10.3 Fonctions trinômes
Définition 10.2. Toute fonction pouvant s’écrire sous la forme f(x)=ax2+bx+c oùa6=0 est appeléefonction trinôme.
Sa courbe est une parabole admettant le point d’abscisse−2ab comme sommet et la droite parallèle à l’axe des ordon-nées passant par ce sommet comme axe de symétrie.
Propriété 10.3. Toute fonction trinôme peut s’écrire sous la forme f(x)=a(x−β)2+γoùβ= −2ab. Cette forme s’appelle laforme canoniquedu trinôme.
On l’admettra.
Propriété 10.4. Soit f(x)=ax2+bx+c une fonction trinôme. Alors f a les variations résumées dans les tableaux ci-dessous :
Preuve. La preuve sera faite en classe. ♦
10.4 Exercices
10.4.1 Fonction carrée
EXERCICE10.1.
En s’aidant éventuellement de la courbe de la fonction carrée ou de son tableau de variation, compléter : 1. Six>3 alorsx2 . . . .
2. Compléter de la même manière :
(a) Si−36x61 alors . . . .6x26 . . . . (b) Si−26x63 alors . . . .6x26 . . . . (c) Si−36x63 alors . . . .6x26 . . . . EXERCICE10.3.
Résoudre les équations ou inéquations suivantes : 1. x2=4 ;
1. L’implication proposée est-elle vraie ? Justifier.
2. Parmi les implications suivantes, indiquer celles qui sont vraies et celles qui sont fausses.
(a) x< −1⇒x2>1
10.4 Exercices Seconde
3. Traduisez par une implication les propositions suivantes : (a) Un nombre compris entre 0 et 1 est supérieur à son carré.
(b) Si le nombrexest tel que−16x61, alors 1−x2est positif.
(c) Un nombre supérieur à 1 a un carré supérieur à 1.
EXERCICE10.5.
Les nombresaetbsont positifs.
L’énoncé «a<béquivaut àa2<b2» signifie quea<b⇒a2<b2et quea2<b2⇒a<b. On dit aussi «a<bsi et seulement sia2<b2.
On notea<b⇔a2<b2.
Parmi les équivalences suivantes, indiquer celles qui sont vraies et celles qui sont fausses.
1. Pour tous réelsaetb,a<b⇔a2<b2
1. Montrer que les 3 fonctions sont des fonctions trinômes.
2. Dresser leurs tableaux de variation.
3. Indiquer les éléments de symétrie de leurs courbes représentatives.
EXERCICE10.7.
On donnef(x)=x2+2x−1.
1. Montrer quef(x)=(x+1)2−2.
2. En déduire les solutions de l’équationf(x)=0.
3. Dresser son tableau de variation en y faisant appa-raître les solutions précédentes.
4. En déduire les solutions de l’inéquationf(x)60.
EXERCICE10.8.
On donnef(x)=x2+2x−15 pour toutx.
1. Montrer quef(x)=(x−3)(x+5).
2. Montrer quef(x)=(x+1)2−16.
3. En utilsant la forme la plus adaptée : (a) Résoudref(x)=0.
3. En utilsant la forme la plus adaptée : (a) Résoudref(x)=4.
3. En utilsant la forme la plus adaptée : (a) Résoudref(x)=0.
(b) Résoudref(x)6118. EXERCICE10.11.
Sur le graphique ci-dessous sont tracées une droiteDet une paraboleP. Cette dernière représente la fonction f définie surRparf(x)=3−x2.
1. (a) Résoudre l’équationf(x)=0.
(b) En déduire, graphiquement, le signe def(x) en fonction dex.
2. (a) Déterminer la fonction affine g représentée parD.
(b) Résoudre, graphiquement, l’inéquation f(x)>
g(x).
3. On désire retrouver par le calcul le résultat précé-dent.
(a) Prouver quef(x)>g(x) équivaut à−x2+x+2>
0.
(b) Vérifier que (x+1)(2−x)= −x2+x+2.
(c) Résoudre alors l’inéquationf(x)>g(x).
1
Seconde 10.4 Exercices
On cherche à trouver la position deMtelle que l’aire du rectangleAMP Nsoit maximale.
On noteAM=xet on appelle f(x) la fonction qui donne l’aire du rectangleAMP Nen fonction dex.
1. Sur quel intervallef est-elle définie ? 2. Donner l’expression def(x).
3. En déduire la réponse au problème.
A B
C D
N P
M
PROBLÈME10.2(La méthode d’AL-KHAWARIZMI).
Pour déterminer une solution positive de l’équation x2+10x=96, voici comment procédait AL-KHAWARIZMI
(mathématicien arabe du IXè 1) : Diviser 10 par 2.
Élever ce quotient au carré.
Additionner ce carré à 96.
Prendre la racine carrée de cette somme.
Retrancher à ce résultat le quotient du début.
1. (a) Prouver que l’équationx2+10x=96 équivaut à (x+5)2=121.
(b) En déduire que cet algorithme donne bien une solution positive de cette équation.
2. Trouver en utilisant la même méthode une solution positive de l’équationx2+8x=2009.
3. En admettant que ce procédé donne la seule solu-tion positive pour des équasolu-tions du typex2+bx=c oùbetcsont deux nombres positifs, écrire un algo-rithme qui mette en œuvre cette méthode.
PROBLÈME10.3.
Ce problème nécessite l’utilisation du logicielGeogebra.
ABC est un triangle rectangle isocèle en Atel queAB = 4 cm.
Iest le milieu du segment [BC] etMun point variable du segment [AB].
On poseAM=xavec 06x64.
On construit les points N de [BC] et P de [AC] tels que AM N Psoit un rectangle.
Le but du problème est de comparer les aires du rectangle AM N Pet du triangleAB I.
1. (a) Réaliser la figure sur Geogebra.
(b) Faire afficher la longueurAM, puis les aires du rectangle et du triangle.
2. DéplacerM.
Quelle semble être l’aire la plus grande ? Pour quelle position deMles deux aires semblent-elles égales ? 3. Prouver la conjecture précédente.
PROBLÈME10.4.
Ce problème nécessite l’utilisation du logicielGeogebra.
Dans un repère orthonormal, on donne le pointA(0; 1) et un pointM(m; 0), libre sur l’axe des abscisses. La perpen-diculaire à (AM) passant parMcoupe l’axe (O y) enN. Pest le point tel queOMP Nest un rectangle.
Le but de l’exercice est de chercher sur quelle ligne se trouvePlorsqueMdécrit l’axe des abscisses.
1. (a) Réaliser la figure sur Geogebra.
(b) Activer le mode trace pour le point P (pro-priétés) et déplacer le pointM.
(c) Conjecturer la nature de la coubre décrite par P.
2. (a) Prouver queOM A=ON M.
(b) Calculer tanOM A et tanON M et en déduire queON=m2.
(c) Donner les expressions, en fonction dem, des coordonnées deP et en déduire queP est un point de la parabole qu’équationy=x2. PROBLÈME10.5.
Un jardinier dispose d’un terrain rectangulaire de 12 m sur 8 m. Il désire le partager en quatre parcelles bordées par deux allées perpendiculaires de même largeurx. Il estime que l’aire des deux allées doit représenter 16de la superfi-cie de son terrain.
Le but de ce problème est de déterminer la largeurxdes allées.
1. Exprimer en fonction dexl’aire des deux allées.
2. (a) Prouver que le problème revient à résoudre l’équationx2−20x+16=0.
(b) Vérifier quex2−20x+16=(x−10)2−84.
(c) En déduirex.
12 m
8m x
1. Il est à l’origine du mot « algorithme » (qui n’est autre que son nom latinisé : "algoritmi")
10.4 Exercices Seconde
PROBLÈME10.6.
Une entreprise produit de la farine de blé.
On noteqle nombre de tonnes de farine fabriquée avec 0<q<80.
On appelleC(q) le coût total de fabrication, R(q) la re-cette obtenue par la vente etB(q) le bénéfice obtenu par la vente deqtonnes de farine.
1. Sachant que chaque tonne est vendue 120(, ex-primerR(q) en fonction deq.
2. Sachant queC(q)=2q2+10q+900 : (a) Déterminer l’expression deB(q).
(b) Montrer queB(q)= −2(q−10)(q−45).
3. Déterminer la quantité de farine à produire pour que la production soit rentable.
4. Déterminer la production correspondant au béné-fice maximal et le montant de ce bénébéné-fice.
PROBLÈME10.7.
Le propriétaire d’un cinéma de 1 000 places estime, pour ses calculs, qu’il vend 300 billets à 7(par séance. Il a con-staté qu’à chaque fois qu’il diminue le prix du billet de 0,1(, il vend 10 billets de plus.
Il engage une campagne de promotion.
1. Il décide de vendre le billet 5(.
(a) Combien y aura-t-il de spectateurs pour une séance ?
(b) Quelle est alors la recette pour une séance ? 2. À quel prix devrait-il vendre le billet pour remplir la
salle ? Commenter.
3. Le propriétaire envisage de proposerx réductions de 0,1(.
(a) Quel est alors le prix d’un billet en fonction de x?
(b) Exprimer en fonction de x la recette, notée r(x), pour une séance et vérifier quer(x)=
−x2+40x+2100.
(c) En déduire la recette maximale, le prix du billet et le nombre de spectateurs à cette séance.
PROBLÈME10.8.
Une société de livres par correspondance a actuellement 10000 abonnés qui paient, chacun, 50(par an. Une étude a montré que chaque fois qu’on augmente d’1(le prix de l’abonnement annuel, cela entraîne une diminution de 100 abonnés et chaque fois qu’on baisse d’1(le prix de l’abonnement annuel, cela entraîne une augmentation de 100 abonnés.
On se propose de trouver comment modifier le prix de l’abonnement annuel pour obtenir le maximum de re-cette.
ndésigne la variation du prix de l’abonnement annuel en euros (nest un entier relatif).
1. Exprimer en fonction denle prix de l’abonnement annuel, et le nombre d’abonnés correspondant.
2. Exprimer en fonction de n la recette annuelle de cette socité, notéeR(n).
3. Déterminer la valeur de n pour laquelle R(n) est maximum.
Quel est alors le montant de l’abonnement annuel, le nombre d’abonnés et la recette totale correspon-dante ?
PROBLÈME10.9.
Une zone de baignade rectangulaire est délimitée par une corde (agrémentée de bouées) de longueur 50 m. Quelles doivent être les dimensions de la zone pour que la surface soit maximale ?
plage zone de baignade
Chapitre 11
Probabilités
Sommaire
11.1 Vocabulaire des ensembles . . . 113 11.2 Expériences aléatoires . . . 114 11.2.1 Issues, univers. . . 114 11.2.2 Événements . . . 114 11.3 Loi de probabilité sur un universΩ . . . 114 11.3.1 Cas général . . . 114 11.3.2 Cas particulier : l’équiprobabilité . . . 116 11.4 Exercices . . . 116
11.1 Vocabulaire des ensembles
Définition 11.1(Intersection). L’intersectionde deux en-semblesAetBest l’ensemble des éléments qui sont com-muns àAetB. On la noteA∩B.
A B
×e
Ainsie∈A∩Bsignifiee∈Aete∈B.
Remarque. LorsqueA∩B=∅, on dit que les ensemblesAetBsont disjoints.
Définition 11.2(Réunion). Laréunionde deux ensem-blesAetBest l’ensemble des éléments qui sont dansA ou dansB. On la noteA∪B.
A B
×e
Ainsie∈A∪Bsignifiee∈Aoue∈B.
Définition 11.3(Inclusion). On dit qu’un ensembleAest inclusdans un ensembleBsi tous les éléments deAsont
des éléments deB. On note alorsA⊂B. A
B
On dit alors queAest unepartiedeBou queAest unsous-ensembledeB.
Remarque. ∅etEsont toujours des parties deE(partie vide et partie pleine).
On noteraP(E) l’ensemble de toutes les parties deE. Exemples. On a toujours :
• A⊂A∪B;
• B⊂A∪B; •
A∩B⊂A;
• A∩B⊂B; •
A∩B⊂A∪B;
• ∅⊂A;
• ∅∩A=∅;
• ∅∪A=A.