(5.6) Considérons un objet lancé du sol (z=0) à la verticale avec une vitesse initialev0. On demande de déterminer la hauteur maximaleh atteinte par l’objet. L’énergie de l’objet est au départ (z=0) purement cinétique : E=12mv20. Au sommet de sa course (z=h) l’énergie est purement potentielle carv=0à cet endroit et donc E=mg h. Comme l’énergie est toujours la même, on trouve
1
2mv02=mg h=⇒ h=v20
2g (5.7)
Exemple 5.2 : Énergie potentielle élastique
Considérons maintenant un ressort de constantek susceptible d’étirement ou de compression dans la direction x et choisissons l’origine au point d’équilibre du ressort. La force exercée sur une massemattachée au ressort est alorsF(x)= −kx (le signe−vient de ce que la force s’oppose au déplacement). La définition (5.1) entraîne alors
U(x)= − Z
(−kx)dx=12kx2 (5.8)
et l’énergie totale de la particule est
E=12mv2+12kx2 (5.9)
Supposons par exemple qu’un ressort soit comprimé d’une longueurd et ensuite relâché. On désire connaître la vitesse maximalevmaxde l’objet lors de son oscillation. Il suffit alors d’égaler l’énergie de l’objet au maximum de la compression, alors quev=0, à l’énergie de l’objet lorsquex=0, quand l’énergie potentielle est minimale et l’énergie cinétique maximale. On trouve alors
E=12kd2=12mv2max =⇒ vmax= sk
md=ωd (5.10)
oùωest la fréquence d’oscillation naturelle du ressort.
5.2 Conservation de l’énergie en trois dimensions
Nous allons maintenant généraliser la notion d’énergie potentielle au cas d’une particule se déplaçant en plus d’une dimension, en particulier en trois dimensions.
5.2.1 Forces conservatives
Supposons encore que la particule subit l’influence d’une forceF(r)– la notation vectorielle est rétablie – qui ne dépend que de la position de l’objet et non de sa vitesse ou du temps. On qualifie cette force deconservative si le vecteurFest le gradient d’une fonction :
F= −∇U(r) (5.11)
(l’annexeCexplique la notion de gradient). La fonctionU(r)est encore appelée lepotentielassocié à la force F, ou encore l’énergie potentiellede la particule.
L’énergiede la particule est toujours définie par
E=K+U(r) K=1
2mv2 (5.13)
sauf que l’énergie cinétique fait intervenir le carré de la grandeur de la vitesse,v2, et non une seule composante comme en dimension un. Pour démontrer queE est conservée, il suffit encore d’en calculer la dérivée par rapport au temps et de constater qu’elle s’annule :
dE
Notons que nous avons encore supposé dans ce calcul que l’énergie potentielleU ne dépend pasexplicitement du temps, mais qu’elle ne varie dans le temps que parce que la positionrde la particule varie. Dans le cas contraire, par exemple si l’objet qui produit la forceFse déplace, le calcul ci-haut est inapplicable et doit être généralisé de manière appropriée (nous reviendrons sur cette question plus bas). Notons aussi que nous avons calculé la dérivée par rapport au temps deU par la règle d’enchaînement :
dU
La relation dE/dt=0constitue la loi deconservation de l’énergie, démontrée ici pour une particule dans un champ de force externe dérivé d’un potentiel.
D’après la relation (5.11), le potentiel n’est défini qu’à une constante additive près : ajouter une constante au potentiel ne change pas la force qui en découle. Choisir cette constante revient à choisir un point dans l’espace où le potentiel s’annule, et constitue une convention.
Notons tout de suite la différence essentielle entre les cas unidimensionnel et tridimensionnel : en une dimension, toute forceF(x)qui ne dépend que de la coordonnéexpossède un potentiel, défini à une constante additive près par l’intégrale (5.1). Par contre, en dimensionD>1, il n’est pas garanti que la forceF(r)dérive d’un potentiel : dans l’affirmative, la force est qualifiée deconservative, mais le contraire est mathématiquement possible. Plus précisément, on démontre qu’un champ de force F(r) est conservatif si et seulement si la condition suivante est respectée :
En analyse vectorielle, cette condition revient à demander que lerotationneldu champ vectorielF(r)s’annule.
En pratique, cette condition est le plus souvent respectée. L’exception notable est le phénomène d’induction électromagnétique, où un champ magnétique qui varie dans le temps induit un champ électrique qui ne respecte pas cette condition.3
3. Les champs électrique et magnétique contiennent aussi une certaine énergie et c’est la somme de cette énergie des champs et de
5.2.2 Forces centrales
Une force est qualifiée de centrale si elle est toujours dirigée dans la direction radialeer (en coordonnées sphériques, cf. AnnexeB) et qu’elle ne dépend pas des angles. Autrement dit, une telle force s’exprime comme suit :
F(r)=F(r)er (5.17)
Les forces centrales sont toujours conservatives et le potentiel associé est donné par l’expression suivante : U(r)=
Z r0
r F(r0)dr0 (5.18)
La constanter0indique le zéro de l’énergie potentielle. Dans certains cas, on peut choisirr0= ∞, dans d’autres, r0=0, etc. En effet, le calcul du gradient en coordonnées sphétiques donne
F= −∇U= −∂U
∂rer=F(r)er (5.19)
Remarque : toutes les forces centrales sont conservatives. En revanche, une force peut ne pas être centrale et être conservative : le caractère central d’une force est une condition suffisante, mais non nécessaire. L’exemple le plus simple d’une force non centrale mais conservative est la somme de deux ou plusieurs forces centrales avec des centres d’attractions différents. Dans ce cas, la force nette n’est pas toujours dirigée vers le même point, mais elle dérive quand même d’un gradient : le potentiel de la force totale est la somme des potentiels des différentes forces centrales en cause.
Exemple 5.3 : Force de gravité
La force gravitationnelle créée par un objet de masse M, fixe à l’origine, sur un objet de masse m à une distancer de l’origine est un exemple de force centrale :
F(r)= −GMm
r2 er (5.20)
Le potentiel associé se calcule comme indiqué ci-haut, avecr0→ ∞ : U(r)= −
L’énergie totale d’une particule de massemdans le champ gravitationnel fixe d’un objet de masseM est donc E=1
2mv2−GMm
r (5.22)
Le choix de l’infini comme point de référence est naturel dans ce cas-ci, parce que la force gravitationnelle diminue suffisamment rapidement avec la distance. Ainsi, un objet infiniment éloigné d’un autre peut être considéré comme libéré de son influence gravitationnelle et il est alors naturel d’y associer le zéro de l’énergie potentielle.
Exemple 5.4 : Force électrique
La forme mathématique de la force électrique est très semblable à celle de la force gravitationnelle. On voit immédiatement que l’énergie potentielle électrique d’une chargesq1en présence d’une chargeq2fixe à l’origine est
U(r)=kq1q2
r (5.23)
Si les deux charges sont de même signe (q1q2>0) il y a répulsion et l’énergie potentielle augmente quand r diminue. Au contraire, si les deux charges sont de signes opposés (q1q2<0), il y a attraction et l’énergie potentielle augmente quandr augmente.
l’énergie des particules qui les subissent et les créent qui est conservée. La loi de conservation de l’énergie est donc plus subtile dans ce cas.