Exercice corrigé

F={(x.y.z.t)∈R⁴|x+y+ 2z+t= 0}. 1. Démontrer queF est un sous-espace vectoriel deR⁴.

2. Expliquer pourquoidim(F)63.

3. Donner une description paramétrique deF.

4. Donner une base deFet déterminer sa dimension

Dans cette résolution de l’exercice, ce qui est écrit en bleu correspond à des commentaires sur la résolution, mais ne fait pas partie de ce qu’il faut écrire pour résoudre correctement l’exercice.

1. Il convient de vérifier les trois conditions qui caractérisent un sous espace vectoriel (i) Comme0 + 0 + 2×0 + 0 = 0, le quadruplet(0,0,0,0)appartient àF.

(ii) Vérifions queF est stable par addition. Soient(x, y, z, t)∈F et(x^′, y^′, z^′, t^′)∈F. Par définition deF, on a

x+y+ 2z+t= 0 et x^′+y^′+ 2z^′+t^′= 0 Par conséquent

(x+x^′) + (y+y^′) + 2(z+z^′) +t+t^′= (x+y+ 2z+t) + (x^′+y^′+ 2z^′+t^′) = 0, ce qui prouve que

(x, y, z, t) + (x^′, y^′, z^′, t^′) = (x+x^′, y+y^′, z+z^′, t+t^′)∈F.

(iii) Vérifions queF est stable par multiplication par un scalaire. Soit(x, y, z, t)∈F et λ∈Ralorsx+y+ 2z+t= 0et donc

λx+ λy+ 2λz+ λt= λ(x+y+ 2z+t) = 0.

Doncλ(x, y, z, t) = (λx,λy,λz,λt)∈F

On finit avec la conclusion.DoncFest un sous-espace vectoriel deR⁴.

2. CommeFest un sous-espace vectoriel deR⁴qui est de dimension4, on a quedim(F)64.

Mais sidim(F) = 4, alorsF=R⁴. Or le quadruplet(1,0,0,0)n’appartient pas àF, puisque 1 + 0 + 2×0 + 0 = 16= 0. Doncdim(F)6= 4etdim(F)63.

3. Donner une description paramétrique deFrevient à résoudre le système linéaire des équa-tions qui définissentFpour exprimer les variables principales en termes des variables libres.

L’équation

X+Y+ 2Z+T= 0 équivaut à l’équation

X=−Y−2Z−T Donc

F={(−a−2b−c, a, b, c),(a, b, c)∈R³}.

4. La question précédente donne en fait une bijection deR³ surF; l’idée pour trouver une base deFest de regarder les vecteurs deFqui correspondent aux vecteurs de la base usuelle de R³. Autrement dit on regarde les trois vecteurs deF obtenus lorsque le triplet(a, b, c) vaut(1,0,0),(0,1,0)et(0,0,1)

Par la question précédente, les vecteurs ~f₁ = (−1,1,0,0), ~f₂ = (−2,0,1,0) et~f₃ = (−1,0,0,1) sont des vecteurs de F. Démontrons que la famille (~f₁,~f₂,~f₃) est libre. Soit (x, y, z)∈R³ tel quex~f₁+y~f₂+z~f₃= 0. Alors

x(−1,1,0,0) +y(−2,0,1,0) +z(−1,0,0,1) = 0 c’est-à-dire

(−x−2y−z, x, y, z) = (0,0,0,0).

Par conséquentx=y=z= 0, ce qui prouve que la famille(~f₁,~f₂,~f₃)est libre.

Comme (~f₁,~f₂,~f₃) est une famille libre de vecteurs de F, on obtient que dim(F)>3.

Or par la question 2, dim(F)63, on obtient donc dim(F) = 3et(~f₁,~f₂,~f₃)est une base deF.

2.2. Exercices

Exercice 2.2. 1. Démontrer queZ, muni de l’addition est un groupe abélien.

2. Démontrer que l’ensemble des entiers naturelsNmuni de l’addition possède un élément neutre, mais n’est pas un groupe.

3. SoitX un ensemble.

(a) Démontrer que l’ensembleS

X des bijections deX surX, est un groupe pour la com-position des applications.

(b) On suppose que X contient au moins trois éléments distincts. Démontrer que le groupeS

X n’est pas abélien.

Exercice 2.3.Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R²? (justifier la réponse)

1. A={(x, y)∈R²|x6y} 2. B={(x, y)∈R²|xy= 0} 3. C={(x, y)∈R²|x=y} 4. D={(x, y)∈R²|x+y= 1} 5. E={(x, y)∈R²|x²−y²= 0} 6. F={(x, y)∈R²|x²+y²= 0}

Exercice 2.4.Parmi les sous-ensembles suivants de l’espace vectorielR^Ndes suites de nombres réels, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

1. L’ensembleBdes suites bornées.

2. L’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang.

3. L’ensemble des suites constantes à partir d’un certain rang.

4. L’ensemble des suites décroissantes à partir d’un certain rang.

5. L’ensemble des suites convergeant vers0.

6. L’ensemble des suites monotones.

7. L’ensemble des suites dont la valeur est61à partir d’un certain rang.

8. L’ensemble des suites3-périodiques.

9. L’ensemble des suites périodiques de période3.

10. L’ensemble des suites périodiques.

Exercice 2.5.Parmi les familles suivantes de vecteurs deR³, déterminer les quelles sont géné-ratrices et lesquelles sont libres (justifier les réponses données).

1. ((1,1,0),(0,1,1)),

2. ((0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)), 3. ((0,1,−1),(1,0,−1),(1,−1,0)), 4. ((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)),

5. ((0,0,1),(0,1,1),(1,1,1),(1,2,1)).

Exercice 2.6.Parmi les familles suivantes de vecteurs deR⁴, déterminer les quelles sont géné-ratrices et lesquelles sont libres (justifier les réponses données).

1. ((0,1,−2,1),(1,−1,0,3),(−2,7,−10,−1)),

2. ((0,1,−2,1),(1,−1,0,3),(−1,4,−6,0)), 3. ((0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,1,1)), 4. ((0,1,−1,0),(1,0,−1,0),(1,−1,0,0),(0,0,0,1)), 5. ((1,1,1,2),(1,1,2,1),(1,2,1,1),(2,1,1,1)).

Exercice 2.7.Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réelsa etbpour que chacune des familles suivantes soient des bases deR³.

1. ((1,1,1),(0, a,1),(0,0, b)), 2. ((1,0,1),(a, b,1),(b, a,1)), 3. ((1, a, b),(a,1, a),(b, b,1)), 4. ((a, a, b),(a, b, a),(b, a, a)), 5. ((0, a, b),(a,0, b),(a, b,0)).

Exercice 2.8.Les familles suivantes deR^Rsont-elles libres ? 1. (f₁:x7→cos(x), f₂:x7→sin(x), f₃:x7→1),

2. (f₁:x7→cos²(x), f₂:x7→cos(2x), f₃:x7→1), 3. (f₁:x7→ |x−1|, f₂:x7→ |x|, f₃:x7→ |x+ 1|),

Exercice 2.9.Pour tout entieri∈N, on notee_i la suite de nombre réels(δ_i,n)_n∈Noù δ_i,j=

¨1sii=j, 0sinon.

1. Démontrer que, pour tout n∈N, la famille (e₁, . . . , e_n) est une famille libre de l’espace vectorielR^N.

2. L’espace vectorielR^Nest-il de dimension finie ?

3. On définit R^(N) comme l’ensemble des suites de nombres réels (u_n)_n∈N telles que l’en-semble{n∈N|u_n6= 0}est fini.

(a) Démontrer queR^(N)est un sous-espace vectoriel deR^N. (b) Ce sous-espace vectoriel est-il de dimension finie ?

Exercice 2.10.Montrer par récurrence que les familles suivantes de n vecteurs de R^R sont libres (On pourra utiliser la dérivation).

1. (f_k:x7→sin(kx))_16k6n,

2. (f_k:x7→e^λkx))_16k6noùλ₁, . . . ,λ_nsont des nombres réels deux à deux distincts.

Applications linéaires

Emmanuel Peyre

Cours

3.1. Définition. — Les applications linéaires sont les applications entre espaces vectoriels qui sont compatibles avec la structure des espaces vectoriels.

SoientEetFdesR-espaces vectoriels. Uneapplication linéairedeEdansFest une applica-tionφ:E→Fqui vérifie les deux conditions suivantes :

(i) L’applicationφest compatible avec l’addition :

∀~u,~v∈E, φ(~u+~v) =φ(~u) +φ(~v);

(ii) L’applicationφest compatible avec la multiplication par un scalaire :

∀λ∈R,∀~u∈E, φ(λ~u) = λφ(~u).

Définition 3.1

Remarques 3.2. — i) On peut vérifier simultanément les conditions (i) et (ii) en vérifiant la condition :

∀λ∈R,∀~u,~v∈E, φ(~u+ λ~v) =φ(~u) + λφ(~v).

En effet en prenantλ = 1dans cette condition, on obtient la condition (i) et en prenant~u= 0 on obtient la condition (ii).

ii) Notons queφ(0) =φ(0+0) =φ(0)+φ(0). Doncφ(0) =φ(0)−φ(0) = 0. La définition donne également les égalitésφ(−~u) =φ((−1)~u) = (−1)φ(~u) =−φ(~u).

Par récurrence sur l’entiern, on déduit également des conditions (i) et (ii), que si~u₁, . . . ,~u_n Rⁿ→El’application définie par

φ(x₁, . . . , x_n) = Xn k=1

x_k~u_k.

Cette application, qui intervient notamment dans la proposition 2.30, est une application li-néaire. En effet, soient(x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ,(y₁, . . . , y_n)∈Rⁿetλ∈R. Alors

Soit E un R espace vectoriel. Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dansE.

Terminologie 3.4

3.2. Opérations sur les applications linéaires

SoientE,F etG desR-espaces vectoriels ; soientφ:E→F etψ :F→G des applications linéaires. Alors la composéeψ◦φ:E→G est également une application linéaire.

Proposition 3.5

Démonstration. — Soient~uet~vdes vecteurs deEetλ∈R, alors

ψ◦φ(~u+ λ~v) = ψ(φ(~u+ λ~v)) = ψ(φ(~u) + λφ(~v)) = ψ(φ(~u)) + λψ(φ(~v)) = ψ◦φ(~u) + λψ◦φ(~v), ce qui prouve la linéarité de l’applicationψ◦φ.

SoientEetF desR-espaces vectoriels. Soitφ:E→F une application linéaire. Siφest une applicationbijectivealors l’application réciproqueφ⁻¹est également linéaire.

Proposition 3.6

Démonstration. — Soient~u,~vdes vecteurs deFet soitλ∈R. On a les égalités φ⁻¹(~u+ λ~v) =φ⁻¹€

φ(φ⁻¹(~u)) + λφ(φ⁻¹(~v))Š

=φ⁻¹€

φ φ⁻¹(~u) + λφ⁻¹(~v)Š

=φ⁻¹(~u) + λφ⁻¹(~v).

Unisomorphisme d’espaces vectorielsest une application linéaire qui est bijective.

Des espaces vectoriels réelsE etF sont ditsisomorphess’il existe un isomorphisme d’es-paces vectoriels deEsurF.

Définition 3.7

Remarques 3.8. — i) On notera que la composée de deux isomorphismes d’espaces vectoriels est également un isomorphisme, et, par la proposition précédente, que l’application réciproque d’un isomorphisme d’espaces vectoriels est également un isomorphisme.

ii) Un isomorphisme d’espaces vectoriels préserve les propriétés des familles de vecteurs. En effet soitψ :E→Fun isomorphisme d’espaces vectoriels et soient~u₁, . . . ,~u_m des vecteurs deE.

Si la famille(~u₁, . . . ,~u_m)est libre (resp. génératrice, resp. une base), alors il en est de même de la famille(ψ(~u₁), . . . ,ψ(~u_m)) En effet considérons l’applicationφ:R^m→E associée à la famille (~u₁, . . . ,~u_m)comme dans l’exemple3.3. Alors la composéeψ◦φest l’application linéaire associée à la famille(ψ(~u₁), . . . ,ψ(~u_m)). Il résulte de la proposition2.30que si(~u₁, . . . ,~u_m)est libre (resp.

génératrice, une base) alors φ est injective (resp. surjective, bijective) ; donc ψ◦φ est injective (resp. surjective, bijective) et donc(ψ(~u₁), . . . ,ψ(~u_m))est libre (resp. génératrice, une base).

iii) En particulier, siEest de dimension finie etFun espace vectoriel isomorphe àE, alorsFest de dimension finie etdim(F) = dim(E). Nous en verrons une réciproque dans le théorème3.20.

SoientE etF des R-espaces vectoriels. L’ensemble L(E, F)des applications linéaires deE dansF est un sous-espace vectoriel de l’espaceF^E des applications deEdansF.

Proposition 3.9

Démonstration. — L’application constante de valeur nulle est linéaire. Soientφ₁ etφ₂ des appli-cations linéaires deEdansF et soient~u,~v∈Eetλ∈Ralors

(φ₁+φ₂)(~u+ λ~v) =φ₁(~u+ λ~v) +φ₂(~u+ λ~v)

=φ₁(~u)+λφ₁(~v)+φ₂(~u)+λφ₂(~v) =φ₁(~u)+φ₂(~u)+λ(φ₁(~v)+φ₂(~v)) = (φ₁+φ₂)(~u)+λ(φ₁+φ₂)(~v) On vérifie de manière similaire que siφ∈L(E, F)etλ∈R, alorsλφ∈L(E, F).

3.3. Applications linéaires et sous-espaces, noyau et image. — Les application linéaires