Formes linéaires, Hyperplans

Soit E un espace vectoriel réel. Une forme linéaire surE est une application linéaire de E dansR. On appelledual deEet on noteE^∗ l’espace vectorielL(E,R)des formes linéaires surE.

Unhyperplan vectoriel deEest le noyau d’une forme linéairenon nulledeE.

Définition 3.21

Il nous arrivera de dire hyperplan pour hyperplan vectoriel.

Remarque 3.22. — SoitE unR-espace vectoriel de dimensionnet(~e₁, . . . ,~e_n)une base deE.

Soient a₁, . . . , a_n des nombres réels. Alors l’application qui à un vecteur ~u de coordonnées (x₁, . . . , x_n)associea₁x₁+···+a_nx_nest une forme linéaire.

Inversement soit φ: E →R une forme linéaire. Posons a_i =φ(~e_i) ∈R pour i ∈ {1, . . . , n}. Alors pour tout vecteur~ude coordonnées(x₁, . . . , x_n)on a les relations

φ(~u) =φ

‚ _n X

k=1

x_i~e_i

Œ

= Xn k=1

x_iφ(~e_i) = Xn k=1

a_ix_i.

En particulier, sii∈ {1, . . . , n}, on note~e_i^∗la forme linéaire qui à un vecteur associe sai-ème coordonnée dans la base(~e₁, . . . ,~e_n).

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. Un sous-espace vectoriel F de E est un hyperplan deEsi et seulement sidim(F) = dim(E)−1.

Proposition 3.23

Démonstration. — Notons tout d’abord qu’une forme linéaire non nulle a pour image un sous-espace vectoriel deRqui contient un élément non nul, elle est donc surjective. Par le théorème du rang, la dimension d’un hyperplan deEest doncdim(E)−1.

Réciproquement soitFun sous-espace vectoriel deEde dimensiondim(E)−1. On noten= dim(E)et on choisit une base(~e₁, . . . ,~e_n−1)deFque l’on complète en une base(~e₁, . . . ,~e_n)deE.

Rappelons que~e_n^∗ désigne la forme linéaire qui à un vecteur de E de coordonnées (x₁, . . . , x_n) dans la base (~e₁, . . . ,~e_n) associe sa dernière coordonnée x_n. Alors cette application~e_n^∗ vaut 0 pour les vecteurs~e₁, . . . ,~e_n−1 et vaut 1 sur le vecteur~e_n. Donc~e_n^∗ est une forme linéaire non nulle qui s’annule sur le sous-espace vectoriel F = Vect(~e₁, . . . ,~e_n−1). Par le théorème du rang dim(Ker(φ)) = dim(E)−1. CommeF ⊂Ker(φ)et que ces deux espaces ont même dimension, on obtient queF= Ker(φ).

Remarque 3.24. — Deux formes linéaires définissent le même hyperplan si et seulement l’une est un multiple de l’autre.

On peut généraliser la proposition précédente de la façon suivante.

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n. Soit F une partie de E et soit c ∈ {0, . . . , n}. La partieF est un sous-espace vectoriel de dimension n−csi et seulement s’il existe une application linéairesurjective φ:E→R^ctelle queF= Ker(φ).

Proposition 3.25

Démonstration. — Posonsr=n−c

Supposons queF soit un sous-espace vectoriel de dimension n−c. Soit(~e₁, . . . ,~e_r) une base deF, qu’on complète en une base(~e₁, . . . ,~e_n) deE. Soit alorsφ:E→R^c l’application qui à un vecteur~ude coordonnées (x₁, . . . , x_n)dans la base(~e₁, . . . ,~e_n)associe lec-uplet(x_r+1, . . . , x_n).

Vérifions que cette application est linéaire. Soient~u et~v des vecteurs de E, et soit λ ∈ R.

Notons(x₁, . . . , x_n)(resp.(y₁, . . . , y_n)) les coordonnées de~udans la base(~e₁, . . . ,~e_n)Alors~u+ λ~v a pour coordonnées(x₁+ λy₁, . . . , x_n+ λy_n)dans cette base donc

φ(~u+ λ~v) = (x_r+1+ λy_r+1, . . . , x_n+ λy_n) = (x_r+1, . . . , x_n) + λ(y_r+1, . . . , y_n) =φ(~u) + λφ(~v).

Démontrons maintenant l’inclusionF⊂Ker(φ). Soit~u∈F. Comme (~e₁, . . . ,~e_r)est une base de F, il existe (λ₁, . . . ,λ_r)∈R^r tel que~u=P_r

i=1λ_i~e_i. Donc les coordonnées de~u dans la base (~e₁, . . . ,~e_n)sont(x₁, . . . , x_r,0, . . . ,0)ce qui prouve queφ(~u) = (0, . . . ,0).

Inversement, soit~u∈Ker(φ). Soit(x₁, . . . , x_n) les coordonnées de~udans la base(~e₁, . . . ,~e_n).

Par définition deφet du noyau, on obtient l’égalité

(x_r+1, . . . , x_n) = (0, . . . ,0) Autrement dit,x_i = 0 pour i ∈ {r+ 1, . . . , n}. Donc~u=P_r

i=1x_i~e_i. Mais comme~e_i ∈F pour i∈ {1, . . . , r}, il en résulte que~u∈F.

Démontrons maintenant la réciproque. Supposons queF = Ker(φ) pour une application li-néaire surjectiveφ:E→R^c. Par la proposition 3.10, l’ensemble F est un sous-espace vectoriel deE. En outre, commeφest surjective,rg(φ) = dim(R^c). En appliquant le théorème du rang, on obtient que

dim(F) = dim(Ker(φ)) = dim(E)−rg(φ) =n−c.

Soit E un R-espace vectoriel et soit F un sous-espace vectoriel de E tel qu’il existe une application linéaire surjective deEdansR^ctelle queF= Ker(φ). Alors on dit queF est un sous-espace vectoriel decodimensioncdeE.

Terminologie 3.26

Remarques 3.27. — i) Un hyperplan vectoriel est donc un sous-espace de codimension 1.

ii) Par la proposition, un sous-espace F d’unR-espace vectoriel de dimension finie E est un sous-espace de codimensiondim(E)−dim(F).

Exemple 3.28. — Il peut être utile de comprendre que se donner une application surjective φ:E→R^cdontFest le noyau revient à se donner un système decéquations implicites pourF.

Vérifions cela sur un exemple.

Considérons le sous-espace vectorielDengendré par le vecteur(1,2,1)dansR³. Nous allons suivre la méthode décrite dans la preuve pour trouver une application linéaireφsurjective dont Dest le noyau et en déduire un système d’équations implicites pourD.

Comme le vecteur~f₁ = (1,2,1) est non nul, la famille(~f₁) est libre et forme une base de la droite vectorielleD. Rappelons qu’on peut compléter une famille libre en une base de l’espace simplement en rajoutant des vecteurs d’une base donnée de l’espace. Ici nous allons donc com-pléter la famille libre(f₁)en rajoutant des vecteurs de la base usuelle deR³. Posonsf₂= (1,0,0) etf₃= (0,1,0)et vérifions que la famille(f₁, f₂, f₃)est une famille génératrice deR³, ce qui im-pliquera que c’est une base deR³. Pour cela, soit(a, b, c)∈R³et démontrons qu’il s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs~f₁,~f₂ et~f₃. On veut donc trouver un triplet(x, y, z)∈R³ tel que

(19) x~f₁+y~f₂+z~f₃= (a, b, c) mais

x~f₁+y~f₂+z~f₃=x(1,2,1) +y(1,0,0) +z(0,1,0) = (x+y,2x+z, x).

Donc le triplet(x, y, z)vérifie (19) si et seulement s’il est solution du système





X + Y = a

2X + Z = b

X = c

qui a une unique solution (c, a−c, b−2c). Cela prouve donc que(f₁, f₂, f₃) est bien une base de R³ et que les coordonnées du triplet (a, b, c) dans la base (~f₁,~f₂,~f₃) sont (c, a−c, b−2c).

Il résulte de la preuve que D est le noyau de l’application linéaire de R³ dansR² donnée par (a, b, c)7→(a−c, b−2c).

Autrement ditDest donnée par le système d’équations implicites

§ X−Z = 0 Y−2Z = 0

À titre de vérification de nos calculs, on constate que le triplet (1,2,1) vérifie bien ces deux équations.

Si (~e₁, . . . ,~e_n) est une base de E, alors (~e₁^∗, . . . ,~e_n^∗) est une base de L(E,R) appelée base dualede(~e₁, . . . ,~e_n).

Proposition 3.29

Démonstration. — Cela résulte du fait que pour tout (a₁, . . . , a_n) ∈ Rⁿ on a la relation φ = P_n

i=1a_i~e_i^∗si et seulement sia_i =φ(~e_i)pouri∈ {1, . . . , n}.

Fiche de révision

SoientEetFdesR-espaces vectoriels. Uneapplication linéairedeEdansFest une applica-tionφ:E→Fqui vérifie les deux conditions suivantes :

(i) L’applicationφest compatible avec l’addition :

∀~u,~v∈E, φ(~u+~v) =φ(~u) +φ(~v);

(ii) L’applicationφest compatible avec la multiplication par un scalaire :

∀λ∈R,∀~u∈E, φ(λ~u) = λφ(~u).

Définition R.3.1

Le noyau d’une application linéaireφ:E→Fest défini par Ker(φ) ={x∈E|φ(x) = 0}. Définition R.3.2

Une application linéaire est injective si et seulement siKer(φ) ={0}. Proposition R.3.3

SoientEetF desR-espaces vectoriels. Soitφ:E→F une applicationlinéaire. On dit que l’applicationφest de rang fini si l’espace vectorielφ(E)est de dimension finie. On appelle alorsrang deφla dimension deφ(E)et on la noterg(φ).

Définition R.3.4

SoientEetFdesR-espaces vectoriels. Soitφ:E→F une application linéaire. On suppose que l’espaceEest de dimension finie. Alors l’applicationφest de rang fini et

dim(E) = dim(Ker(φ)) + rg(φ).

Théorème du rang R.3.5

Entraînement

3.1. Exercices

Exercice 3.1.Parmi les applications deR² dansR² définies par les relations qui suivent, dé-terminer lesquelles sont linéaires.

f₁(x, y) = (x+y, x−y) f₂(x, y) = (|x|+|y|,2) f₃(x, y) = (x,−y) f₄(x, y) = (xy, y) f₅(x, y) = (x−y+ 1, x) f₆(x, y) =€ 1

1 +x², 1 1 +y²

Š

pour tousx, y∈R.

Exercice 3.2.Pour chacune des applications ci-dessous, démontrer qu’elle est linéaire, et de-terminer son noyau, son image ainsi qu’une base de chacun de ces sous-espaces.

f₁: R² −→ R²

(x, y) 7−→ (2x+ 3y,3x−y)

f₂: R² −→ R²

(x, y) 7−→ (2x+ 3y,−4x−6y)

f₃: R³ −→ R

(x, y, z) 7−→ (2x+y+z)

f₄: R³ −→ R²

(x, y, z) 7−→ (x+y+z,2x+y−z) Exercice 3.3.Soitf une application linéaire deRⁿdansR^m.

1. Rappeler la définition de «f est injective » (resp. surjective, bijective).

2. (Question de cours) Démontrer quef est injective si et seulement siKer(f) ={0}. 3. On suppose dans cette question quen=m. Démontrer quef est injective si et seulement

si elle est surjective.

4. Démontrer que sif est injective alorsn6m.

5. Démontrer que sif est surjective alorsn>m.

6. Les réciproques des deux implications précédentes sont elles vraies ?

Exercice 3.4.Soient E et F des R-espaces vectoriels. Soit (~e₁, . . . ,~e_n) une base de E. Soit (~u₁, . . . ,~u_n) une famille de vecteurs F. On note φ l’unique application de E dansF telle que φ(~e_i) =~u_i pouri∈ {1, . . . , n}.

1. (Question de cours) Déterminer l’image par φd’un vecteur de coordonnées (x₁, . . . , x_n) dans la base(~e₁, . . . ,~e_n).

2. Démontrer queφest injective si et seulement si(~u₁, . . . ,~u_n)est une famille libre.

3. Démontrer que φest surjective si et seulement si(~u₁, . . . ,~u_n)est une famille génératrice deF.

Exercice 3.5.Soitφ:E→F une application linéaire. Soit(~u₁, . . . ,~u_n)une famille de vecteurs deE. La famille(φ(~u₁), . . . , φ(~u_n))est appeléel’imagede la famille(~u₁, . . . ,~u_n)par l’applicationφ.

1. Démontrer que l’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre.

2. Démontrer que l’image d’une famille génératrice par une application linéaire surjective est génératrice.

3. Démontrer qu’une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si elle envoie une base sur une base.

Exercice 3.6.SoientE unR-espace vectoriel de dimensionnetf un endomorphisme deE.

On définit par récurrence f^◦kde la façon suivante : f^◦0 =Id_E et, si n>1, f^◦n=f ◦f^◦(n−1). En particulier f^◦1 = f. On dit que f est nilpotente s’il existe un entier k> 1 tel que f^◦k est l’application constante nulle. L’ordre de nilpotence de f est alors le plus petit entier m>1tel quef^◦m= 0.

1. On suppose quef ◦f est l’application constante nulle. Démontrer queIm(f)⊂Ker(f).

2. Démontrer la réciproque.

3. On suppose queIm(f) = Ker(f). Démontrer que la dimensionnest un entier pair.

4. On suppose maintenant que n > 1 et quef est nilpotente d’ordre m. Démontrer qu’il existe un vecteur v ∈ E tel que f^◦(m−1)(v) 6= 0. Pour un tel vecteur v démontrer que (v, f(v), . . . , f^◦(m−1)(v))est libre.

5. En déduire que sif est nilpotente, alorsf^◦n= 0.

Exercice 3.7.Rappelons queR[X]désigne l’espace vectoriel des applications polynomiales de RdansR.

1. Démontrer que la dérivationD:f 7→f^′est un endomorphisme de l’espace vectorielR[X].

2. Déterminer son image.

3. Déterminer son noyau.

4. L’applicationDest-elle surjective, injective, bijective ?

5. En utilisant un raisonnement par l’absurde, déduire de la question précédente que l’espace vectorielR[X]n’est pas de dimension finie.

Exercice 3.8.Dans chacun des exemples suivants, justifier rapidement pourquoi la partie considérée est un sous-espace vectoriel de R² ou de R³, en donner la dimension et trouver une base du sous-espace vectoriel.

1. E={(x, y)∈R²|x+y= 0}. 2. F={(x, y)∈R²|x=y}.

3. G={(x, y, z)∈R³|x+y+z= 0}. 4. H={(x, y, z)∈R³|x=y=z}.

Exercice 3.9.Polynômes d’interpolation de Lagrange. Soitd∈N. On rappelle queR[X]_6d désigne l’ensemble des applicationsP :R →R telles qu’il existe des nombres réels (a₀, . . . , a_d) tels que

∀x∈R, P(x) = Xd k=0

a_kx^k.

On note t = (t₀, . . . , t_d) une famille de d+ 1 nombres réels deux à deux distincts. On note év_t l’application de R[X]_6d dans R^d+1 qui envoie une application P sur le (d+ 1)-uplet (P(t₀), P(t₁), . . . , P(t_d)).

1. Démontrer que(1, . . . , X^d)est une base deR[X]6d, quelle est la dimension de cet espace ? 2. Démontrer que év_t est linéaire.

3. On considère l’application polynomialeP_i donnée par

t7−→ Y

06k6d k6=i

t−t_k t_i−t_k (a) Déterminer év_t(P_i).

(b) Que peut-on en déduire sur l’application év_t? (c) Que peut-on dire de la famille(P₀, . . . , P_d)?

Exercice 3.10.Dans l’exercice 2.9, on a défini l’espace vectoriel R^(N) formé des suites de nombres réels(a_n)_n∈N tel que {n∈N|a_n6= 0}est fini. SoitP= (a_i)_i∈N un élément deR^(N). On note p ∈N un entier tel quea_k = 0 si k > p. On considère l’applicationf_P de Rdans R donnée par x 7→ Pp

i=0a_ixⁱ. Démontrer que l’application P 7→ f_P définit un isomorphisme d’espace vectoriel deR^(N)sur l’espace vectoriel des applications polynomiales deRdansR.

Exercice 3.11. 1. Démontrer que l’ensemble F des suites 3-périodiques forme un sous-espace vectoriel de l’sous-espace des suites de nombres réels.

2. Soitφ:F→R³ qui envoie la suite(u_n)_n∈Nsur(u₀, u₁, u₂). Démontrer queφest linéaire.

3. Démontrer qu’elle est bijective.

4. En déduire une base deF et donner sa dimension.

Problème 3.1.^∗On noteC²(R,R) l’ensemble des applicationsf :R→Rqui sont deux fois dérivables et dont la dérivée secondef^′′est continue. On notea, bdes nombres réels.

1. Démontrer que C²(R,R)est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel R^Rdes appli-cations deRdansR.

2. Démontrer que l’applicationf 7→f^′′+af^′+bf est linéaire.

On noteEle noyau de cette application linéaire.

3. Soitα∈R. À quelle conditiont7→e^αt appartient-elle à l’espaceE?

4. On considère l’application φ de E dans R² qui à une application f associe le couple (f(0), f^′(0)). Démontrer queφune application linéaire.

5. On suppose que l’équationX²+aX+b= 0a deux solutions réelles distinctes. Démontrer queφest surjective.

6. Soitf un élément du noyau deφ.

(a) Que vaut f^′′(0)?

(b) Démontrer qu’il existe une constante η <1 telle que pour tout x ∈ ]−η,η[, on ait

|f^′(x)|6|x|et|f(x)|6 ¹₂|x|². (On pourra éventuellement utiliser qu’une application dérivable dont la dérivée est positive sur un intervalle est croissante sur cet intervalle en l’appliquant à la différence entre des applications bien choisies).

(c) Notons C = |a|+|b|. Déduire de la question précédente que |f^′′(x)| 6 C|x| pour x∈]−η,η[.

(d) Démontrer par récurrence sur n que pour tout n ∈N et toutx ∈ ]−η,η[, |f(x)|6 Cⁿ|x|ⁿ⁺²

(e) Démontrer qu’il existe un intervalle contenant 0tel que la restriction def à I soit la fonction constante nulle

7. Soitf ∈Eeta∈RsoitT_a(f)l’applicationt7→f(t−a).

(a) Démontrer queT_a(f)∈E.

(b) Démontrer queT_aest linéaire. Quel est son noyau ? Quelle est la composéeT_−a◦T_a? Quelle est son image ?

(c) Exprimer simplementφ(T_a(f)).

8. soitf ∈Ker(φ). On considère

A={t∈R₊| ∀x∈[0, t[, f(x) =f^′(x) = 0}

(a) Démontrer que A = R₊ (On pourra raisonner par l’absurde et considérer la borne supérieure deA).

(b) Démontrer quef est l’application constante nulle.

9. Démontrer queφest injective.

10. Que peut-on en déduire sur la dimension de l’espaceE?

11. On suppose maintenant que l’équationX²+aX+bn’a pas de solutions réelles. Soitα +iθ une des deux solutions complexes.

(a) Donner l’autre solution complexe.

(b) Vérifier que l’applicationt7→e^αtcos(θt)appartient à l’espaceE.

(c) Donner dans ce cas une base de l’espace vectorielE.

12. Étudier le cas où l’équationX²+aX+bn’a qu’une solution.

Calcul matriciel

Emmanuel Peyre et Bernard Ycart

Cours

4.1. Matrices

Etant donnés deux entiers naturelsmetn, unematrice àmlignes etncolonnes à coefficients réels est un famille dem×n réels A= (a_i,j)₁6i6m

16j6n

où le premier indice i, appelé l’indice de ligneva de1 àm, et le second indicej, appelé indice de colonne va de1 àn. Une telle matrice est notée à l’aide d’un tableau rectangulaire

A= (a_i,j) =











a_1,1 ··· a_1,j ··· a_1,n

... ... ...

a_i,1 ··· a_i,j ··· a_i,n

... ... ...

a_m,1 ··· a_m,j ··· a_m,n









 .

Le nombre réel a_i,j est appelé lecoefficient d’indicei, jde la matrice A. L’ensemble des ma-trices àmlignes etncolonnes et à coefficients réels est notéM_m,n(R).

Définition 4.1

Exemple 4.2. — La matrice2×2dont les coefficients sonta_1,1= 1,a_1,2= 2,a_2,1= 3eta_2,2= 4 s’écrit

1 2 3 4

‹

4.2. Opérations sur les matrices

4.2.1. Structure d’espace vectoriel. — Munissons tout d’abord l’ensemble des matrices d’une structure d’espace vectoriel.

L’ensembleM

m,n(R)est muni d’une structure d’espace vectoriel réel de la manière suivante :

• Addition :SiA= (a_i,j)etB= (b_i,j)sont deux matrices deM_m,n(R), leur sommeA+B est la matrice(a_i,j+b_i,j).

• Multiplication par un scalaire :Si A= (a_i,j) est une matrice deM_m,n(R), et λest un réel, le produitλAest la matrice(λa_i,j).

Définition 4.3

Exemple 4.4. — Par exemple :



Les matrices dont les coefficients sont nuls sauf un qui vaut1vont donner une base de l’espace vectoriel des matrices, nous leur donnons une notation :

Soientietjdes entiers tels que16i6met16j6n. On noteE_i,jla matrice(m_j,k)₁6j6m 16k6n

oùm_i,j= 1etm_j,k= 0si(j, k)6= (i, j).

Notation 4.5

La famille des mn matrices (E_1,1, E_1,2, . . . , E_1,n, E_2,1, . . . , E_m,n) forme une base de l’espace vectorielM

m,n(R)appeléebase canonique.

Proposition 4.6

Démonstration. — Soit A = (a_i,j)₁6i6m 16j6n

une matrice et soit (λ_1,1, . . .λ_m,n) une famille de mn nombre réels. L’égalité

A= Xm

i=1

Xn j=1

λ_i,jE_i,j

équivaut aux relations

λ_i,j=a_i,j pouri∈ {1, . . . , m}etj∈ {1, . . . , n}.

Remarque 4.7. — On notera que dans cette base canonique, la coordonnée d’une matrice A relative au vecteurE_i,jest précisément le coefficienta_i,jd’indicei, jde la matrice.

4.2.2. Produit matriciel. — Nous allons maintenant définir une opération très importante pour les matrices, leproduit matriciel.

Soient m, n, ptrois entiers strictement positifs. SoitA = (a_i,j) une matrice deM

m,n(R) et soitB= (b_j,k)une matrice deM_n,p(R). On appelle produit matriciel deAparB la matrice C ∈ M_m,p(R) dont le terme général c_i,k est défini, pour tout i = 1, . . . , m et pour tout k∈1, . . . , ppar :

c_i,k= Xn

j=1

a_i,jb_j,k. Définition 4.8

Nous insistons sur le fait que le produitABde deux matrices n’est défini que si le nombre de colonnes deAet le nombre de lignes deBsont les mêmes.

Moyen mémnotechnique 4.9. — Au brouillon, pour effectuer ce produit, nous conseillons de placerBau-dessus du produit etAà sa gauche.



La matriceAa 3 lignes et 2 colonnes, la matriceBa 2 lignes et 4 colonnes. Le produitABa donc un sens : c’est une matrice à 3 lignes et 4 colonnes.

0 1 −1 −2

On prend donc la première ligne de la première matrice et on effectue le produit scalaire avec chacune descolonnesde la seconde matrice pour obtenir la première ligne de la matrice produit, et ainsi de suite.

Le produit matriciel a presque toutes les propriétés auxquelles vous êtes habitués d’un produit, sauf qu’il n’est pas commutatif.

Le produit matriciel possède les propriétés suivantes.

a) Associativité : Soient m, n, p, q des entiers naturels. Soient A ∈ M_m,n(R), B∈M_n,p(R)etC∈M_p,q(R). Alors

A(BC) = (AB)C.

b) Linéarité à droite: Soientm, n, pdes entiers. SoitA∈M

m,n(R)et soientBetC des matrices deM_n,p(R). Siλetµsont des nombres réels, alors

A(λB+ µC) = λAB+ µAC .

c) Linéarité à gauche: Soientm, n, pdes entiers, soientAetBdes matrices deM_m,n(R) et soitC∈M

n,p(R). Siλetµsont des nombres réels, alors (λA+ µB)C= λAC+ µBC . Proposition 4.10

Ces propriétés se démontrent à partir de la définition4.8.

4.2.3. La transposition. — Une dernière opération sur les matrices est la transposition, qui in-tervient notamment dans l’écriture des produits scalaires en termes de coordonnées.

Etant donnée une matriceA= (a_i,j)deM_m,n(R), sa transposée est la matrice deM_n,m(R) dont le coefficient d’ordre(j, i)esta_i,j.

Définition 4.11

Pour écrire la transposée d’une matrice, il suffit de transformer ses lignes en colonnes. Par exemple :

A=



 1 1

2 3

1 −1



 , ^tA=

 1 2 1 1 3 −1

‹ .

Observons que la transposée de la transposée est la matrice initiale.

t(^tA) =A .

La transposée d’un produit est le produit des transposées, mais il faut inverser l’ordre des facteurs.

Soientm, n, ptrois entiers strictement positifs. SoientA= (a_i,j)une matrice deM_m,n(R)et B= (b_j,k)une matrice deM

n,p(R). La transposée du produit deAparBest le produit de la transposée deBpar la transposée deA.

t(AB) =^tB^tA . Proposition 4.12

Exemple 4.13. — Par exemple, en reprenant les matricesAetBdéfinies ci-dessus :

 1 2 1

Remarque 4.14. — Observons que le produit d’une matrice par sa transposée est toujours défini.

Le résultat est une matricecarrée(autant de lignes que de colonnes).

Soitnun entier strictement positif etAune matrice carrée ànlignes et ncolonnes. On dit queAestsymétriquesi pour tousi, j= 1, . . . , n, ses coefficients d’ordrea_i,j eta_j,i sont égaux, ce qui est équivalent à dire queAest égale à sa transposée.

Définition 4.15

Le produit d’une matrice par sa transposée est toujours une matrice symétrique. En effet :

t(A^tA) =^t(^tA)^tA=A^tA .

4.2.4. Matrices carrées. — Les produits de matrices carrées de même taille sont bien définis : si AetBsont deux matrices ànlignes etncolonnes, les produitsABetBAsont tous deux définis et ils ont les mêmes dimensions queAetB. En général ils ne sont pas égaux. Par exemple,

 0 −1

Nous noterons simplementM_n(R)l’espace vectorielM_n,n(R)des matrices carrées ànlignes etncolonnes, à coefficients réels.

Parmi elles lamatrice identité, notéeI_njoue un rôle particulier.

I_n=

En effet, elle est l’élément neutre du produit matriciel : pour toute matriceA∈M_n,m(R), A I_n=I_mA=A .

On le vérifie facilement à partir de la définition4.8.

SoitAune matrice deM_n(R). On dit queAestinversibles’il existe une matriceBdeM_n(R) telle que

A B=B A=I_n.

Si la matrice Aest inversible, il existe une unique matriceB qui vérifie ces conditions ; on l’appellel’inverse de Aet on la noteA⁻¹.

Définition 4.17

Démonstration. — Démontrons que l’inverse, s’il existe, est nécessairement unique. En effet, soient B₁ et B₂ deux matrices telles que A B₁ = B₁A = I_n et A B₂ = B₂A = I_n. En utilisant

l’associativité, le produitB₁A B₂vautB₁(A B₂) =B₁I_n=B₁, mais aussi(B₁A)B₂=I_nB₂=B₂.

Nous verrons plus loin une méthode qui permet de savoir si une matrice est inversible, et de calculer son inverse quand elle l’est.

Il suffit de trouver une matriceB telle queA B=I_npour être sûr queA est inversible et que son inverse estB.

Soit Aune matrice deM_n(R). Supposons qu’il existe une matriceB telle queA B=I_n ou bienB A=I_n. AlorsAest inversible etB=A⁻¹.

Théorème 4.19

Démonstration. — Supposons qu’il existe une matriceBtelle queA B=I_n. Considérons l’appli-cation, deM_n(R)dans lui-même, qui à une matriceX associe le produitX A. D’après le point c) de la proposition 4.10, c’est une application linéaire, donc un endomorphisme de l’espace vectoriel M_n(R). Montrons qu’elle est injective, c’est-à-dire que son noyau ne contient que la matrice nulle. SiXA = 0, alors(XA)B = 0, mais (XA)B = X(AB) =XI_n= X par hypothèse : donc X = 0. Une application linéaire entre deux espaces de même dimension qui est injective est aussi surjective. Donc il existe une matrice X telle que XA=I_n. Il reste à vérifier que cette matrice estB. SiXA=AB=I_n, alorsX(AB) =X et(XA)B=B. D’où le résultat.

On procède de façon symétrique si BA = I_n, en considérant l’application qui à X associe AX.

SiAetBsont des matrices inversibles deM_n(R), leur produit est inversible.

Soient A et B deux matrices inversibles de M

n(R). Le produit AB est inversible et son inverse estB⁻¹A⁻¹.

Proposition 4.20

Démonstration. — Nous utilisons le théorème4.19, ainsi que l’associativité du produit : (B⁻¹A⁻¹)(AB) =B⁻¹(A⁻¹A)B=B⁻¹I_nB=B⁻¹B=I_n.

4.3. Coordonnées et matrices colonnes. — SoitEun espace vectoriel de dimensionm, qu’on munit d’une base (~e₁, . . . ,~e_m). Dans la suite, pour alléger les notations, on notera parfois e = (~e₁, . . . ,~e_m)cette base.

À tout vecteur~ude coordonnées(x₁, . . . , x_,), on peut associer la matrice deM_m,1(R) X =



 x₁

...

x_m





qu’on appelle aussi levecteur colonnedes coordonnées de~udans la base(~e₁, . . . ,~e_m).

Notation 4.21

Remarque 4.22. — L’application de E dansM_m,1(R)qui à un vecteur associe le vecteur co-lonne de ses coordonnées est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

On se souviendra que pour les matrices on écrit systématiquement les coordonnées en co-lonnespour représenter des vecteurs.

Soit(~u₁, . . . ,~u_k)une famille dekvecteurs. Alors la matrice de la famille(~u₁, . . . ,~u_k)dans la basee= (~e₁, . . . ,~e_m)est la matrice àmlignes etkcolonnes

Mat_e(~u₁, . . . ,~u_k) =







a_1,1 a_1,2 . . . a_1,k a_2,1 a_2,2 . . . a_2,k

... ... ...

a_m,1 a_m,2 . . . a_m,k





 Définition 4.23

dont la j-ème colonne est le vecteur colonne des coordonnées du vecteur~u_j dans la base (~e₁, . . . ,~e_m). Autrement dit, on a les relations

∀j∈ {1, . . . , k}, ~u_j= Xm i=1

a_i,j~e_i.

4.4. Matrices et applications linéaires. — L’introduction des matrices et du produit matriciel est en partie motivée par l’expression des applications linéaires dans des bases.

Soient E etF deux espaces vectoriels de dimension finie, munis respectivement des bases e= (~e₁, . . . ,~e_p)etf = (~f₁, . . . ,~f_q). Soitφune application linéaire deEdansF. Alors lamatrice deφdans les baseseetf est la matriceq×pàqlignes etpcolonnesdonnée par

Mat_e,f(φ) = Mat_f(φ(~e₁), . . . , φ(~e_p)).

Définition 4.24

Remarques 4.25. — i) D’après la proposition3.18une application linéaireφest déterminée par les images des vecteurs~e₁, . . . ,~e_p. Écrivons ces images dans la base~f₁, . . . ,~f_q: pour toutj= 1, . . . , p,

f(~e_j) = Xq

i=1

a_i,j~f_i

Les coordonnées a_i,j de ces vecteurs dans la base (~f₁, . . . ,~f_q), rangés en p colonnes, forment la matrice de l’applicationφ, relative aux bases considérées.

départ

f(~e₁) ··· f(~e_j) ··· f(~e_p) a_1,1 ··· a_1,j ··· a_1,p ~f₁

... ... ... ...

a_i,1 ··· a_i,j ··· a_i,p ~f_i arrivée

... ... ... ...

a_q,1 ··· a_q,j ··· a_q,p ~f_q

ii) Les opérations sur les applications linéaires se traduisent en des opérations analogues sur les matrices. Soientφ,ψdeux applications linéaires deEdansFetλ,µdeux réels. Si les matrices de φetψ(relatives aux mêmes bases au départ et à l’arrivée) sontAetB, alors la matrice deλφ+ µψ estλA+ µB.

iii) Compte tenu de la proposition 3.18, l’application qui a une application linéaire de E dansF associe sa matrice est bijective. Il résulte donc de la remarque précédente que l’espace vec-torielL(E, F)des applications linéaires deEdansF est isomorphe à l’espace vectorielM

iii) Compte tenu de la proposition 3.18, l’application qui a une application linéaire de E dansF associe sa matrice est bijective. Il résulte donc de la remarque précédente que l’espace vec-torielL(E, F)des applications linéaires deEdansF est isomorphe à l’espace vectorielM

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