3.3 Gravitation universelle
3.3.3 Forces fondamentales et forces macroscopiques
Les progrès de la physique sont marqués par une réduction dans le nombre des lois fondamentales et par une compréhension de phénomènes de plus en plus complexes en fonction de ces lois fondamentales. Au cours du XXe siècle, on est arrivé à une compréhension du monde microscopique basée sur l’existence dequatre forces ditesfondamentales :
1. La force de gravité. Il s’agit de l’archétype de la force newtonienne. Les physiciens ont naturellement tenté de comprendre tous les phénomènes naturels en fonction de forces modelées sur la force de gravité. Cependant, la théorie de Newton est maintenant considérée comme un cas limite (faibles vitesses et faibles champs) de la théorie de la relativité générale d’Einstein (1915), la théorie “moderne” de la gravitation.
2. La force électromagnétique. Le XIXe siècle fut le siècle de l’électricité. Les forces impliquant des charges statiques sont décrites quantitativement depuis Coulomb (1785) et les forces exercées par des courants électriques ont été étudiées quantitativement par Ampère et Faraday. On a longtemps tenté de décrire les
3. Dans cette définition opérationnelle, on demande que la masse soit infinitésimale pour que son effet sur les autres masses soit négligeable.
forces mutuelles de charges en mouvement par une loi de force précise ne dépendant que de la position et des vitesses des charges, mais on s’est aperçu que ce n’était ni pratique, ni possible d’ailleurs. Les forces électromagnétiques sont donc essentiellement décrites à l’aide des concepts de champ électrique et champ magnétique.
3. La force nucléaire forte. C’est la force responsable de la cohésion des protons et neutrons dans les noyaux. Plus fondamentalement, c’est la force qui lie les quarks. La décrire dans le langage classique est malheureusement inutile, car les phénomènes impliqués se produisent à des échelles de grandeur (ou d’énergie) qui demandent une description quantique. Comme la mécanique quantique n’est pas formulée à l’aide de la notion de force mais plutôt à l’aide du concept d’énergie, il est plus juste de parler d’interaction forte dans ce cas. La théorie fondamentale qui décrit cette interaction est la chromodynamique quantique.
4. La force nucléaire faible. La manifestation la plus courante de cette force est la désintégration bêta, ainsi que la réaction de fusion proton +proton dans le soleil. L’interaction faible, comme l’interaction forte, n’est pas descriptible adéquatement dans le langage newtonien. Dans le modèle standard des particules élémentaires, cette interaction est étroitement reliée à l’interaction électromagnétique, mais ses effets sur des particules de basse énergie sont beaucoup plus faibles. C’est cependant grâce à cette faiblesse que le soleil ne s’est pas consumé avec la rapidité d’une bombe H et que la vie a eu le temps d’apparaître. . . Un grand nombre de physiciens tentent toujours d’élaborer une théorie unifiée de toutes les forces fondamentales, mais à ce jour une telle théorie n’a pu être achevée au point d’être confirmée par l’expérience.
La force de gravité est la seule qui se manifeste de manière simple à notre échelle et c’est aussi la plus faible de toutes. Mais, parce qu’elle est strictement additive, elle prend de plus en plus d’importance à mesure que des objets petits sont assemblés pour former des objets plus grands, et elle finit par devenir la force dominante de l’Univers.
Les forces électromagnétiques sont les plus importantes à notre échelle, car elles sont à l’origine de la structure atomique, de la liaison chimique, des forces intermoléculaires, etc. Bref, les forces électromagnétiques sont à la base desforces macroscopiques. Cependant, vu l’imposante chaîne de complexité qui part de l’électron pour aboutir à un objet ordinaire, il est illusoire de vouloir décrire précisément les forces macroscopiques en fonction des forces électromagnétiques élémentaires. On adopte plutôt une attitudephénoménologique, qui permet d’étudier des problèmes impliquant des forces macroscopiques sans se soucier de leur origine précise.
C’est ce qui sera fait dans le chapitre suivant.
3.4 Problèmes
Question 3.1
Un muletier, à qui on a expliqué la troisième loi de Newton, n’arrive pas à y croire : “si mon mulet tire ma charrette avec une forceF, cela signifie que ma charette tire mon mulet avec une force égale et opposée.
Comment ma charette peut-elle avancer si les deux forces se compensent exactement ?” Expliquez-lui clairement d’où vient sa confusion et comment la résoudre.
Question 3.2
On met sur une balance une cage dans laquelle un oiseau se tient sur un perchoir. Soudainement, l’oiseau se met à voler dans sa cage. La mesure de la balance change-t-elle ? On refait l’expérience avec un aquarium contenant un poisson rouge. La mesure change-t-elle lorsque le poisson repose au fond de l’aquarium ? Expliquez.
Problème 3.1
Une particule de massemest soumise à une force sinusoïdale : F=Csin(ωt)ex oùC est une constante.
A Déduisez une expression pour la positionr(t)de la particule en fonction du temps et en fonction de sa vitesse initiale (à t=0)v0et de sa position initialer0.
B Faites un graphique de x(t)en supposant quev0=0etr0=0. Problème 3.2
Deux particules de massesmetM sont en orbite circulaire l’une par rapport à l’autre en raison d’une force d’attraction mutuelle de grandeurF qui ne dépend que de la distance Rqui les sépare. La fréquence angulaire de l’orbite estω. Démontrez que
R= F ω2
µ1 m+ 1
M
¶
Problème 3.3
Un type d’accélérateur de particules chargées fonctionne de la manière suivante : un champ électrique alternatif est appliqué dans une longue cavité et accélère les électrons qui y pénètrent par une extrémité.
Comme le champ change de direction deux fois par période, il ne peut pas accélérer les particules toujours dans la même direction ! Pour remédier à ce problème, on aménage des cavités plus petites à l’intérieur de la cavité principale. Le rôle de ces petites cavités est d’écranter le champ électrique quand il est dans la mauvaise direction : lorsque les particules pénètrent dans ces petites cavités, aucune force ne s’exerce sur elles ; lorsqu’elles en ressortent, le champ électrique est de nouveau dans la bonne direction pour les accélérer (voir la figure ci-dessous). Pour que cela fonctionne, il faut placer les petites cavités aux bons endroits et leur donner la bonne longueur. Supposons qu’on placeN petites cavités, de longueursLi (i=1,2,...,N), aux positionsxi. Pour simplifier, supposons aussi que le champ électriqueE=Eex est uniforme et qu’il se retourne brusquement au bout d’une demi-périodeT, comme si sa dépendance temporelle était celle d’une onde carrée.
Cette force donne aux particules une accélération constantea=aex lorsqu’elles ne sont pas dans les cavités. À l’intérieur de laie cavité, la vitessevi des particules est constante.
Trouvez unerelation de récurrencepermettant de calculer xi,Li etvi en fonction dexi−1,Li−1etvi−1. Cette relation permet de déterminer les positions et longueurs de toutes les cavités, en supposant que les particules ont une vitesse pratiquement nulle quand elles pénètrent dans l’accélérateur.
0 x1
L1 L2 L3 L4
x2 x3 x4
etc...
a
entrée des particules
Problème 3.3
Problème 3.4
Considérez un systèmeS1contenantN1particules de massesmi, à des positionsri (i=1,...,N1). La masse totale de ce système estM1et la position de son centre de masse estR1. Considérez ensuite un autre système contenant N2 particules de masses mi, à des positions ri (i=N1+1,...,N1+N2). La masse totale de ce système estM2et la position de son centre de masse estR2. Démontrez que le centre de masse du système totalS1∪S2est
Rcm=M1R1+M2R2 M1+M2
Autrement dit, le centre de masse associé à l’union de deux ensembles de particules est simplement donné par le centre de masse des deux ensembles comme si chacun d’entre eux était remplacé par son propre centre de masse.
Problème 3.5
Un objet de densité uniformeρa la forme d’un demi-disque de rayonR et d’épaisseurε. Le centre de masse est évidemment situé le long de la ligne médiane, tel qu’indiqué sur la figure par le point, mais à quelle hauteur a? Pour répondre à cette question, découpez l’objet en languettes horizontales de largeur dy et trouvez le centre de masse de l’ensemble de ces languettes.
y
a
dy Problème 3.5
Problème 3.6
Un hémisphère de rayonR, de densité homogène, est posé à plat sur le sol. Calculez la position de son centre de masse. Supposez que l’axe de l’hémisphère coïncide avec l’axe des z et que le plan sur lequel repose l’hémisphère coïncide avec le planz=0.
Problème 3.7 : Centre de masse d’un prisme généralisé
Un objet de densité uniforme a la forme d’une prisme généralisé : sa section sur un plan à z constant a toujours la même forme, sauf pour sa taille qui diminue de manière linéaire enz jusqu’à une hauteur z=h où l’objet se termine par un point. Une pyramide à base carrée en est un exemple. Un cône circulaire, droit ou oblique, en est un autre. Quelle est la hauteur du centre de masse d’un tel objet, par rapport à sa base ?
Problème 3.8
On pose un sablier sur une balance très précise. Y a-t-il une variation du poids mesuré du sablier entre le moment où le sable s’écoule et le moment où il est complètement dans la partie inférieure du sablier ? Expliquez.
Problème 3.9
Considérez trois corps ponctuels de massesmi (i=1,2,3) situés aux sommets d’un triangle équilatéral de côté d. Les trois objets exercent les uns sur les autres une force gravitationnelle.
A Si on place l’origine au centre de masse (cercle blanc sur la figure), montrez que la forceFi totale exercée sur l’objet noi est
Fi= −GmiMtot.
d3 ri
oùri est le vecteur position de l’objet noi etMtot.=m1+m2+m3est la masse totale des trois objets.
B Montrez que, dans ces conditions, il est concevable que les trois objets suivent une trajectoire circulaire, tout en gardant intact le triangle qu’ils forment. Exprimez la fréquence angulaireωde ce mouvement circulaire en fonction deMtot.,Getd seulement.
C Où intervient le fait que les trois objets doivent être placés aux sommets d’un triangle équilatéral ? Pourrait-on avoir un phénomène similaire avec quatre objets situés aux sommets d’un carré ?
D Selon vous, peut-on répéter l’exercice en considérant non pas un triangle équilatéral, mais quatre objets situés aux sommets d’un tétraèdre ? Une solution où les quatre objets sont en orbite circulaire est-elle possible dans ce cas ?
r1 d
m1 m2
m3
r2 r3
Problème 3.9