Factorisation dans les extensions

3.2.1 Ramification

On consid`ere toujours une extension L/K de corps de nombres de degr´e n.

3.13 Lemme. — Soit p un id´eal premier non nul de O_K et soit P un id´eal premier non nul de

OL. Les cinq conditions suivantes sont ´equivalentes. (i) P divise pO_L;

(ii) P⊃pO_L; (iii) P⊃p; (iv) P∩ O_K =p; (v) P∩K =p.

Preuve. — Montrons que chaque assertion est ´equivalente `a la suivante. L’´equivalence de (i) et (ii) est le lemme 2.9 et celle de (ii) et (iii) vient de la d´efinition de l’id´eal pO_Lengendr´e parp. Il est clair que (iv) implique (iii) ; r´eciproquement supposons que P⊃ p. Alors l’id´eal P∩ O_K de

O_K contient p. Puisque p est maximal, ceci implique soit P∩ O_K = O_K, soit P∩ O_K = p. La premi`ere possibilit´e ne peut pas se produire, car alors P contiendrait 1 et serait O<sub>L</sub>, d’o`u (iii) implique (iv). Enfin (v) implique clairement (iv). R´eciproquement, supposons que P∩K = p; on a P∩ O_K ⊂p et l’inclusion inverse r´esulte du lemme 1.35.

3.14 D´efinition. — Si p et P satisfont les propri´et´es ´equivalents du lemme, on dit que P est au-dessus de p ou que p est au-dessous de P.

3.15 Proposition. — Chaque id´eal premier P de O_L est au-dessus d’un unique id´eal premier

pde OK, et chaque id´eal premier p de OK est au-dessous d’au moins un id´eal premier Pde OL.

Preuve. — Soit P un id´eal premier de O_L. Alors P∩ O_K est un id´eal premier non nul de O_K

(le fait qu’il soit premier r´esulte de la d´efinition, et qu’il soit non nul du fait que P contient un entier non nul). Le lemme 3.13 montre que cet id´eal est n´ecessairement unique.

Consid´erons l’id´eal pO_L. Par le lemme 2.6, il existeγ ∈K\O_K tel que γp⊂ O_K. Il vient que γpO_L⊂ O_L. Si 1∈pO_L, cette inclusion conduit `a γ ∈ O_L, ce qui impossible puisque γ /∈ O_L (en effetO_L∩K =O_K etγ ∈K\O_K). AinsipO_L6=O_L. Il existe donc un id´eal maximalPcontenant

Notons ´egalement que par le lemme 3.13, les id´eaux premiers au-dessus dep sont pr´ecis´ement ceux qui interviennent dans la factorisation de pO_L. En notant e(P/p) la puissance exacte de P

qui divise pO_L, on peut ´ecrire

pO_L= ^Y

P∩OK=p

P^e(P/p).

Soit p l’unique l’unique entier positif premier contenu dans p et P. Alors O_K/p et O_L/P sont des corps finis de caract´eristique p. De plus l’injection naturelle O_K ,→ O_L induit une injection

O_K/p,→ O_L/Ppuisque P∩ O_K =ppar le lemme 3.13. Ainsi O_L/Pest une extension de O_K/p. On note f(P/p) le degr´e de cette extension.

3.16 D´efinition (Indice de ramification, degr´e d’inertie). — e(P/p)etf(P/p)s’appellent respectivement l’indice de ramification deP/p et le degr´e d’inertie de P/p.

Remarquons que N_L(P) = N_K(p)^f(P/p).

3.17 Th´eor`eme. — Soit L/K une extension de corps de nombres de degr´e n et soit p un id´eal premier de O_K. Soit

pO_L=P^e1

1 . . .P^er

r

la factorisation de pO_L en id´eaux premiers de O_L. Posons f_i =f(Pi/p). Alors r

X i=1

e_if_i =n.

Preuve. — En prenant la norme des deux cˆot´es de la factorisation de pOL, on trouve N_L(pO_L) = N_L(P₁)^e1. . .N_L(P_r)^er = N_K(p)^f1e1. . .N_K(p)^frer.

Par le th´eor`eme 3.12, N<sub>L</sub>(pO<sub>L</sub>) = N<sub>K</sub>(p)<sup>n</sup>, d’o`u le r´esultat en comparant les degr´es.

3.18 D´efinition (Ramifi´e, inerte, d´ecompos´e). — Avec les notations du th´eor`eme,

(i) si l’un des ei n’est pas ´egal `a 1, on dit que p est ramifi´e sur L, et totalement ramifi´e si r= 1 et e₁ =n (donc pO_L=Pⁿ) ;

(ii) si r= 1 et e₁ = 1, on dit que p est inerte sur L.

(iii) ei =fi = 1 pour tout i, on dit que p est d´ecompos´e sur L (pOL =P1. . .Pn). Signalons enfin le th´eor`eme suivant, donn´e sans preuve.

3.19 Th´eor`eme. — Soit K un corps de nombre et D son discriminant. Soit p un rationnel premier. Alors p se ramifie dans K si, et seulement si, p divise D.

3.2.2 Cas des extensions galoisiennes

SoitL/K une extension galoisienne. La pr´esence d’automorphisme deK donne une factorisa-tion plus r´eguli`ere que dans une extension quelconque ; nous appliquerons les r´esultats de cette partie aux extensions cyclotomiques.

3.20 Lemme. — Soit L/K une extension galoisienne et p un id´eal premier de O_K. Alors le groupe Gal(L/K) agit transitivement sur l’ensemble des id´eaux premiers au-dessus de p.

Preuve. — Soit P un id´eal premier au-dessus de p etσ ∈ Gal(L/K). Comme σ est surjective, σ(P) est un id´eal. Soit x, y /∈ σ(P). Il existe x⁰, y⁰ ∈/ P tels que x = σ(x⁰) et y = σ(y⁰). Mais x⁰y⁰ ∈/ P, doncxy=σ(x⁰y⁰)∈/ σ(P), doncσ(P) est premier. Ceci montre que Gal(L/K) agit sur l’ensemble des id´eaux premiers au-dessus dep.

Soit P et P⁰ deux id´eaux premiers au-dessus de p. Supposons que pour tout σ ∈ Gal(L/K) on aitσ(P)6=P⁰. Par le th´eor`eme chinois on peut trouver α∈ O_L tel que

α≡0 mod (P⁰) et α≡1 mod (σ(P)) pour toutσ ∈Gal(L/K). Consid´erons

N_L/K(α) = ^Y σ∈Gal(L/K)

σ(α)∈ OK.

Puisque α∈P⁰, sa norme appartient `a P⁰∩ O_K =p.

D’autre part, puisqueα≡1 mod (σ(P)) pour toutσ∈Gal(L/K), on a aussiα /∈σ(P) ; ainsi σ⁻¹(α)∈/ P pour toutσ. Quand σ parcourt Gal(L/K), σ⁻¹ parcourt aussi Gal(L/K), donc

N_L/K(α) = ^Y σ∈Gal(L/K)

σ⁻¹(α).

Puisque qu’aucun des facteurs n’appartient `a P et que P est premier, on a N_L/K(α) ∈/ P. Par suite N_L/K(α)∈/ P∩ OK =p, ce qui est une contradiction.

3.21 Th´eor`eme. — Soit L/K une extension galoisienne de degr´e n et p un id´eal premier de

O_K. Soit

pO_L=P^e1

1 . . .P^er

r la factorisation de p dans OL, et soit fi =f(Pi/p). Alors

f₁ =· · ·=f_r et e₁ =· · ·=e_r. En particulier re_if_i =n pour tout i.

Preuve. — Sir= 1, le r´esultat est clair. Supposonsr>2 et prouvons quee₁ =e₂ etf₁ =f₂; le cas g´en´eral est similaire. Par le lemme il existe σ∈Gal(L/K) tel queσ(P₁) = P₂. En appliquant σ `a notre factorisation et en utilisation le fait σ(p) = p, il vient

pO_L =σ(P₁)^e1σ(P₂)^e2. . . σ(P_r)^er =P^e1

2 σ(P₂)^e2. . . σ(P_r)^er.

De plus si σ(P_i) =P₂, alors P_i =σ⁻¹(P₂) =P₁; doncσ(P_i)6=P₂ pour i>2. Ainsi P^e1

2 est la seule occurrence deP₂ dans la factorisation de pO_K; par unicit´e, on a bien e₁ =e₂.

Enfin σ induit un isomorphisme OL/P1 ' OL/P2, doncf1 =f2.

3.2.3 Norme relative d’un id´eal

SoitL/K une extension de corps de nombres de degr´e netP un id´eal premier de OL. Posons

p=P∩ O_K et f =f(P/p). On appelle norme relative de l’id´eal P l’id´eal N_L/K(P) =p^f. Soit A un id´eal de O_L. Notons A =P^e1

1 . . .P^er

r la factorisation de A en id´eaux premiers de O_L. Posonsfi =f(Pi/p). On ´etend la d´efinition de la fa¸con suivante.

3.22 D´efinition (Norme relative d’un id´eal). — On appelle norme relative de l’id´eal A de

3.23 Proposition. — Soit L/K une extension galoisienne et σ₁, . . . , σ_n les K-automorphismes de L et A un id´eal de O_L. Alors

n Y i=1

σ_i(A) = N_L/K(A)O_L.

Preuve. — Par multiplicativit´e de la norme, il suffit de prouver le r´esultat pour les id´eaux premiers de O_L, supposons donc A premier. Posons p = A∩ O_K. D’apr`es le th´eor`eme 3.21, la d´ecomposition en produit d’id´eaux premiers de pO_L dans O_L s’´ecrit

pOL = (P1. . .Pr)^e

o`ue=e(P_i/p) pour n’importe queli. Posonsf =f(P_i/p), qui ne d´epend pas dei. Par le lemme 3.13, on a A∈ {P₁, . . . ,P_r}. Alors

n Y i=1

σ_i(A) = (P₁. . .P_r)^ef =p^fO_L = N_L/K(A)O_L, puisque Gal(L/K) agit transitivement sur les P_i.

3.24 Lemme. — Soit a un id´eal de O_K. Alors aO_L∩K =a.

Preuve. — Sia = 0, le r´esultat est clair. Supposons donc a 6= 0. On consid`ere l’id´eal fraction-nairea⁻¹. On a

OL=OKOL= (aa⁻¹)OL= (aOL)(a⁻¹OL), donc, d’apr`es le lemme 1.35,

O_K =O_L∩K = (aO_L)(a⁻¹O_L)∩K ⊃(aO_L∩K)(a⁻¹O_L∩K).

Puisque aOL∩K est un id´eal fractionnaire, il en d´ecoule a⁻¹OL∩K ⊂ (aOL∩K)⁻¹. D’autre part a⊂aO_L∩K, donc

(aO_L∩K)⁻¹ ⊂a⁻¹ ⊂a⁻¹O_L∩K, d’o`u (aO_L∩K)⁻¹ =a⁻¹ et aO_L∩K =a.

3.25 Proposition. — Soit L/K une extension galoisienne et x ∈ O_L. Alors N_L/K(xO_L) = N_L/K(x)O_K.

Preuve. — Soit σ₁, . . . , σ_n les K-automorphismes de L. D’apr`es la proposition pr´ec´edente N_L/K(xO_L)O_L = n Y i=1 σ_i(xO_L) = n Y i=1 O_Lσ_i(x) =O_L n Y i=1 σ_i(x) = N_L/K(x)O_L.

d’o`u d’apr`es le lemme

N_L/K(xO_L) = N_L/K(xO_L)O_L∩K = (N_L/K(x)O_K)O_L∩K = N_L/K(x)O_K.