Modélisation hydromécanique du bois : application au sapin blanc du Massif Central

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sapin blanc du Massif Central

Sung Lam Nguyen

To cite this version:

Sung Lam Nguyen. Modélisation hydromécanique du bois : application au sapin blanc du Massif Cen-tral. Autre. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2016. Français. �NNT : 2016CLF22717�. �tel-01477173�

UNIVERSITE BLAISE PASCAL - CLERMONT II

ÉCOLE

DOCTORALE

SCIENCES

POUR

L'INGENIEUR

DE

CLERMONT-FERRAND

THESE DE DOCTORAT

Présentée par

SUNG LAM NGUYEN

pour obtenir le grade de

DOCTEUR D’UNIVERSITE

SPECIALITE : Mécanique du solide

Modélisation hydromécanique du bois : application au

sapin blanc du Massif Central

Soutenue publiquement le 12/07/2016 devant le jury :

Mme. Evelyne TOUSSAINT Prof, Univ. Blaise Pascal, Clermont-Ferrand Présidente M. Frédéric DUBOIS Prof, Univ. Limoges, Egletons Rapporteur M. Joseph GRIL Directeur de recherche, CNRS, Montpellier Rapporteur M. Bruno JURKIEWIEZ MCF-HDR, Univ. Lyon 1, Lyon Examinateur M. Jean-François DESTREBECQ Prof, Univ. Blaise Pascal, Clermont-Ferrand Directeur de thèse M. Joël GARMY Auvergne Promobois, Lempdes Membre invité

J’exprime ma gratitude à mon directeur de thèse, Monsieur Jean François Destrebecq, qui m’a guidé et transmis son savoir pendant ces années de thèse et qui a contribué pour une large part au bon déroulement de ce travail.

C’est avec un grand plaisir que je remercie Messieurs Frédéric Dubois et Joseph Gril pour avoir accepté de rapporter ce travail ainsi que pour leurs conseils précieux lors des comités de thèse.

Je remercie également Madame Evelyne Toussaint d’avoir accepté de présider le jury ainsi que Monsieur Bruno Jurkiewiez d’avoir accepté de faire partie du jury en tant qu’examinateur.

Je remercie particulièrement Monsieur Rostand Moutou Pitti, pour son aide, ses conseils et ses encouragements pendant toute la durée de la thèse.

Je remercie sincèrement le Conseil Général de la région Auvergne et le FEDER qui ont financé ma thèse. Je remercie également Monsieur Joêl Garmy, Délégué général d’Auvergne Promobois, ainsi que les partenaires industriels du projet qui ont fourni le matériau pour les essais et les informations utiles relatives au sapin blanc du Massif Central.

Enfin, c’est tous les collègues de l’Institut Pascal et de Sigma que je remercie chaleureusement pour leur contribution directe ou indirecte à ce travail.

Projet co-financé par l'Union européenne - fonds européen de développement régional FEDER. L'Europe s'engage en Auvergne

Le présent travail porte sur la modélisation 3D du comportement hydromécanique du bois en général et du sapin blanc en particulier, avec la prise en compte des couplages entre les effets orthotrope, hydrique, élastique, viscoélastique et mécanosorptifs, y compris l’effet hygroverrou qui est un phénomène de blocage temporaire de la déformation en phase de séchage sous contrainte. Ce mémoire est scindé en trois grandes parties découpées en sept chapitres.

La première partie examine le contexte et la problématique du comportement hydromécanique du bois. Les aspects traités vont de la structure, du phénomène hygroscopique et de l’effet de retrait/gonflement, aux divers aspects du comportement hydromécanique du bois sous humidité constante ou variable comme l’orthotropie, la viscoélasticité et les effets mécanosorptifs qui traduisent l’interaction complexe entre le chargement mécanique et les variations d’humidité. Les bases pour la modélisation sont présentées dans le deuxième chapitre, telles que la formulation incrémentale à pas de temps fini pour modéliser le comportement viscoélastique orthotrope 3D et les modèles mécanosorptifs intéressants de la littérature. A partir de cette étude bibliographique, on propose une voie pour modéliser dans ce travail l’effet mécanosorptif comme la somme de trois effets élémentaires : effet mécanosorptif irréversible, fluage mécanosorptif et effet hygroverrou. Les deux premiers effets sont modélisés par des modèles existants tandis que la modélisation de l’effet hygroverrou est l’objet d’une démarche originale dans ce travail.

La deuxième partie, décomposée en deux chapitres, est consacrée à la construction du modèle de comportement 3D. Le premier chapitre présente les développements mathématiques pour l’élaboration d’un modèle analytique. Ce modèle est basé sur l’hypothèse de partition de la déformation totale en une somme de six déformations élémentaires : hydrique, élastique instantanée, viscoélastique pure, hygroverrou, mécanosorptive irréversible et de fluage mécanosorptif. Les variations de ces déformations élémentaires sont établies de manière séparée. En particulier, la loi d’évolution de la déformation hygroverrou construite sur la base d’observations expérimentales, est différente en phase de séchage et d’humidification. Une contrainte auxiliaire, introduite en respectant les principes thermodynamiques, permet de résoudre le problème de la récupération de la déformation hygroverrou en phase d’humidification en cas de contrainte nulle ou insuffisante. En parallèle, un nouveau modèle

Kelvin-Voigt généralisé, est capable de décrire le fluage aussi bien que la relaxation. Le deuxième chapitre de cette partie est consacré à la transformation du modèle analytique en une forme incrémentale à pas de temps fini. La contribution de chaque partie élémentaire est établie par résolution exacte à partir d’équations différentielles ou d’intégrales de Boltzmann. La somme des formes élémentaires ainsi obtenues conduit à la loi de comportement du modèle complet qui est similaire à celle d’un comportement thermo-élastique équivalent. Du fait de la procédure d’intégration, le pas de temps de calcul est fini mais pas nécessairement petit. Cette propriété est très importante car elle permet de réduire considérablement le temps de calcul tout en préservant une très bonne précision.

La dernière partie est divisée en trois chapitres. Elle présente la mise en œuvre numérique du modèle hydromécanique à l’aide du code d’éléments finis Cast3m, suivie de la validation et d’applications à diverses classes de problèmes. L’algorithme numérique est organisé en modules indépendants. Des procédures élémentaires sont construites pour réaliser des fonctions spécifiques ; elles sont appelées selon un ordre précis par un programme principal. La validation du modèle est faite par comparaison entre des résultats simulés et des données expérimentales disponibles en traction et en flexion. Le dernier chapitre de la thèse présente des applications à des éléments en bois massif reconstitué en sapin blanc. Elles montrent la capacité du modèle à prédire les états de contrainte et de déformation dans des composants constructifs en bois sous chargement mécanique et humidité variables.

Mots clés : Bois, comportement mécanosorptif, hygroverrou, viscoélasticité, formulation

This work concerns 3D modeling of hydro-mechanical behavior of wood in general and the silver fir (Abies alba Mill.) in particular with taking account of the couplings between the effects: orthotropie, hydric, elastic, viscoelastic and mechano-sorptive including hydro-lock effect that is a temporary locking of the mechanical strain during a period of drying under stress. This memory is divided into three parts divided into seven chapters.

The first part examines the background and the problem of hydro-mechanical behavior of wood. The aspects go from the structure, hygroscopic phenomenon and the effect of swelling/shrinkage, to various aspects of the hydro-mechanical behavior of wood under constant or variable moisture as orthotropie, viscoelasticity and mechano-sorptive effects that is the interaction complex between mechanical loading and moisture variations. The bases for modeling are presented in the second chapter, such as incremental formulation on finite time step to model the 3D orthotropic viscoelastic behavior and interesting mechano-sorptive models of literature. From this literature review, we propose a way to model in this work sorptive effect as the sum of three elementary effects: irrecoverable mechano-sorptive, mechano-sorptive creep and hydro-lock effect. The first and the second effects are modeled by existing models while modeling hygroverrou effect is an original subject in this work.

The second part, divided into two chapters, is dedicated to building the 3D model of behavior. The first chapter presents the mathematical developments for the development of an analytical model. This model is based on the assumption partition of the total strain by a sum of six elementary strains: hydric, instant elastic, viscoelastic pure, hydro-lock, irrecoverable mechano-sorptive and mechano-sorptive creep. Variations of these elementary strains are established separately. In particular, the evolution law of the hydro-lock strain constructed on the basis of experimental observations is different in phase of drying and moistening. An auxiliary stress introduced in accordance with thermodynamic principles, solves the problem of recovering the hydro-lock strain in the moistening phase in case with zero or little stress. In parallel, a new rheological model is proposed to model the viscoelastic behavior at variable humidity. This model, equivalent to a generalized Maxwell model and / or a generalized Kelvin-Voigt model, is able to describe the creep as well as relaxation. The second chapter of this part is devoted to the transformation of the analytical model in an incremental form on finite time step. The contribution of each elementary part is established by exact resolution

thermo-elastic behavior. Because of the integration process, the time step calculation is finished but not necessarily small. This property is very important because it significantly reduces the computation time while maintaining very good accuracy.

The last part is divided into three chapters. It presents numerical implementation of hydro-mechanical model using the finite element code Cast3m, followed by validation and applications to various classes of problems. The numerical algorithm is organized into independent modules. Elementary procedures are built to perform specific functions; they are called in a specific order by the main program. Model validation is made by comparison between simulated results and experimental data available in tension and bending. The last chapter of the thesis presents applications of solid wood reconstituted silver fir. They show the ability of the model to predict the states of stress and strain in timber structures under mechanical loading and variable humidity.

Keywords: wood, mechano-sorptive behavior, hydro-lock, viscoelasticity, incremental

Introduction Générale

Partie I : Contexte et Problématique

Chapitre 1 : Structure et Comportement Hydromécanique du Bois ... 7

Introduction ... 7 1.1 Structure du bois ... 7 1.1.1 Macrostructure du bois ... 7 1.1.2 Microstructure du bois ... 9 1.1.3 Ultrastructure du bois ... 9 1.2 Hygroscopie du bois ... 10

1.2.1 Etats de l’eau dans le bois ... 10

1.2.2 Sorption du bois ... 11

1.2.3 Retrait et gonflement ... 12

1.3 Comportement mécanique à humidité constante ... 14

1.3.1 Comportement élastique orthotrope ... 14

1.3.2 Comportement viscoélastique ... 16

1.4 Comportement mécanique à humidité variable ... 18

1.4.1 Comportement viscoélastique à humidité variable ... 19

1.4.2 Comportement mécanosorptif ... 20

1.4.2.1 Comportement mécanosorptif dans la direction longitudinale ... 20

1.4.2.2 Comportement mécanosorptif dans les directions transversales ... 24

Conclusion ... 26

Chapitre 2 : Bases pour la Modélisation ... 27

Introduction ... 27

2.1 Formulation des problèmes viscoélastiques linéaires ... 27

2.1.1 Formulation intégrale ... 27

2.1.2 Modèle rhéologique - Formulation différentielle ... 28

2.2.3 Extension de la formulation incrémentale au cas général 3D orthotrope ... 33

2.3 Modèles de comportement mécanosorptif du bois ... 35

2.3.1 Première approche ... 35

2.3.2 Deuxième approche ... 36

Conclusion ... 39

Partie II : Construction d’un modèle de comportement

Chapitre 3: Elaboration d’un Modèle Analytique 3D ... 43

Introduction ... 43

3.1 Hypothèses pour la modélisation ... 43

3.2 Partie hydrique ... 45

3.3 Partie élastique ... 45

3.4 Partie viscoélastique ... 46

3.4.1 Comparaison des modèles rhéologiques ... 47

3.4.2 Modèle viscoélastique à humidité variable ... 52

3.5 Partie hygroverrou ... 54

3.5.1 Cadre thermodynamique ... 55

3.5.2 Déformation hygroverrou en phase de séchage ... 56

3.5.3 Déformation hygroverrou en phase d’humidification ... 57

3.6 Partie mécanosorptive irréversible et fluage mécanosorptif ... 58

3.6.1 Déformation mécanosorptive irréversible ... 59

3.6.2 Déformation de fluage mécanosorptif ... 59

Conclusion ... 61

Chapitre 4 : Formulation Incrémentale du Modèle à Pas de Temps Fini ... 63

Introduction ... 63

4.1 Construction de la forme incrémentale ... 63

4.1.1 Incrément de déformation hydrique ... 64

4.1.2 Incrément de déformation élasto-viscoélastique ... 64

4.1.3 Incrément de déformation hygroverrou ... 67

4.1.3.1 Expression de l’incrément en phase de séchage ... 68

4.1.3.2 Expression de l’incrément en phase d’humidification ... 68

4.3 Analyse du modèle au travers de scénarios types ... 72

4.3.1 Critères de choix du pas de temps de calcul ... 72

4.3.2 Scénario 1 ... 74 4.3.3 Scénario 2 ... 76 4.3.4 Scénario 3 ... 78 4.3.5 Scénario 4 ... 79 4.3.6 Scénario 5 ... 81 Conclusion ... 82

Partie III : Mise en œuvre numérique et applications

Chapitre 5 : Développement du Modèle Numérique ... 87

Introduction ... 87

5.1 Algorithme général du modèle numérique ... 87

5.2 Calcul de diffusion ... 89

5.3 Calcul hydromécanique ... 91

5.3.1 Liste des procédures spécifiques ... 92

5.3.2 Ordre d’exécution des procédures ... 93

5.3.3 Procédure ParaMET ... 94

5.3.4 Procédures MATexp, GAMAw et grGAMA ... 95

5.3.5 Procédure CALELAS ... 97 5.3.6 Procédure CALETAT ... 98 5.3.7 Procédure CALHIST ... 100 5.3.8 Procédure CALDEFhy ... 104 5.3.9 Procédure CALdWbar ... 104 5.3.10 Procédure ACTUAL ... 105 Conclusion ... 107

Chapitre 6 : Validation du Modèle Hydromécanique ... 109

Introduction ... 109

6.1 Simulation des essais mécanosorptifs de Saifouni ... 109

6.1.1 Descriptions des essais ... 109

6.1.1.1 Essais mécanosorptifs en relaxation ... 110

6.1.2.2 Module d’Young longitudinal ... 113

6.1.2.3 Paramètres de la fonction de relaxation ... 113

6.1.3 Simulation des deux essais mécanosorptifs en relaxation ... 115

6.1.4 Simulation de l’essai mécanosorptif en fluage ... 116

6.2 Simulation des essais mécanosorptifs de Manfoumbi Boussougou ... 119

6.2.1 Description de l’essai ... 119

6.2.2 Détermination des paramètres du modèle ... 121

6.2.2.1 Schéma de la poutre pour la simulation ... 122

6.2.2.2 Coefficients de diffusion ... 123

6.2.2.3 Modules d’élasticité et leurs évolutions ... 123

6.2.2.4 Coefficients de la série de Dirichlet ... 123

6.2.3 Résultats et discussions ... 124

Conclusion ... 126

Chapitre 7 : Applications du Modèle Hydromécanique ... 129

Introduction ... 129

7.1 Sections et caractéristiques utilisées pour les simulations ... 129

7.2 Simulations de BMR-DUO types ... 132

7.2.1 Déformation des lamelles isolées ... 132

7.2.2 Simulation de la déformation de sections BMR-DUO ... 134

7.3 Calcul de sections BMR-TRIO ... 143

7.3.1 Détermination des centres d’orthotropie ... 143

7.3.2 Cycle humidification-séchage ... 144

7.3.3 Cycle séchage-humidification ... 147

7.4 Calcul d’un BMR 4 plis et d’une section lamellé-collé 7 plis ... 151

7.4.1 Calcul de la section BMR à 4 plis ... 152

7.4.2 Calcul de la section lamellé-collé à 7 plis ... 157

Conclusion ... 162

Conclusion Générale et Perspectives

BIBLOGRAPHIE

Annexes

A1.1.2 Equivalence entre les modèles rhéologiques ... 177

A1.2 Justification de l’équivalence entre les modèles de Maxwell et de Kelvin-Voigt et l’équation de Boltzmann ... 179

A1.2.1 Branche de Maxwell ... 179

A1.2.2 Cellule de Kelvin-Voigt ... 180

A1.3 Modèle de Maxwell à humidité variable ... 181

Annexe 2 : Détermination des Paramètres de la Fonction de Relaxation par la Méthode des Moindres Carrés ... 183

1

Introduction Générale

Le Massif Central en général et la région Auvergne en particulier, sont peuplés d’un couvert végétal dense enrichi par des essences comme le Sapin Blanc qui compose près du tiers de cette population. Cette essence constitue une ressource importante aussi bien pour les entreprises de première et de seconde transformation que pour celles qui opèrent dans le domaine de la construction bois. Seulement, cette essence est parsemée des défauts comme des nœuds qui fragilisent les éléments de construction. De plus, cette complexité est renforcée lors des variations d’humidité sous contrainte qui engendrent des déformations pouvant s’avérer préjudiciables aux structures bois. Ce comportement complexe provoque des difficultés en phase de fabrication et en phase d’utilisation de ce matériau. Dans ce contexte, l’étude du comportement hydromécanique du sapin blanc, dans le cadre plus général de celui du matériau bois, constitue l’objet principal de la thèse.

Le comportement hydromécanique du bois est gouverné par des couplages entre divers effets : hydrique, viscoélastique, orthotrope et mécanosorptif. Le dernier effet traduit une interaction complexe entre le chargement mécanique et les variations d’humidité. Il a fait l’objet de nombreuses études par divers auteurs à la fois sur les aspects expérimentaux et de modélisation. Une des approches proposées consiste à modéliser ce phénomène par un effet « hygroverrou », i.e. le blocage temporaire de la déformation en phase de séchage sous contrainte. Cette déformation bloquée peut ensuite être récupérée en phase d’humidification. Ce terme a été proposé initialement par Gril à partir d’observations expérimentales [GRI 88]. Cet effet a ensuite été formulé par Dubois et al. [DUB 05] qui ont proposé de modéliser ce comportement par la loi de Hooke en phase d’humidification et par la loi de Hooke restreinte en phase de séchage en s’inspirant de travaux antérieurs de Bazant [BAZ 66]. Par la suite, les travaux ultérieurs de Husson et ceux de Saifouni ont permis de développer des modèles hygroverrou afin de les intégrer dans un modèle de Kelvin-Voigt généralisé [HUS 09] [HUS 10] [DUB 12] ou de Maxwell généralisé [SAI 14]. De son côté, Colmar a également proposé un modèle de « boites » dont il a pu être montré qu’il conduit à un résultat équivalent à celui de Husson [COL 11] [COL 14]. Sur le plan expérimental, les travaux de Saifouni ont permis de confirmer l’existence de la déformation hygroverrou à la base de l’effet hygroverrou [SAI 14]. Cependant, les modèles analytique et numérique qu’il en a tirés, comme ceux des auteurs précédents, se limitent au cadre unidimensionnel. De plus, ces modèles rencontrent des

difficultés pour récupérer la déformation hygroverrou en phase d’humidification sans la présence d’une contrainte. Enfin, du fait même de leurs formulations, ces divers modèles nécessitent de stocker en mémoire toute l’histoire de l’état de contrainte et des variations d’humidité pour le traitement numérique, ce qui limite fortement l’intérêt de la forme incrémentale de ces différents modèles.

Dans ce contexte, le présent travail qui se base sur l’ensemble des travaux cités plus haut et plus particulièrement sur les résultats expérimentaux de Saifouni vise à construire un modèle apte à simuler le comportement 3D du sapin blanc, ou du bois d’une manière plus générale, lorsqu’il est soumis à des variations simultanées de chargement et d’humidité. L’objectif fixé pour l’élaboration du modèle nécessite de surmonter trois difficultés principales non complètement ou pas résolues à ce jour :

- il doit prendre en compte les couplages entre effets hydrique, orthotrope, viscoélastique et hygroverrou.

- la question de la récupération de la déformation hygroverrou doit être résolue, y compris en configuration relâchée (état de contrainte nul).

- le modèle doit pouvoir être mis sous une forme incrémentale à pas de temps fini, afin de surmonter le problème de mémoire et de le rendre applicable à la simulation numérique de problèmes réels.

L’objectif final de ce travail est de proposer un modèle numérique qui permette de simuler des problèmes de type industriel.

Ce mémoire se structure en trois parties comme suit

- la première partie porte sur l’étude bibliographique préalable, scindée en deux chapitres. Dans le premier chapitre, on rappelle les notions essentielles relatives à la structure, au phénomène hygroscopique et au comportement hydromécanique du matériau bois. Les principaux aspects du comportement sont abordés comme l’élasticité orthotrope, la viscoélasticité linéaire et la mécanosorption. Le deuxième chapitre présente les outils disponibles pour la modélisation du problème viscoélastique linéaire (notamment sous sa forme incrémentale à pas de temps fini) et des effets mécanosorptifs.

- la deuxième partie expose les développements mathématiques réalisés dans le cadre de ce travail pour construire le modèle hydromécanique. Toutes les expressions analytiques de la déformation hygroverrou et de la déformation élasto-viscoélastique à humidité variable sont présentées dans le chapitre 3. Le chapitre 4 est consacré au conditionnement du modèle pour le mettre sous une forme incrémentale à pas de temps fini.

3 - la dernière partie est divisée en trois chapitres. Le chapitre 5 présente l’adaptation

numérique du modèle en utilisant le code de calcul par éléments finis Cast3m. Les algorithmes des toutes les procédures développées à cette fin sont détaillés dans ce chapitre. Le chapitre 6 est consacré à la validation de notre modèle sur la base de comparaisons entre des données expérimentales de Saifouni [SAI 14] et de Manfoumbi Boussougou [MAN 12] et des résultats simulés. Enfin, le chapitre 7 complète ce mémoire en présentant des applications du modèle développé dans ce travail à des composants en bois isolés ou reconstitués. Les exemples traités illustrent la capacité du modèle à simuler des problèmes de types industriels, ce qui était l’objectif final visé dans ce travail.

5

Partie I

Contexte et Problématique

Chapitre 1 : Structure et Comportement Hydromécanique du

Bois

7

Chapitre 1

Structure et Comportement Hydromécanique du

Bois

Introduction

De point de vue de l’ingénieur, l’utilisation d’un matériau nécessite la compréhension de son comportement mécanique. Le comportement du matériau est lié directement à sa structure et à sa composition. Une étude de la structure du bois est donc indispensable. En particulier, le comportement mécanique du bois dépend fortement des effets rhéologiques et du taux d’humidité. La propriété hygroscopique est une des causes de la complexité du comportement du bois, notamment du fait de l’existence des effets mécanosorptifs. Dans ce chapitre, nous rappelons d’abord les notions essentielles relatives à la structure du matériau bois à différentes échelles, de quelques millimètres au micromètre. Puis, nous présentons les différents états de l’eau dans le bois et le phénomène de retrait/gonflement qui en résulte. Ceci nous donne une base pour examiner ensuite le comportement hydromécanique à humidité constante et variable du matériau bois, ainsi que les observations expérimentales intéressantes sur les effets mécanosorptifs décrits dans la littérature.

1.1 Structure du bois

1.1.1 Macrostructure du bois

Au niveau macroscopique (quelques millimètres), on observe à l’œil nu, en allant de la périphérie vers le centre, que la section du tronc d’un arbre est constituée de l’écorce, du bois jeune (l’aubier), du bois parfait (le duramen) et de la moelle (Figure 1.1a). L’écorce est constituée de cellules mortes. L’aubier est la partie jeune du bois où les cellules assurent la conduction de la sève brute [GUI 87] [NAV 05]. Cette partie est souvent poreuse, moins rigide et possède une couleur plus claire. Entre l’aubier et l’écorce, il existe une couche mince, appelée le cambium où des nouvelles cellules sont produites ce qui conduit au grossissement du tronc. Le duramen est l’épine dorsale de l’arbre ; il contribue à sa rigidité tout en lui permettant de résister aux forces extérieures. Le plus souvent, le duramen se

distingue par une couleur plus marquée. En plus de cette structuration, on peut facilement distinguer dans la section transversale les cernes annuels de croissance, constitués du bois initial ou « bois de printemps » de couleur claire et du bois final ou « bois d’été » de couleur plus foncée. Le bois de printemps est plus poreux et plus souple, contrairement au bois final créé pendant l’été qui est plus dense et plus rigide. On peut noter que cette différence de couleur entre parties du bois n’est pas identique pour toutes les essences, notamment pour les bois tropicaux.

Figure 1.1 (a) Section transversale d’un tronc [NAV 05] ; (b) Plans et directions

d’orthotropie du bois

Toujours à l’échelle macroscopique, on peut distinguer dans la section transversale du tronc d’un arbre incliné des zones de couleur foncée qui sont connues comme étant du bois de réaction. Ce bois se développe lors du processus d’auto-redressement de l’arbre incliné ou soumis à une sollicitation latérale. La formation du bois de réaction crée un effet de précontrainte qui permet de réorienter l’axe de l’arbre [COU 11]. Ce bois de réaction est appelé « bois de compression » dans les résineux et « bois de tension » dans les feuillus. Chez les feuillus, le bois de tension se situe sur la face supérieure du tronc incliné. Au contraire chez les résineux, le bois de compression se situe sur la face inférieure.

De point de vue de son comportement mécanique, la macrostructure du bois en fait un matériau qui présente trois plans d’orthotropie, c’est-à-dire que son comportement mécanique est identique selon des directions symétriques par rapport à chacun de ces trois plans. Le bois est donc un matériau orthotrope : ces trois plans sont en tout point orientés selon les trois directions orthogonales privilégiées : longitudinale (parallèle aux fibres), tangentielle (tangente au cerne singulier) et radiale (portée par le rayon de courbure du cerne) (Figure

1.1b). Comme on le verra plus loin, les caractéristiques mécaniques du matériau sont très

différentes selon ces trois directions.

9

1.1.2 Microstructure du bois

Grâce au microscope et aux technologies modernes, on peut étudier la microstructure du bois. A cette échelle micrométrique on distingue une différence entre le bois des résineux et celui des feuillus. La Figure 1.2 présente la structure cellulaire du bois résineux et du bois feuillu. La majorité des cellules du bois est orientée dans la direction longitudinale de l’arbre [NAV 05]. Elles s’appellent « trachéides » chez les résineux et « fibres » chez les feuillus. Il existe également des cellules dans la direction radiale appelées « rayons ligneux ». En suivant la longueur d’un arbre, on trouve également des canaux résinifères (chez les résineux) et des vaisseaux (chez les feuillus). La fonction des trachéides chez les résineux est la conduction de la sève dans l’arbre. En observant la Figure 1.2, on constate que la dimension des trachéides dans le bois de printemps est différente de celle dans le bois d’été. Les cellules du bois de printemps présentent un diamètre plus grand (5𝜇𝑚 environ) et une épaisseur de paroi plus faible (2𝜇𝑚 environ) que celles du bois d’été. Cette différence provoque un écart entre la rigidité du bois initial et celle du bois final, ainsi que de l’hétérogénéité chez les résineux.

Figure 1.2 Structure cellulaire du bois résineux (A) et du bois feuillu (B). (A.a) Trachéide

dans le bois de printemps, (A.b) Trachéide dans le bois d’été, (A.c) Canal résinifère, (A.d) Rayon ligneux, (A.e) Rayon ligneux avec canal résinifère, (A.f) Ponctuations, (B.a) Fibres,

(B.b) Vaisseaux, (B.c) Rayons, (B.d) Ponctuations [GUI 87] 1.1.3 Ultrastructure du bois

La paroi de cellule du bois peut être observée à l’échelle du micromètre. Quel que soit le type du bois résineux ou feuillu, les cellules se présentent comme des cylindres juxtaposés et liés par une couche intercellulaire (couche M). Une paroi de cellule se décompose en deux couches : la paroi primaire (P) et la paroi secondaire (S) qui se décompose elle-même en trois sous-couches (S1, S2 et S3) (Figure 1.3). Parmi ces sous-couches, S2 est la plus épaisse. Elle est constituée de micro-fibrilles inclinées sur l’axe longitudinal de la cellule. L’angle

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (a) (b) (c) (d)

d’inclinaison s’appelle angle des micro-fibrilles. La valeur de cet angle a une influence directe sur la rigidité des parois cellulaires [GUI 87] et sur le comportement mécanique du bois [KOJ 05].

Figure 1.3 Représentation schématique de la paroi cellulaire d’une trachéide [DIN 81] tiré

de [CHA 06a]

1.2 Hygroscopie du bois

1.2.1 Etats de l’eau dans le bois

L’eau dans le bois existe sous trois états : l’eau libre présente dans les micropores des parois cellulaires et dans les lumens sans modification chimique du bois ; l’eau vapeur présente sous

forme gazeuse dans les microspores et dans les lumens ; l’eau liée adsorbée par les groupes d’hydroxyles aux sites de sorption correspondant aux ponts hydrogènes qui assurent la liaison entre les groupes hydroxyles du bois.

Mécaniquement, on s’intéresse au rapport qui quantifie le taux d’humidification du bois : il est défini par le rapport en % de la masse totale d’eau sur la masse du bois anhydre. Ce rapport est connu comme la « teneur en eau » du bois et il est défini par l’équation suivante : 𝑤% =𝑚𝑒𝑎𝑢

𝑚0 100% =

𝑚 −𝑚₀

𝑚0 100% (1.1)

où 𝑚 est la masse du bois humide. La masse à l’état anhydre du bois 𝑚0 est mesurée après un

séchage à 103°𝐶 pendant au moins 24h. Il est noté que la teneur en eau 𝑤% n’est pas limitée à 100% et qu’elle peut largement dépasser cette valeur dans le bois saturé.

L’état saturé en eau liée s’appelle le point de saturation des fibres (PSF) qui joue le rôle d’un seuil au-dessous duquel les propriétés physico-mécanique du bois sont très sensibles aux variations de la teneur en eau. La Figure 1.4 présente les trois configurations possibles autour du PSF. Généralement, le PSF est compris entre 25% et 40% en fonction des essences. Pratiquement, on utilise la valeur de 30% [CHA 06a].

S3 S2 S1 P

11 Dans ce travail, on s’intéresse au comportement hydromécanique du bois dans le domaine hygroscopique, c’est-à-dire pour des teneurs en eau comprises entre (état sec) et le PSF.

Figure 1.4 Schéma des états de l’eau dans le bois : (a) au dessus du PSF, (b) au PSF, (c) en

dessous du PSF [NAV 05] 1.2.2 Sorption du bois

Si on néglige l’effet de transfert de chaleur, de masse, ainsi que l’influence de la température, une pièce de bois anhydre placée dans un air humide va absorber de l’eau (adsorption). Au contraire, une pièce de bois humide va libérer de l’eau (désorption) dans une ambiance sèche. La Figure 1.5 montre des courbes d’hystérésis typiques du phénomène d’adsorption-désorption du bois dans une ambiance à humidité relative croissante puis décroissante [NAV 05].

Figure 1.5 Isotherme de sorption

D’une manière générale, on observe que la pente de la courbe d’adsorption est plus faible que celle de la courbe de désorption. De plus, la vitesse de la première désorption est plus grande que celle de la deuxième. Ces résultats concernent directement la structure du bois. En fait, le phénomène de gonflement du bois pendant la phase d’adsorption gêne le mouvement des molécules d’eau [NAV 05] [KOU 04], d’où le processus d’adsorption plus lent que celui de désorption. Il est noté qu’on ne dispose pas d’explication totalement claire pour justifier le décalage de la courbe de deuxième désorption.

(a) vapeur libre eau liée eau saturé cellulaire paroi lumen vapeur liée eau saturé (b) (c) vapeur liée eau saturé non Désorption 2 Adsorption Désorption 1

La vitesse de sorption est caractérisée par un coefficient de diffusion hydrique, différent selon chaque direction d’orthotropie. Les travaux de Sjödin sur les résineux ont montré que la dépendance vis-à-vis de la teneur en eau des coefficients dans les directions radiale et tangentielle est très proche [SJO 04]. Ils sont d’environ 10−10_𝑚2_{/𝑠 pour des teneurs en eau}

au-dessous de 25%. En revanche, cette valeur est 10 fois plus grande environ dans la direction longitudinale. Jönsson [JON 05] et Toratti [TOR 92] ont également obtenu un même coefficient pour les directions radiale et tangentielle. Ils ont proposé de les exprimer en fonction de la teneur en eau comme suit

𝐷_𝑅 𝑤 = 𝐷_𝑇 w = 1.44𝑒4𝑤₁₀−8 _𝑚2_{/𝑠 (1.2)}

Plus récemment, les travaux de Nguyen ont conduit à trois expressions distinctes pour ces trois coefficients pour le sapin [NGU 14] comme suit

𝐷_𝑅 𝑤 = 3.28𝑒13.19𝑤₁₀−11

𝐷_𝑇 w = 1.64𝑒13.19𝑤₁₀−11

𝐷_L w = 3.39𝑒−10.2𝑤₁₀−9

𝑚2_{/𝑠 (1.3)}

où 𝐷𝑅 et DT suivent des lois relativement proches, comparé à celle proposée pour 𝐷L.

1.2.3 Retrait et gonflement

Comme il a été vu précédemment, le bois est un matériau hygroscopique très sensible aux variations de son état hydrique en dessous du PSF. Ces variations sont accompagnées de déformations mécaniques appelées gonflement lors de l’humidification et retrait lors du séchage. L’effet de ces déformations de retrait/gonflement sur le comportement à l’échelle du composant est fortement influencé par la macrostructure du bois. Ainsi, la déformation induite par le séchage d’un élément en bois dépend fortement de sa position initiale dans la grume. La Figure 1.6 donne une illustration de l’influence de la courbure et de l’orientation des cernes annuels sur la déformation causée par une phase de séchage [KOL 68]. La structure orthotrope du bois et la courbure des cernes de croissance font que le retrait et le gonflement se manifestent en tridimensionnel par des modes de déformation très complexes : gauchissement, tuilage, flèche de chant, flèche de face, etc. Ces modes de déformation s’accompagnent du développement de contraintes internes susceptibles de provoquer des fissurations prématurées et, dans le cas des structures, des états d’instabilité pouvant mener à la rupture précoce du bois [ORM 98].

13

Figure 1.6 Déformation du bois au séchage selon l’endroit du prélèvement dans la grume

[KOL 68]

Les données expérimentales montrent que la relation entre la déformation et la teneur en eau (en dessous du PSF) est quasiment linéaire [NAV 05] (Figure 1.7). Le coefficient de retrait/gonflement peut donc être défini selon chaque direction d’orthotropie par l’expression de la pente de la courbe de retrait/gonflement

𝛼_𝑥 =𝑙𝑠−𝑙0

𝑙_𝑠 1

𝑃𝑆𝐹 (1.4)

𝑥 est la direction considérée, 𝑙_𝑠 et 𝑙₀ sont respectivement la longueur à l’état de saturation des fibres et la longueur à l’état anhydre. Si on connait la variation de la déformation ∆𝜀𝑤 dans la

direction 𝑥 due à une variation de teneur en eau ∆𝑤, on peut réécrire l’équation (1.4) sous la forme :

𝛼𝑥 = ∆𝜀_𝑤

∆𝑤 ⇔ ∆𝜀𝑤 = 𝛼𝑥∆𝑤 (1.5)

En observant l’équation (1.5), on constate que le coefficient de retrait/gonflement joue le même rôle qu’un coefficient de dilatation thermique si l’on remplace le taux humidité par une température. On observe par ailleurs qu’une variation de la teneur en eau au-delà du PSF (c’est-à-dire une variation de l’eau libre) ne provoque pas de déformation (voir Figure 1.7). Autrement dit, la variation de l’eau libre n’a pas l’importance de celle de l’eau liée sur le comportement hydromécanique du bois. Cette conclusion est en accord avec celle de Bazant sur les rôles de la micro-diffusion (eau liée) et de la macro-diffusion (eau libre) sur l’accélération de fluage [BAZ 85].

Figure 1.7 Courbe de retrait [MOU 12]

A titre d’exemple, les trois coefficients de retrait/gonflement sont présentés dans le Tableau

1.1 pour quelques essences.

Tableau 1.1 Coefficients de retrait pour quelques essences du bois [GUI 87]

Essence du bois 𝛼_𝑇 𝛼_𝑅 𝛼_𝐿

Sapin 𝑥 − _𝑥 − _𝑥 −

Douglas 𝑥 − _𝑥 − _{− −}

Hêtre 𝑥 − _𝑥 − _{− −}

1.3 Comportement mécanique à humidité constante

1.3.1 Comportement élastique orthotrope

Généralement, le bois est considéré comme un matériau anisotrope, c’est-à-dire que sa réponse à une sollicitation mécanique (force ou déplacement imposé) dépend de la direction selon laquelle cette sollicitation est appliquée. Du point de vue mécanique, le comportement d’un solide déformable est la relation entre l’état de contrainte et l’état de déformation. Dans le cas général élastique anisotrope, ce comportement formulé en rigidité se traduit par la relation suivante

𝝈 𝑨𝜺 ⇔ 𝜎_{𝑖𝑗 𝑘 𝑙}𝐴_{𝑖𝑗𝑘𝑙}𝜀_𝑘𝑙 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 (1.6)

où 𝑨 est un tenseur du 4ème ordre appelé tenseur de rigidité élastique, constitué de 81 composantes qui caractérisent les propriétés du matériau. Du fait des propriétés de symétrie 𝐴_{𝑖𝑗𝑘𝑙} 𝐴_{𝑗𝑖𝑘𝑙} 𝐴_{𝑖𝑗𝑙𝑘} 𝐴_{𝑗𝑖𝑙𝑘} le nombre des paramètres indépendants se réduit à 21, ce qui

β

15 permet d’écrire la relation précédente sous la forme matricielle suivante dans tout repère géométrique arbitrairement choisi :

𝜎₁₁ 𝜎₂₂ 𝜎33 𝜎23 𝜎₁₃ 𝜎₁₂ = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₁₄ 𝑎₁₅ 𝑎₁₆ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25 𝑎26 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35 𝑎36 𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45 𝑎46 𝑎₅₁ 𝑎₅₂ 𝑎₅₃ 𝑎₅₄ 𝑎₅₅ 𝑎₅₆ 𝑎₆₁ 𝑎₆₂ 𝑎₆₃ 𝑎₆₄ 𝑎₆₅ 𝑎₆₆ 𝜀11 𝜀22 𝜀33 𝜀₂₃ 𝜀₁₃ 𝜀₁₂ 𝑜𝑢 𝜎 = 𝑎 𝐼 _𝑎𝐼𝐼 𝑎𝐼𝑉 _𝑎𝐼𝐼𝐼 𝜀 (1.7)

Chaque terme 𝑎𝑖𝑗 est une combinaison linéaire des composantes 𝐴𝑖𝑗𝑘𝑙 du tenseur de rigidité. Il

faut noter qu’il n’y a plus de correspondance des indices dans cette écriture et que, de plus, la matrice de rigidité [𝑎] est quasi-symétrique. En fait, les sous-matrices 𝑎𝐼 _{et 𝑎}𝐼𝐼𝐼 _sont

symétriques, tandis que 𝑎𝐼𝐼 _{= 2 𝑎}𝐼𝑉 𝑇_{. Si on remplace les termes 𝜀}

𝑖𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗) par les termes

𝛾_𝑖𝑗 = 2𝜀_𝑖𝑗, alors les sous-matrices 𝑎𝐼𝐼 et 𝑎𝐼𝐼𝐼 se trouvent divisées par 2 et la matrice de rigidité [𝑎] devient totalement symétrique. La matrice de complaisance 𝑐 = 𝑎 −1 _possède

des propriétés identiques à celles de la matrice de rigidité. Il est à noter que dans le cas général anisotrope, les composantes de ces deux matrices dépendent du repère choisi.

Le comportement orthotrope constitue un cas particulier d’anisotropie pour lequel le comportement est symétrique par rapport à trois plans orthogonaux particuliers dont les intersections constituent le repère d’orthotropie. En fait, la symétrie de comportement par rapport à deux plans orthogonaux suffit pour définir un comportement orthotrope, la symétrie par rapport au troisième plan étant de fait implicite. Dans le cas du bois, les trois directions d’orthotropie sont déterminées par sa structure (voir Figure 1.1b) : la direction longitudinale L parallèle aux fibres, la direction radiale R passant par le centre de courbure des cernes et la direction tangentielle T perpendiculaire aux deux précédentes.

Dans le repère d’orthotropie ainsi constitué, la matrice de complaisance élastique s’écrit :

[𝐶] = 1 𝐸𝑅 − 𝜈𝑇𝑅 𝐸𝑇 − 𝜈𝐿𝑅 𝐸𝐿 0 0 0 −𝜈𝑅𝑇 𝐸𝑅 1 𝐸𝑇 − 𝜈𝐿𝑇 𝐸𝐿 0 0 0 −𝜈𝑅𝐿 𝐸𝑅 − 𝜈𝑇𝐿 𝐸𝑇 1 𝐸𝐿 0 0 0 0 0 0 1 2𝐺_𝑇𝐿 0 0 0 0 0 0 1 2𝐺𝑅𝐿 0 0 0 0 0 0 1 2𝐺𝑅𝑇 (1.8)

En accord avec les propriétés générales rappelées plus haut, la symétrie de cette matrice implique :

𝜈_𝑇𝑅 𝐸𝑇 = 𝜈_𝑅𝑇 𝐸𝑅 ; 𝜈_𝐿𝑅 𝐸𝐿 = 𝜈_𝑅𝐿 𝐸𝑅 ; 𝜈_𝐿𝑇 𝐸𝐿 = 𝜈_𝑅𝐿 𝐸𝑅 (1.9)

Généralement, toutes les composantes élastiques dépendent de la teneur en eau. Dans ce travail on néglige cet effet sur les coefficients de Poisson. Les données expérimentales montrent que les trois modules d’Young et de cisaillement dépendent linéairement de la teneur en eau sur la plage de 6% à 20% [GUI 87] [CAR 87] :

𝐸_𝐿 𝑤 = 𝐸𝐿 12 1 − 0.015 𝑤 − 12 𝐸_𝑇 𝑤 = 𝐸𝑇 12 1 − 0.030 𝑤 − 12 𝐸_𝑅 𝑤 = 𝐸𝑅 12 1 − 0.030 𝑤 − 12 𝑒𝑡 𝐺_𝑅𝑇 𝑤 = 𝐺𝑅𝑇 12 1 − 0.030 𝑤 − 12 𝐺_𝑇𝐿 𝑤 = 𝐺𝑇𝐿 12 1 − 0.030 𝑤 − 12 𝐺_𝐿𝑅 𝑤 = 𝐺𝐿𝑅 12 1 − 0.030 𝑤 − 12 (1.10) où 𝐸𝑖 12 et 𝐺𝑖𝑗(12) sont respectivement les modules d’Young et de cisaillement à 12% de

teneur en eau.

En plus de la complexité structurelle du bois et de son comportement hygroscopique s’ajoute le facteur temps qui intervient dans le comportement différé du bois et qui fait l’objet de la section suivante.

1.3.2 Comportement viscoélastique

En tant que composite naturel à deux phases : les fibres en cellulose d’une part et la matrice en lignine et hémicellulose d’autre part [GRI 93], le matériau bois présente un comportement viscoélastique qui dépend donc du temps. Ce comportement peut être considéré comme un comportement intermédiaire entre celui d’un solide élastique parfait où la réponse est réversible instantanée et celui d’un fluide visqueux parfait où la contrainte est proportionnelle à la vitesse de la déformation [PLU 92]. Comme en élasticité, la réponse en contrainte ou en déformation pour ce comportement est réversible, mais son développement ne se produit pas de manière simultanée avec l’application de la sollicitation ou sa suppression. Autrement dit, ce comportement est une sorte d’élasticité retardée. Ce type de comportement est dissipatif bien qu’il soit mécaniquement réversible [DES 96].

Le comportement viscoélastique est mis en évidence par deux essais caractéristiques : l’essai en relaxation où on mesure la réponse en contrainte à une déformation imposée et l’essai dual en fluage où on impose une contrainte et on observe la réponse en déformation (Figure 1.8 a et b).

Les phénomènes d’effacement et de recouvrance correspondent au retour progressif vers l’état initial après annulation de la sollicitation. Ils traduisent donc un effet mémoire du matériau qui se souvient de son état initial. Pour le bois, la recouvrance ou l’effacement sont total ou partiel selon le niveau de la sollicitation [NAV 05]. Il faut noter que l’essai de fluage est toujours réalisable, quelque soit le matériau. Par contre l’essai en relaxation n’est possible que

17 si le matériau présente une déformation instantanée. D’une manière générale, la relaxation est un phénomène plus rapide que le fluage [SAL 09].

La Figure 1.8 présente des résultats d’essai en fluage/relaxation réalisés par Saifouni sur des échantillons de sapin blanc à humidité constante [SAI 14]. On voit que les réponses aux deux essais sont réversibles en fluage et en relaxation, le retour à l’état initial s’effectuant de manière progressive. L’accord entre les courbes relatives expérimentales de fluage et de relaxation avec leurs courbes inversées de relaxation / fluage montrées sur la Figure 1.8c confirme la linéarité du comportement viscoélastique [JUR 99] (NB : les fonctions normalisées 𝑅𝑛 et 𝐽𝑛 représentées sur cette figure correspondent aux fonctions de relaxation et

de fluage divisées par le module élastique ou son inverse, respectivement). D’une manière générale, le domaine de linéarité viscoélastique dépend de plusieurs paramètres à savoir : le type d’essai, le niveau de la contrainte, la température et le taux d’humidité. Dans ce travail, on se situe dans cette zone puisque la contrainte réelle dans les éléments constructifs en bois dépasse rarement 50% de la contrainte de rupture qui est admise comme une limite de linéarité viscoélastique [SCH 68]. Par contre, Hunt estime que cette limite est de l’ordre de 20 à 30% de la contrainte de rupture en traction et de 15% de la déformation ultime en compression [HUN 89].

Figure 1.8 Essais viscoélastiques 1D sur du sapin blanc (𝐻𝑅 = 30%) : (a) en

relaxation-effacement, (b) en fluage-recouvrance, (c) comparaison des fonctions relatives de fluage et de relaxation avec leurs courbes inversées [SAI 14]

D’une manière générale, les états de contraintes et de déformations peuvent être déterminés à tout instant 𝑡 ≥ 𝑡0 dès lors que l’on connait le tenseur de relaxation 𝑹 ou de fluage 𝑱. Ces

deux tenseurs sont des fonctions caractéristiques du matériau viscoélastique qui expriment les lois de comportement viscoélastique sous sollicitation constante comme suit :

0 10 20 30 40 50 60 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 3 6 9 12 15 C ont ra int e [ M Pa ] D éf or m at ion x 1 0 -3 Temps [h] Déformation Contrainte -0,4 0,2 0,8 1,4 2 2,6 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 0 8 16 24 32 D éf or m at ion x 1 0 -3 C ont ra int e [ M Pa ] Contrainte Déformation (a) (b) 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 0 2 4 6 8 10 Jn; Rn Temps [h] Jn, Expérimentale Jn, Inversée Rn, Expérimentale Rn, Inversée (c)

𝝈 𝑡 = 𝑹 𝑡, 𝑡₀, 𝜺0 : 𝜺0 _{⟺ 𝜎}

𝑖𝑗 𝑡 = 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑡, 𝑡0, 𝜀0 𝜀𝑘𝑙0 (1.11)

𝜺 𝑡 = 𝑱 𝑡, 𝑡₀, 𝜺0 _{: 𝝈}0 _{⟺ 𝜀}

𝑖𝑗 𝑡 = 𝐽𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑡, 𝑡0, 𝜀0 𝜎𝑘𝑙0 (1.12)

où 𝜺0 _{et 𝝈}0 _{sont respectivement un état de déformation ou un état de contrainte imposé}

constant. Les tenseurs de relaxation et de fluage ont les mêmes propriétés que les tenseurs de rigidité et de complaisance élastique : 𝑹 et 𝑱 sont donc des tenseurs d’ordre 4 symétriques, constitués chacun de 81 composantes, elles-mêmes fonctions de 21 composantes indépendantes dans le cas général anisotrope. Comme pour le comportement élastique ce nombre se réduit à 9 composantes indépendantes pour un matériau orthotrope. En fait, chacune de ses composantes est une fonction de relaxation ou de fluage comme le montrent les équations (1.11) et (1.12). Cette écriture très générale permet de représenter le comportement des matériaux anisotropes non linéaire vieillissants [DES 96], 𝑡0 étant l’âge du

matériau au moment de l’application du chargement. Si on suppose que le bois se comporte comme un matériau non-vieillissant, c’est-à-dire que ses propriétés viscoélastiques n’évoluent pas dans le temps, les fonctions de relaxation et de fluage ne dépendent que la durée d’application du chargement (𝑡 − 𝑡0) et du niveau de la sollicitation. Pour des niveaux

modérés de sollicitation, le comportement viscoélastique devient linéaire. Dans ce cas, la fonction de relaxation ou de fluage ne dépend plus du niveau de chargement. Les équations (1.11) et (1.12) deviennent finalement dans ce cas

𝝈 𝑡 = 𝑹 𝑡 − 𝑡₀ : 𝜺0 _{⟺ 𝜎}

𝑖𝑗 𝑡 = 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑡 − 𝑡0 𝜀𝑘𝑙0 (1.13)

𝜺 𝑡 = 𝑱 𝑡 − 𝑡0 : 𝝈0 ⟺ 𝜀𝑖𝑗 𝑡 = 𝐽𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑡 − 𝑡0 𝜎𝑘𝑙0 (1.14)

Dans le cas plus général d’une sollicitation variable, le comportement viscoélastique linéaire peut s’exprimer soit sous la forme d’une équation intégrale, soit sous celle d’une équation différentielle, qui seront détaillées dans le chapitre suivant. Pour compléter la description du comportement hydromécanique du bois, il convient d’examiner les effets des variations d’humidité dans ce qui suit.

1.4 Comportement mécanique à humidité variable

Le comportement mécanique du bois se complique fortement en cas de variation de son état hydrique. Dans ce cas, il convient de distinguer deux effets concomitants. Le premier résulte de l’effet des variations d’humidité sur la réponse viscoélastique linéaire. Le deuxième traduit l’interaction complexe entre le chargement mécanique et le phénomène de sorption sous humidité variable. Cet effet appelé mécanosorption ou comportement mécanosorptif cause un terme supplémentaire de la déformation ou de la contrainte en addition à la réponse

19 viscoélastique du bois. Dans la littérature, ces deux effets sont généralement fusionnés sous le terme générique de mécanosorption du fait de la difficulté de les séparer l’un de l’autre lors des expérimentations.

1.4.1 Comportement viscoélastique à humidité variable

On s’appuie ici sur des données expérimentales obtenues par Saifouni [SAI 14] à partir d’essais de relaxation sur des échantillons de sapin blanc réalisés sous humidité contrôlée. La

Figure 1.9 montre que le comportement viscoélastique du sapin blanc dépend fortement de

l’humidité. On voit en particulier que le phénomène de relaxation est plus important et plus rapide à l’état humide qu’à l’état sec.

Figure 1.9 Fonctions de relaxation normalisées pour plusieurs niveaux d’humidité constante

[SAI 14]

Sur la base de ces résultats, Saifouni a proposé une méthode pour évaluer la réponse viscoélastique sous humidité variable en appliquant le principe de superposition de Boltzmann. La Figure 1.10 explique la mise en œuvre de ce principe dans le cas d’une déformation de fluage provoquée par une contrainte 𝜎 maintenue constante. L’humidité relative initialement égale à 𝐻𝑅 passe à 𝐻𝑅 𝐻𝑅 𝐻𝑅 à l’instant 𝑡 . Dans une première période 𝑡 𝑡 la réponse (courbe noire) coïncide avec la déformation de fluage sous 𝐻𝑅 : 𝜀 𝑡 𝐻𝑅 (courbe bleu). Pour simuler le changement d’humidité à l’instant 𝑡 , on supprime le chargement 𝜎 𝐻𝑅 que l’on remplace par le chargement 𝜎 𝐻𝑅 . Ceci revient à retrancher la courbe 𝜀 𝑡 𝐻𝑅 à partir du temps 𝑡 et à ajouter la courbe 𝜀 𝑡 𝐻𝑅 à partir du même instant. La démarche est répétée pour chaque nouvelle variation d’humidité. La somme des trois courbes élémentaires fournit la réponse en fluage sous une contrainte constante à humidité variable (courbe noire) :

𝜀 𝑡 𝜀 𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 𝑡 𝜀 𝑡 𝜀 𝑡 𝜀− 𝑡 𝜀 𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≥ 𝑡

(1.15)

Cette méthode permet de rendre compte de l’effet des variations d’humidité sur la seule déformation viscoélastique linéaire.

Il existe une autre méthode de calcul de la déformation viscoélastique sous humidité variable, basée sur la notion de « temps réduit ». Cette méthode détermine la réponse à l’instant 𝑡 quelque soit 𝜀 𝑡 𝑤𝑖 à partir d’une réponse de référence 𝜀 𝑡 𝑤 et d’un coefficient de

glissement 𝑎 𝑤 𝑤 . Le lecteur peut consulter les travaux [JOY 92] [MAR 94] par exemple.

Figure 1.10 Application du principe de superposition pour déterminer la déformation

viscoélastique sous humidité variable 1.4.2 Comportement mécanosorptif

1.4.2.1 Comportement mécanosorptif dans la direction longitudinale

Dans la littérature, il existe beaucoup d’informations sur le comportement mécanosorptif dans la direction longitudinale. Dans ce paragraphe, nous rappelons certaines observations qui seront utiles pour la modélisation. Dès les années soixante, Armstrong et Kingston sont les premiers auteurs à avoir publié des résultats expérimentaux montrant une augmentation sensible de la flèche de fluage observée en phase de séchage par rapport à celle obtenue à humidité constante [ARM 60]. Plus tard, Hearmon et Paton ont présenté des résultats qui montrent l’influence de la variation de l’humidité sur la flèche d’une poutre en bois soumise à

21 un chargement constant (Figure 1.11) [HEA 64]. On observe que la rupture peut se produire pour un chargement égal à 37.5% de la contrainte de rupture. Une dissymétrie entre les phases de séchage et d’humidification ainsi qu’une particularité du premier cycle d’humidification sont également rapportées. Des travaux ultérieurs de Eriksson et Norén en traction longitudinale ont montré une diminution de la déformation en phase d’adsorption et une augmentation au cours de la désorption [ERI 65]. La même conclusion a été également rapportée en compression dans [ARM 62]. Il convient de noter que la déformation mécanosorptive dont il est question ici est la déformation totale réduite de la déformation libre mesurée.

Figure 1.11 Evolution de la flèche d’une poutre sous humidité constante et sous humidité

variable [HEA 64]

En 1975, Ranta-Maunus a expliqué cet effet par sa théorie hydro-viscoélastique [RAN 75]. Il a distingué 3 phases (−, +, ++) correspondant respectivement aux phases de séchage, d’humidification et de première humidification. Pour chaque phase, il introduit un coefficient constant (𝑎−_{, 𝑎}+_{, 𝑎}++_{) qui caractérise l’effet mécanosorptif. Peu après, Grossman a fait un}

récapitulatif de cet effet [GRO 76], dans lequel il a mis la propriété d’indépendance du temps en première position dans une liste des remarques. Ce qui traduit l’influence de l’amplitude des variations d’humidité (et non de leur vitesse) sur la déformation mécanosorptive. Cette conclusion a été également confirmée ultérieurement à partir d’observations expérimentales [HAN 98], [NAV 02]. Pour mettre cette caractéristique en évidence, Hunt a proposé de présenter cet effet sous la forme d’une « trajectoire mécanosorptive » (Figure 1.12) qui représente l’évolution de la déformation de fluage en fonction de celle de la teneur en eau [HUN 84]. Temps (jours)15 20 25 30 10 5 0 Fl ec he e n m ul tip le d e la flè ch e in iti al e 25 20 15 10 5 0 1/8 charge maximale 3/8 charge maximale Séchage Humidification (HR=93%) Rupture de l’échantillon

Figure 1.12 Présentation de la limite de la déformation, tiré de [PIT 96]

Selon ses observations, la pente de la trajectoire décroit en valeur absolue lorsque le niveau de déformation augmente. Autrement dit, il existe une limite ou une saturation de la déformation qui n’a pas été trouvée dans les essais de Mohager et Toratti [MOH 93]. Cette variation de la pente dans la trajectoire mécanosorptive montre également que les coefficients matériaux proposés par Ranta-Maunus ci-dessus ne sont pas constants.

Une synthèse des données expérimentales sur la mécanosorption dans la direction longitudinale peut être trouvée dans [PIT 96] [MAR 94]. Depuis, Saifouni a réalisé un essai mécanosorptif en traction sous contrainte et humidité relative variables qui lui a permis de mettre en évidence l’existence de la déformation mécanosorptive [SAI 14]. Pour cela, il a fait varier la contrainte et l’humidité relative par paliers avec un déphasage de 15 minutes environ de manière à distinguer les deux effets. La déformation résultante 𝜀𝑡𝑜𝑡 était mesurée en

continu au cours du temps (Figure 1.13). Des essais préliminaires lui ont permis de déduire les parts hydrique, élastique et viscoélastique à humidité variable. En se basant sur l’hypothèse de partition de la déformation, il a finalement pu, en soustrayant les trois termes précédents de la déformation totale mesurée, isoler l’évolution d’un terme complémentaire identifié comme étant la déformation « hygroverrou » (Figure 1.13). Dans le cadre de son étude, il a conclu que la déformation hygroverrou est sensiblement équivalente à la définition déjà donnée par d’autre auteur [GRI 88], [DUB 05], [HUS 10], [DUB 12], [COL 14] à savoir qu’elle résulte bien d’un phénomène de blocage temporaire de la variation de la déformation élastique au cours du séchage sous contrainte.

3 2 1 Fl ua ge re la tif 8 10 12 14 16 18 20 22w (%)

23

Figure 1.13 Déformation totale mesurée et déformation hygroverrou déduite d’un essai

mécanosorptif sous chargement et humidité variables par paliers [SAI 14]

Les conclusions de Saifouni amènent la question suivante : l’effet hygroverrou est-il suffisant pour décrire l’effet mécanosorptif dans sa totalité? La réponse est sans doute négative, mais ses travaux ont bien montré l’existence et les caractéristiques de la déformation hygroverrou ce qui n’avait pu être fait jusqu’alors. A partir des résultats de Saifouni, on peut tirer les trois remarques importantes ci-dessous illustrées par la Figure 1.13 :

1ère _{remarque : la déformation hygroverrou est créée et évolue de manière instantanée pour}

chaque incrément d’humidité relative dans la phase de séchage 𝑤 sous contrainte constante 𝜎 ; son évolution est constituée d’une série de paliers successifs.

2ème _{remarque : une variation de contrainte 𝜎 ≠ à humidité constante 𝑤 n’entraine}

pas de modification de la déformation hygroverrou. De plus, cette déformation peut être considérée comme constante 𝜀 𝐻𝐿 tant que l’humidité relative ne varie pas. Autrement

dit, la déformation hygroverrou peut être considérée comme indépendante du temps et des variations de contrainte lorsque l’humidité reste constante.

3ème _{remarque : la déformation hygroverrou (lorsqu’elle existe) décroit en valeur absolue,}

jusqu’à s’annuler lorsque la teneur en eau 𝑤 revient à sa valeur initiale 𝑤 au début de la phase de séchage sous contrainte.

Ces trois remarques importantes respectent les principes généraux qui gouvernent le comportement mécanosorptif. Ils serviront de base dans la suite de ce travail pour la construction d’un nouveau modèle hydromécanique 3D pour le bois.

σ (MPa)

HR (%)

εtot(10-3)

1.4.2.2 Comportement mécanosorptif dans les directions transversales

Contrairement à la direction longitudinale, les informations relatives à la direction tangentielle et radiale sont rares bien que le fluage mécanosorptif transversal soit plus important que celui dans la direction longitudinale [RAN 93]. En 2000, Toratti et Svensson ont réalisé des essais mécanosorptifs dans la direction tangentielle en traction et compression à différentes vitesses de variation de l’humidité [TOT 00]. Les résultats montrés sur la Figure 1.14 montrent que la déformation mécanosorptive est fortement dissymétrique en traction et compression.

Figure 1.14 Déformation libre et celle réduite (i.e. après déduction de la déformation libre)

en traction et compression pour deux essais mécanosorptifs à grande vitesse de variations d’humidité [TOT 00]

Le phénomène observé est totalement inversé par rapport aux conclusions citées précédemment dans [ERI 65], [ARM 62] pour la direction longitudinale. L’humidification provoque une augmentation de la déformation dans le cas de la compression, tandis qu’une phase de séchage ne cause pas d’augmentation de la déformation dans le cas de la traction. L’indépendance vis-à-vis du temps de la déformation mécanosorptive transversale a été également rapportée par les mêmes auteurs du fait de la similitude entre les résultats de l’essai mécanosorptif à faible vitesse de variation d’humidité et ceux de l’essai réalisé à vitesse plus élevée. Concernant le comportement mécanosorptif en phase de séchage, Svensson a réalisé une série d’essais en traction dans les deux directions transversales à différents niveaux de température constante sur le pin sylvestres [SVE 95]. La Figure 1.15a présente la déformation totale mesurée d’éprouvettes chargée et non chargée dans la direction tangentielle à 20°C et la

Figure 1.15b présente la déformation totale mesurée dans la direction radiale à 20°C et 60°C.

La différence entre les deux courbes (états chargé et non chargé) traduit la déformation mécanique mécanosorptive qui lie la contrainte et les variations du taux d’humidité. Cette partie augmente clairement lors du séchage dans les deux directions transversales. On note bien qu’il existe dans cette déformation une partie viscoélastique qui augmente au cours du

25 temps. D’après ces essais, il semble qu’il n’existe pas d’effet hygroverrou dans les directions transversales.

Figure 1.15 Déformation mesurée en phase de séchage (a) dans la direction tangentielle

pour les éprouvettes chargée et non chargée à 20°C et (b) dans la direction radiale à 20°C et 60°C [SVE 95]

Un résultat analogue est également rapporté dans les travaux de Wu [WU 95], [WU 96]. Récemment, Mazzanti et al. ont réalisé des essais de retrait/gonflement en déformation gênée [MAZ 14]. Des cycles d’humidité ont été imposés selon les trois situations A, B, C montrées dans la Figure 1.16. Les évolutions de la déformation et de la contrainte ont été enregistrées. Après le premier cycle humidification-séchage, la déformation résiduelle de l’éprouvette B est égale à 1.2% ce qui correspond à une contrainte de 1.5MPa. Tandis que la contrainte mesurée dans l’éprouvette C est égale à 0.5MPa. Il semble donc que les deux tiers de la contrainte ont été stockés dans le matériau puis libérés dans les cycles suivants. Ces essais confirment bien que la déformation élastique n’est pas seule en cause dans ce phénomène.

Figure 1.16 Essai de retrait/gonflement en déformation gênée dans la direction tangentielle

[MAZ 14]

Concernant l’effet mécanosorptif dans les directions transversales, les lecteurs peuvent également consulter les travaux [FRO 12], [HAN 03].

En résumé, l’étude du comportement du bois à humidité variable est un sujet vaste et complexe. Il est difficile analyser directement ce phénomène sur la base des résultats expérimentaux bruts. Il s’avère donc nécessaire de disposer d’un modèle mécanosorptif

(a) (b)

mc% changes

performant pour analyser les divers aspects de ce phénomène. Les bases retenues pour le développement de ce modèle sont exposées dans le chapitre suivant.

Conclusion

Dans ce chapitre, la structure du bois a été examinée à différentes échelles, de quelques millimètres au micromètre, avec les différences entre les résineux et les feuillus. Cet examen permet de comprendre le rôle de chaque composant sur le comportement hydromécanique du bois : sa structure organisée selon trois directions privilégiées entraine l’orthotropie du comportement ; les fibres sont responsables du comportement élastique tandis que la matrice de lignine est la cause de la part visqueuse du comportement. Le phénomène hygroscopique du bois joue également un rôle important dans son comportement mécanique. Ainsi, la variation de la teneur en eau influence toutes les propriétés mécaniques du bois : modules d’Young et de cisaillement, paramètres des comportements viscoélastique et mécanosorptif. Au final, sa nature composite associée aux variations d’humidité conduit à un comportement hydromécanique très complexe qui résulte de l’interaction de plusieurs effets : retrait / gonflement, élastique orthotrope, viscoélastique à humidité variable et mécanosorptif, en soulignant que l’effet viscoélastique à humidité variable ne doit pas être confondu avec l’effet mécanosorptif qui résulte du couplage entre chargement mécanique et variations d’humidité. Les travaux de Saifouni ont permis de confirmer l’existence de l’effet hygroverrou dans la direction longitudinale. Cet effet s’inscrit dans le comportement mécanosorptif et il n’est pas observé dans les directions radiale et tangentielle. Les conclusions relatives à l’évolution de la déformation hygroverrou à partir de ses résultats expérimentaux serviront de base pour proposer une loi d’évolution de la déformation hygroverrou dans la suite de ce travail.

Dans le chapitre suivant, nous examinons les outils pour la formulation des problèmes viscoélastiques linéaires ainsi que des modèles mécanosorptifs récents, ce qui servira ensuite au développement d’un modèle de comportement hydromécanique 3D.