la fonction de relaxation uni-axiale sous humidité constante peut s’écrire :

(2.6)

est le module d’Young du matériau. est une fonction adimensionnelle

qui s’exprime sous la forme d’une série de Dirichlet :

(2.7)

où est le nombre des termes de la série de Dirichlet, qui correspond également au nombre de branches de type Maxwell dans le modèle de Maxwell généralisé (c’est-à-dire sans tenir compte du ressort isolé) (voir Figure 2.2).

Figure 2.2 Modèle de Maxwell généralisé

On note que lorsque . On introduit cette fonction de relaxation dans l’équation de Boltzmann (2.2) qui peut alors s’écrire :

r 

1 0

31

(2.8)

en notant

(2.9)

Dans cette écriture, chaque terme apparaît comme une contrainte interne associée à la

_{branche du modèle de Maxwell généralisé.}

La contrainte à l’instant s’écrit donc :

(2.10)

D’où la variation de la contrainte due au phénomène de relaxation pour un incrément fini de temps :

(2.11)

Ce qui peut s’écrire :

(2.12)

en posant

(2.13)

(2.14)

Pour le calcul de , on introduit l’approximation linéaire de l’évolution de la déformation , c’est-à-dire que l’on remplace la vitesse de déformation par sa valeur moyenne sur l’intervalle de temps fini : . D’où il vient :

(2.15)

Pour , on remarque

(2.16)

soit, compte tenu de l’équation (2.9) :

(2.17)

On obtient finalement la forme incrémentale 1D de la loi viscoélastique linéaire :

_(2.18)

(2.19) (2.20)

Dans ces équations, joue le rôle d’un module fictif et _{est un terme d’histoire qui}

résume l’histoire passée de la sollicitation. On remarque que les valeurs du module fictif et du terme d’histoire _{dépendent des paramètres et de la série de Dirichlet, ainsi}

que du pas de temps fini . La valeur de _{dépend en outre des valeurs prises au début}

du pas de temps par les variables internes attachées aux branches 1 à r du modèle de Maxwell généralisé. Ces deux grandeurs doivent donc être calculées au début de chaque pas de calcul viscoélastique. Les variables internes doivent être actualisées à la fin de chaque pas de calcul :

_(2.21)

où

_(2.22)

étant l’incrément de déformation calculé pour le pas de calcul écoulé.

2.2.2 Formulation incrémentale dans le cas 3D isotrope

Dans le cas tridimensionnel, l’équation de Boltzmann en relaxation (2.2) s’écrit sous la forme matricielle suivante où désigne une matrice carrée et désigne un vecteur (matrice colonne) :

(2.23)

Cette écriture doit respecter la propriété d’isotropie du matériau. C’est-à-dire qu’à diverses sollicitations pour divers cas d’orientation du repère correspondent autant de réponses dont les composantes dans chacun des repères restent identiques d’un cas à l’autre. En suivant, un raisonnement analogue à celui utilisé pour le comportement élastique isotrope, la matrice de relaxation ne dépend que de 2 fonctions élémentaires indépendantes [LEM 09]. Si on admet l’hypothèse d’un coefficient de Poisson constant, cette matrice ne dépend plus que d’une seule fonction. D’où, on peut écrire :

(2.24)

Dans cette expression, est la matrice de rigidité élastique isotrope du matériau qui dépend du module d’Young et du coefficient de Poisson supposé constant. n’est

autre que la fonction de relaxation adimensionnelle uni-axiale introduite dans le cas 1D qui s’exprime sous la forme de la série de Dirichlet (2.7). Donc, l’équation (2.23) devient :

33 (2.25)

On remarque que l’intégrale est analogue à celle qui apparaît dans l’équation (2.9) pour le cas 1D. En suivant le même raisonnement que précédemment, on obtient la loi de comportement viscoélastique linéaire isotrope 3D sous une forme incrémentale à pas de temps fini :

_(2.26)

où :

(2.27)

(2.28)

Comme dans le cas 1D, la matrice de rigidité fictive et le terme d’histoire _sont

calculés au début de chaque pas de calcul viscoélastique. Les contraintes internes qui constituent le terme d’histoire doivent être actualisées à la fin de chaque pas de calcul :

_(2.29)

où _(2.30)

étant le vecteur incrément de déformation calculé pour le pas de temps écoulé. Il convient de souligner que cette formulation repose sur la même approximation qu’en 1D, à savoir que est linéarisé sur l’intervalle de temps : est remplacé par .

2.2.3 Extension de la formulation incrémentale au cas général 3D orthotrope

L’objectif dans ce travail est de construire une loi incrémentale pour le comportement hydromécanique du bois. Pour cela, il nous faut disposer d’une formulation incrémentale de la loi de comportement viscoélastique orthotrope. Dans cette section, nous nous proposons de construire cette loi en nous inspirant de la démarche adoptée pour le cas précédent. Dans le cas général orthotrope, la matrice de relaxation viscoélastique _{dépend cette fois} de 9 fonctions indépendantes. Ce nombre se réduit à six si l’on admet que les coefficients de Poisson restent constants. Sur la base des résultats expérimentaux de Cariou [CAR 87], on admet dans ce travail de faire dépendre ces 6 fonctions de 2 fonctions adimensionnelles indépendantes et , soit :

(2.31)

(2.32)

chacune des deux fonctions et pouvant s’écrire sous la forme d’une série de Dirichlet, d’où :

(2.33) avec : (2.34)

NB : ce point sera précisé au chapitre 3, section 3.4.2. L’équation (2.23) s’écrit donc dans le cas 3D orthotrope :

(2.35)

On retrouve à nouveau ici l’intégrale qui apparaît dans les équations (2.9) et (2.25) des deux cas précédents. En suivant la même démarche que pour ces cas, on établit finalement la loi de comportement viscoélastique orthotrope mise sous la forme incrémentale analogue à l’équation (2.26), soit : _(2.36) (2.37) (2.38) où (2.39)

Les contraintes internes doivent être actualisées à la fin de chaque incrément de calcul : _(2.40)

35 étant le vecteur incrément de déformation obtenu à l’issue du pas de calcul écoulé. On remarque que la forme de l’équation (2.36) est analogue au cas d’un comportement thermo-élastique, où joue le rôle d’une matrice de rigidité fictive et _apparaît

comme un chargement thermique équivalent. Cette formulation incrémentale permet de déterminer la réponse à l’instant à partir de l’état déterminé à l’instant , c’est-à-dire à la fin du pas de temps précédent. Il est important de noter qu’il n’est pas nécessaire de garder en mémoire toute l’histoire passée du chargement. Il doit également être souligné que cette formulation résulte d’intégrales exactes, la seule approximation concernant l’une des deux intégrales où l’évolution de la déformation est considérée comme linéaire sur l’intervalle de temps . Il en résulte que le pas de temps est fini, mais pas nécessairement petit. Cette formulation (équations 2.35 à 2.40) servira de base pour construire la loi de comportement hydromécanique avec effet hygroverrou qui sera développée dans la partie II de ce travail.