Formes quadratiques binaires ` a coefficients entiers

ϕ(x, y) =ax²+bxy+cy², (a, b, c)∈_Z.

Le forme ϕ sera not´ee (a, b, c). Le discriminant de la forme (a, b, c) est D = b² −4ac; elle est d´efinie positive si D<0 et a >0. Dans ce cas on aussic >0 et ϕ(x, y)>0 si (x, y)6= (0,0).

On dira que l’entier n est repr´esentable par la forme (a, b, c) s’il existe (x, y) ∈ _Z tels que n=ax²+bxy+c.

Soit f :_Z² 7−→_Z2 une application. Elle est dite unimodulaire si son d´eterminant vaut 1. En notantf(x, y) = (px+qy, rx+sy), cela se traduit parps−qr = 1. En particulierf est inversible.

Les exemples les plus simples de transformations unimodulaires sont

f₁(x, y) = (y,−x) ; f₂(x, y) = (x+y, y) et f₃(x, y) = (x−y, y).

Si, dans ϕ(x, y) =ax²+bxy+cy², on remplacex par px⁰+qy⁰ et y par rx⁰+sy⁰, on obtient une nouvelle forme quadratique ϕ⁰(x⁰, y⁰) =a⁰x⁰²+b⁰x⁰y⁰+c⁰y⁰² avec

   a⁰ =ap²+bpr+cr² =ϕ(p, r) b⁰ = 2apq+b(ps+qr) + 2crs c⁰ =aq²+bqs+cs² =ϕ(q, s). (5.1)

5.11 D´efinition. — Deux formes quadratiques ϕ et ϕ⁰ sont dites ´equivalentes s’il existe une transformation unimodulairef telle que ϕ◦f =ϕ⁰. On notera ϕ∼ϕ⁰.

Par exemple en utilisant f₁, f₂ etf₃, on a les transformations suivantes. (T1) (a, b, c)∼(c,−b, a) ;

(T2) (a, b, c)∼(a, b+ 2a, a+b+c) ; (T3) (a, b, c)∼(a, b−2a, a−b+c).

5.12 Proposition. — La relation∼est une relation d’´equivalence qui conserve le discriminant.

Preuve. — Posons M = a b/2 b/2 c et X = x y . On a ϕ(X) = X^tM X ou X^t d´esigne la transpos´ee de X. Soit U une matrice unimodulaire et Y = U X le changement de variables correspondant. Alors ϕ⁰(Y) = Y^tM⁰X avec M⁰ = U^tM U. Ainsi ϕ et ϕ⁰ sont ´equivalentes si et seulement si leurs matrices sont li´ees par la relation M⁰ = U^tM U o`u U est unimodulaire. La relation est

(i) r´eflexive car M = Id^t₂MId₂;

(ii) sym´etrique car M⁰ =U^tM U ⇐⇒M = (U⁻¹)^tM⁰U⁻¹ etU⁻¹ est unimodulaire ;

(iii) transitive car M⁰ = U^tM U et M⁰⁰ = V^tM V implique M⁰⁰ = (U V)^tM(U V) et U V est unimodulaire car det(U V) = det(U) det(V) = 1.

Enfin si M⁰ =U^tM U, on a det(M⁰) = det(M), donc D = D’ car D = −4 det(M) par un calcul imm´ediat.

5.13 Remarque. — Soit ϕ une forme d´efinie positive ; en rangeant les valeurs v₀ = 0 < v₁ 6

v₂ 6 v₃ 6 . . . de le forme ϕ dans l’ordre croissant (chaque valeur figurant autant de fois qu’elle est atteinte), nous voyons que deux formes d´efinies positives ´equivalentes ont la mˆeme suite v_n. En particulier, elles repr´esentent les mˆemes entiers.

5.14 Th´eor`eme. — Toute forme quadratique d´efinie positive est ´equivalente `a une forme(a, b, c) v´erifiant

−a < b 6a < c ou 06b6a =c. (5.2)

Preuve. — La transformation (T1) ´echangeaetcen laissant|b|inchang´e, et les transformations (T2) et (T3) diminuent |b| en laissant a inchang´e. En appliquant alternativement ces transfor-mations, on voit que toute forme d´efinie positive est ´equivalente `a une forme (a₀, b₀, c₀) avec

−a₀ 6b₀ 6a₀ 6c₀. Si b₀ =−a₀, la transformation (T2) montre que (a₀, b₀, c₀)∼(a₁, b₁, c₁), avec

−a₁ < b₁ 6a₁ 6c₁, car alors c₁ =c₀. Si a₁ =c₁, la transformation (T1) permet de remplacer b₁ par −b₁.

5.15 Exemple. — R´eduisons la forme (10,34,29) ; on a

(10,34,29)^T∼³ (10,14,5)^T∼³ (10,−6,1)^T∼¹ (1,6,10)^T∼³(1,4,5)^T∼³ (1,2,2)^T∼³(1,0,1) o`u on a indiqu´e les transformations `a appliquer.

5.16 Th´eor`eme. — Deux formes quadratiques d´efinies positives r´eduites sont non ´equivalentes.

Preuve. — Soit ϕ = (a, b, c) une forme quadratique d´efinie positive r´eduite, donc |b| 6 a 6 c. Si|x|>|y|>1, on a

ϕ(x, y)>|x|(a|x| − |by|) +cy² >|x|(a− |b|) +cy² >a−b+c.

Par sym´etrie, cette in´egalit´e est vraie si (x, y)6= (0,0). Donc les premi`eres valeurs de ϕsont v₀ = 0, v₁ =a, v₂ =a, v₃ =c, v₄ =c et v₅ =a− |b|+c

atteintes respectivement pour (x, y) = (0,0),(1,0),(−1,0),(0,1),(0,−1) et (1,1).

Siϕ⁰ = (a⁰, b⁰, c⁰), r´eduite, est ´equivalente `aϕ, elle a mˆeme suite de valeurs, donca<sup>0</sup> =a,c<sup>0</sup> =c eta<sup>0</sup> − |b<sup>0</sup>|+c=a− |b|+c d’o`u |b⁰| =|b|. Il reste `a montrer b⁰ =b. Distinguons plusieurs cas et utilisons (5.2).

(i) Si b=a, on a b>0, donc |b⁰|=a et puisqueϕ⁰ est r´eduite,

−a⁰ =−a < b⁰ 6a⁰ =a =⇒b⁰ =a=b. (ii) Si a=c, alors a⁰ =c⁰ donc b>0 et b⁰ >0, d’o`ub =b⁰.

(iii) En vertu de (5.2), il reste le cas −a < b < a < c. Notons x=px⁰ +qy⁰ et y =rx⁰ +sy⁰ avecps−qr = 1 la transformation unimodulaire qui tranformeϕetϕ⁰. Le premi`ere ´equation de (5.1) s’´ecrit

a⁰ =a=ϕ(p, r) = v₁ =v₂ < v₃.

Donc p = ±1, r = 0 ; par suite ps = 1. La deuxi`eme relation de (5.1) entraˆıne b⁰ ≡

bmod (2a). Mais −a < b < a et −a < b⁰ 6a, donc −2a < b−b⁰ 60 et b=b⁰.

5.17 Th´eor`eme. — Il n’existe qu’un nombre fini de classes d’´equivalences de formes quadra-tiques de discriminants D < 0 donn´e. Ce nombre, not´e hD est ´egal au nombre de solution (a, b, c)∈<sub>N</sub><sup>∗</sup>×<sub>Z</sub>×<sub>N</sub><sup>∗</sup> du syst`eme d’´equation

   b²−4ac=D a 6^p−D/3 −a < b 6a < c ou 06b6a =c.

Preuve. — Toute forme ´etant ´equivalente `a une forme r´eduite et les formes r´eduites ´etant non ´equivalentes entre elles, le nombre de classe d’´equivalence de forme de discriminant D est donc le nombre de formes r´eduitesϕ= (a, b, c) de discriminant D.

On a alors b²−4ac= D. Par les formules (5.2),

|b|6a et|b|6c=⇒b² 6ac,

d’o`u −3ac>D puis ac6−D/3. Mais 06a 6c, donc a 6^p−D/3 et a ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs ; il en est de mˆeme deb puisque |b|6a, et de cpuisque b²−4ac= D.

Donnons trois exemples.

5.18 Exemple. — Prenons D =−20. Alors a6^p20/3 montre que a = 1 oua= 2.

(i) Supposons a = 1. Alors −1 < b 6 1 ou 0 6 b 6 1, donc b = 0 ou b = 1. Si b = 0, on a

−20 = b²−4ac=−4c, donc c= 5. Le cas b= 1 est impossible car 4 ne divise pas 21. (ii) Supposons a = 2. On obtient b = 0,±1 ou 2. Alors c v´erifie respectivement −8c =−20,

1−8c=−20 ou 4−8c=−20 ; seule la derni`ere ´equation convient ; ainsi c= 3, b= 2. Il n’existe donc que deux formes r´eduites de discriminant −20, eth−20 = 2.

5.19 Exemple. — Prenons D =−163. Alorsa 6^p163/3 montre que a= 1,2,3,4,5,6 ou 7 et les valeurs possibles deb sont 0,±1,±2,±3,±5,±6 et 7 avec b²−4ac=−163 et |b|6a.

(i) Pour tout a, le cas b= 0 ne peut se produire puisque 163 est impair.

(ii) Le casb =±1 m`ene `a 4ac= 164 = 4×41 ; il ne peut se produire que si a= 1 et dans ce cas b= 1 et c= 41 ;

(iii) le casb =±2 m`ene `a 4ac= 167 qui est premier ;

(iv) le casb =±3 m`ene `a 4ac= 172 = 4×43, incompatible avec a>3 ; (v) le casb =±4 m`ene `a 4ac= 173 qui premier ;

(vi) le casb =±5 m`ene `a 4ac= 188 = 4×47, incompatible avec a>5 ; (vii) le casb =±6 m`ene `a 4ac= 199 qui est premier ;

(viii) le casb±7 m`ene `a 4ac= 212 = 4×53, incompatible avec a>7.

Par cons´equent il n’existe qu’une seule forme quadratique r´eduite de discriminant −163, c’est (1,1,41).

La valeur −163 est remarquable, on verra d’ailleurs plus loin que c’est la plus petite valeur possible de D telle que h_D = 1. Prenons maintenant une valeur de D qui, `a l’inverse, fournit beaucoup de formes quadratiques r´eduites.

5.20 Exemple. — Prenons D = −47. Alors a 6 ^p47/3 montre que a = 1,2,3 ou 4 et les valeurs possibles deb sont 0,±1,±2,±3 et 4 avec b²−4ac=−47 et |b|6a.

(i) Pour tout a, le cas b= 0 ne peut se produire puisque 47 est impair.

(ii) Le casb =±1 m`ene `a ac= 12. Sia = 1, alors c= 12, puis b= 1. Si a= 2, on a c= 6 et b =±1. Si a = 3, on a c= 4 et b =±1. Pour les autres valeurs de a qui divisent 12, on a a > c, impossible.

(iii) le casb =±2 m`ene `a 4ac= 51 qui est premier ;

(iv) le casb =±3 m`ene `a 4ac= 56 = 4×14, incompatible avec 36a 64 ; (v) le casb =±4 m`ene `a 4ac= 63 qui est impair.

Il existe donc cinq formes quadratiques r´eduites de discriminant−47, ce sont (1,1,12), (2,±1,6) et (3,±1,4).