et (94) :
J C -y r sec8 h/2r r i -f\
| cosB.dB.e - -• ° - • E ^ u
or
0/l + (b/2r
())'
£J +
* x(h) & 2 (-o
k-rp^rrr "k-i *
x t h )T
EI [ V « /
+<
h'
2 ro
) 2J ^
< 9 6 )où X « arctg n/2r .
o*
-Les coefficients À(h) dam. (86) doivent être calculés de façon a obtenir une tris grande précision sur les facteurs de transmission C(u §Au,h,r ) . Nous avons calculé par la Méthode des moindres carrés le facteur X(h) pour des condi-tions proches de celles des gisements (condicondi-tions ci-dessus). Les À(h) ainsi obtenus permettent de calculer G(u ,Au,h,r ) avec une précision supérieure 1 2£«
Dans le tableau VIII sont portées les valeurs de G(U ,Au,h,r ) calculées a partir
* o o de la formule de Czubek et a partir de la formule (96). Dans ce même tableau sont portées les valeurs de G(y ,h,r ) . Celles-ci ne tiennent donc pas compte de l'augmentation du coefficient d'atténuation linéaire en fonction des teneurs des minerais en uranium. Four la mise en exploitation de la méthode» nous avons constitué des tables pouvant servir de base pour la création des fichiers de don-nées selon les possibilités de l'exploitant. Ces tables contiennent toutes les valeurs de A(h) et de x (n) pour y (coefficient d'atténuation de la matrice dans la bande énergétique 100-150 keV) variant de 0,2 â 0,4 par pas de 0,01 ainsi que pour une série de valeurs du rayon du puits allant de 2 cm à 5 cm par pas de 1 tus.
Les limites retenues pour le coefficient d'atténuation ont été choisies d'après les valeurs expérimentales obtenues sur les blocs de minerais d'uranium du labo-ratoire.
Pour la fonction g(y ,Ay,h,r ) , l'erreur commise si l'on ne tenait pas compte de l'augmentation de u en fonction de Au atteint 90%, pour les teneurs des minerais supérieures à 1,5%. C'est pourquoi, les fonctions g(uh,r ) doivent être exprimées en fonction du paramètre Au. Ainsi en tenant compte de (96), la formule (87) devient :
65
Fonction d e transmission
des matériaux absorbants Erreurs relatives en Z Augmentation
66
des matériaux absorbant* Erreurs relatives en i!
Augmentâtion
67
des matériaux absorbants Erreurs relatives en Z d1atténuation
68
des matériaux absorbants Erreurs relatives en Z Augmentation
69
des matériaux absorbants Erreurs relatives en X Augmentation
70
-Réécrivons (67) sous la fora* :
. oo . le
«(Pe.Au,b,r0> S ( i - ^ ) J G (U o, h . .0) • X(h) ^ J ! <-!>* - ^ f y r ^ v , •
• XOO | E , [ yoro/ r+ ( h / 2 r0)2J .Auj
d'où, en ne conservant que l e s termes du premier degré en Ay, on obtient ï
k
•(M0.âU.».r0> « r±- GCuo,h.r0) • X(h) ^ I ( - l )k (V o > t M
o ° |£ k-1 ( k - l ) I Tt-1
* X» T
El [ f
or / • (V2r
o)
2J . fi - % 0(y
o,h,r
o) (99)
où les fonctions G(u ,h,r_) Bont considérées comme des fonctions de transmission d'une couche de puissance h et de coefficient d'absorption \i constant. Elles se-ront donc explicitées par la formule de Csubek,
D'une manière générale, les fonctions g(u .Au,h,r) seront de la forme :
g(U0,Ap,h,ro) * g(U0,b.r0) • [ï(U„,h,r0) - g(Po,h,r0)] . ^ (100) où :
<f<V-o> - a * | <-.," * g £ ^ • * ^
h[Vo-^ï)
2") ««>
g(V0.h,r0) - ^ G(p0,h,r0) (102)
Les calculs effectués â partir de (100) donnent une erreur relative sur
g(uo»ÛU,h,r) de *6Z pour les teneurs en uranium supérieures S. 0,5Z. Pour ëtendre le doaaine de validité de la formule approchée de g(uh,ro), il faut utiliser la foraule suivante :
8(u0.Au,h,r0) - «.(li0,li,r0) • l ; >0.b'ro) - 0,65 g(u0,h.r0)| - ^ ('.01')
71
-L'erreur relative sur la valeur de g(uo,Au,h,r0), calculée a partir de la foraule (101*) eat inférieure a 8Z pour lea teneurs en uranium 0 < q < 2.5Z. Lea fonc-tions C(uh,r ) et gfti ,Au,h,r) calculées a partir dea formules de Czubek, et a partir des fournies approchées développée» ci-dessus sont portées sur les figu-res 28 et 29.
3.1.2. Fuits_seçi_non_tubé.
Ce cas est particulièrement intéressant pour deux raisons essentielles : - La diagraphie en puits sec permet une évaluation directe de la teneur en radium des minerais ;
- La présence de matériaux absorbants est corrigée en multipliant le résultat obtenu par des facteurs appropriés.
C'est pourquoi, il faut traiter les formules de base de façon qu'elles puissent couvrir tous les cas pratiques de teneurs pouvant se rencontrer (0 < q| T < 6 2 ) , tout en conservant une précision très satisfaisante. La formule â utiliser dans ce cas est donnée par :
arctg(h/2rc) .
G(u ,Au,h,r0) - sin(arctg ^j-) - I exf\~(.\io+â\i)tj cosec6-rosec8] 5 cos6 d8 (103) En procëdaut de la même manière que précédemment on obtient :
arctg(h/2r0)
<S(W0,A|J,h,r ) - sin(arctg -j^-) - / expf-uo j cosecS + uorosec8]cos8 dB +
tgfl a r c t g f h / 2 ro)
+ au / (^ c o t g 9 - ro) d 8 e x p t - uQ y cosec8 + uor0s e c 6 ] (104)
s o i t eu posant : a r c t g t h / 2 ro)
y ° ( Pa, b , ro> I ( | c o t g B - ro) d 6 exp£- yQ | cosecS • u ^ s e c S ] (105)
G(lio.âu,li.r0> - G ( | i0, h , r0> + A». y ° C u0, h , r0) (106)
72
<s.
<Nr
^
D'après 1* formule de Czubek
— D'aprls la form.le approchée
^
Fig. 28 - Variation du paramètre de transmission de la couche émettrice G{uh.r0). en fonction de l'augmentation du coefficient d'atténuation linéaire due â la présence d'uranium. Cas de puits contenant un matériau absorbant de coefficient d'atténuation linéaire égal à p - u0 + Au
u • 0,32 cm"1 ; r0 - 3 cm.
«»M
M
*.<•
; \
D'après la formule de Czubefco.l • N ^1 •„. D'après la formule approchée
a*
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^ ^ ^ ^ ^ ^
».l J 1 I 1 1 1 l-i L
Ml I.O t,« MS M» M» Ml
Fig- 29 - Variation de g()l,h,r0) en fonction de l'augmentation du coefficient d'atténuation linéaire» due a la présence d'uranium* Cas de puits contenant un matériau absorbant de coefficient d'atténuation linéaire égal i u - u + Au
u, - 0,28 cm"1 î r - 3,5 cm. °
73
-Sous avons traité let fonctions tfC(u ,h,r),G(|i_,h,ro) et G ( uo, A u , h , r0) . Il ressort des analyses, que l'erreur relative aaxiaale « m i s e sur G(u ,Au,h,r ) en prenant Au - 0 est de SX, tu variant da 0,001 a 61. En utilisant la foraule (106), cette erreur maximale ne dépasse pas 3Z. Four obtenir une erreur relative sur G(u ,Au,h,r ) inférieure 1 IX, il faut utiliser la foraule :
G(uo,Au,h,ro) - G ( uo, r , r0) + 0 , 8 7 . e ~0 > 0 1 8 n.Au.<p°(uo,h,r0) (107)
Les fonctions G(u ,Ay,h,r ) calculies a partir de (107) et 1 partir de (9) et G(U0,h,r ) sont représentées sur les figures 30 et 31.
Four exploiter la formule de Czubek, il faut utiliser les fonctions g(u ,Au,h,r0). On a coopte tenu de (98) :
g(uo,Au.h,ro> . ± (l - Q G ( P0. AU, h , r0) (108)
En se limitant aux termes du premier degré en Au on obtient ;
g<uo,Ap,h,ro) - g ( U0, h(r0) + â - X°(h)lf0(uo îh,r0) - g ( P0, h , rc) | (109)
Four les fonctions g(U»h,r ) les erreurs relatives commises quand on ne tient pas compte de l'augmentation de la teneur en uranium atteignent 70S* La formule (109) donne une erreur relative de l'ordre de 17Z. Four obtenir une erreur relative satisfaisante, il faut utiliser la formule :
gOi^Au.h.r,,) - g ( uo, h , r0) + | H j*0(ta)<f°(iio,ta,r0) - X°(h)g(U0,ta.ro) j (110)
o u •
Ji°(h) - 0,87.exp(-0,018 h) (111) X°(h) - -0,673 + 0,043 Log(h) (112)
L'erreur relative maximale commise en remplaçant g(u,h,r ) par la formule (110) est de 6,51 quel que soit h < 50 cm et q < 6Z, les valeurs X°(b) étant obtenues par «justement par moindres carres dans les limites ainsi définies. Les fonctions g(U,b,r ) , g(u ,h,r ) et celle calculée par la formule (110) sont représentées sur les figures 32, 33 et 34.
r
- 74~l
1-Suivom ta tormult * > Souppt C.A 2-5uivom M rormulff approchtt
0.M 0,06 0/M 0,1 0J2 0.V, 0.16 ^.«rr' OJ«
Fig. 30 - Variation du paramètre de transmission de la couche émettrice en fonction de l'augmentation du coefficient d'atténuation du rayonnement gamma ûp due à la présence d'uranium (r » 2,5 cm ; y ** 0,32 c m *1)
t — Formule <Je Souppe. C.A 2— Formule opprochée
Fig- 31 - Variation du paramètre de transmission de la couche éaettrice en fonction de 1'augmentation dr coefficient d'atténuation Au due â la presence d'uraniun (r - 2,5 cm ; u » 3,2 o f1) .
75 -KM.h.r^
1 - Mr le ivmJf •> Swept' C«.
2—PBr ta formuM opprocnlf
Fig. 32 - Variation de g(u,h,r ) en fonction de l'augmentation du coefficient d'atténuation Au due â la présence de l'uranium (u • 0,32 cm"' ; r > 2,5 c m ) .
6<U,h,r )
•.M
».«•
I.»Fig. 33 - Variation de g(u,h,r ) en fonction de 1'augmentation du coefficient d'atténuation nu due a la présence de l'uranium (u - 0,32 ca~' ; r - 2.5 c a ) .
o o
76
-J.A-P
V . _ _ _ V9tnt la fHMit I t SMITH CX _ — » . Vtfth I» fltMlil «ffMKtttf
^s>
Big. 34 - Variation de G(vi,h,r ) en fonction de l'augmentation du coefficient d'atténuation au due à la presence de l'uranium (u - 0,28 cm"1 j ro » 3 cm).
Rema/ujuz : Les paramètres d'ajustement A (h), X (h)ont *** calculés pour la bande (100-150 keV). Dans le domaine des hautes énergies, on peut prendre X°(h) - A°(h) - I.
Par la suite on posera :
y(u0,h,r0) • A°(h)y0<go,h,re) ]
(112') g°(U„.h,rJ - X°(h)g(U„,h,r ) ]
77
-3.1.3. Çi!_tîrticulier_d;|_couçh;j_in£ini;j,
Les Mesures da radioactivité au niveau dei passe» d'épaisseur infinie ser-vent de repère pour l'interprétation. Elles permettent aussi de faire un étalonnage naturel précis. Il est donc nécessaire de connaître les fonctions g(",u >Au.r0).
On ne peut déduire les valeurs g(»,u ,Ay,r ) des fonctions g(|i ,Au,h,r ) exprinéea par la relation (110), il faut partir de la formule (22) explicitée sous la forne :
Kl?
4TiK.q.p / -c sec8
K ^ f
coe8 d6 (113)En procédant comme au paragraphe 3., on obtient :
g(»,Wn,ûy) - r r ( l -TT) P(-,r ,c) (114)
"«A V
et :
"o L »oJ »
Pour les sondages secs on a F(°°,0) - 1 et
Le taux de comptage s'exprime donc par : ATTK.q. .p
^o \ V
F ( « , t , c ) (116)Les formules (114) et (115) donnent une erreur relative supérieure à 40% pour les minerais très riches (q
formules» il faut poser
minerais très riches (q > 2 2 ) . Four minimiser les erreurs dues â l'emploi de ces
J L _ J . A - v . 4 A (ne-)
Le paramètre Y est une constante, qu'il faut déterminer par le critère des moin-dres carrés» sur l'intervalle q . < q„ < a . On a ainsi obtenu :
X-o = 0,6.
Ce qui donne définitivement :
* _ , - — j ; V
|- ° -
6i r J
F <° ' -
ro -
, : > ( l i 7 )- 78
Aiaii» d a m una son* •infraliafc diviafe en H eoue-couchce éKacntairc*
(I, 2, •••• n, .... H) ayant chacune una puiaaancc h, la taux de coaptaga au cin-tra de chaque couche aara donnée par :
I°(AU,.4u'2" oujj AUg) • q „ L c U o . h . r , , ) • [ ^ ( u ^ . h . r , , )
-• [w»-»-w-. -
c'"';"^''"-}-'v.i
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|)-<.„i".V*['«'""""-'"-»
1'''''
1où :
n n
(118)
théoriquement toutes les sous-couches n'ont pas la même densité, ce qui conduit donc à différentes valeurs de h. Dans la -pratique, en gênerai, on adopte une va-leur moyenne représentative pour toutes les sous-couches d'une zone minéralisée.
- 79
L'exploitation da la formula (118) nécessite la connaiaaancc d'ua autre paramètre la teneur en radium q -4 daa aout-couehea miafraliseea. Four aiaplifiar l'Ccriture nous lea avons not* : q., q2 ... a ... q„. le calcul des teneurs en radium ne pose aucun problème aathfaatique. En effet, on peut utiliser les données du comp-tage total pour effectuer ce calcul. Hais, dans cas conditions, la aEthode gaaaa naturel aClcetif serait liCe 1 la diagraphie gaaaa naturel global. Ce qui consti-tua un inconvenient. Il est possible d'utiliser la taux de comptage observe" dans le doaaine dea hautes Energies (fenêtre 300-700 keV) pour calculer les teneurs en radius.
Remarquons que pour Évaluer les teneurs en radium q psr les taux de coaptage I, on peut soit utiliser la formule originale de Czubek (système d'équa-tions du type (85)) où tous les paramètres u. et plus généralement les foncd'équa-tions
s: l
de transmission G(u.h,r ) seront constantes, soit prendre la formule de Souppê donnée ci-dessous. Cette dernière a l'avantage de lier directement la teneur en radium, en un point de cote Z au taux de comptage. On a [37] :
ÏT/2
I(lih,Z,rn,c) ZWCqgg £ ) / sin6.d8.exp(c.cosec6) -m
lj/2 ïï/
- / sinB.de.exp[-}l(j + Z)sec6 + ()iro-c)cosec8] + /
"*
m*"
ïï/2
+ Z)sec6 + (jir c ) c o s e c 8 ] + / s i n 8 . d e . e x p ( c . s e c 8 )
-7T/2
s i n 8 . d 8 . e x p [ - | i ( » Z ) s e c 8 + (|iro-c)cosec8] S (119)
0 Û
'
x
m "
a r"
8h7TTz
e t*M "
a r c t 8E 7 T ^
L'emploi de l a formule équivalente suivante e s t plus f a c i l e :
- 80
•rct«[(ta/2+Z)/r 1
~I
I:
I ( p b . Z , ro, c ) • 2rtCqM § J I cosy dy exp(c.secy)
a r c t g [ ( h / 2 t Z ) / ro]
I cosy if exp[-|J(h/2 tZ)cosecy + ( u r0- c ) s e c i p ] + Jo
a r c t g £ ( h / 2 - Z ) / ro] •
• j e o s y dy (e~c , e c* - e x p [ - u ( h / 2 - Z)cosec<f+bir0-c)sec<j>]j| (120)
^o I
L ' u t i l i s a t i o n de l a formule (120) permet d'augmenter considérablement l a prScision des calculs en teneur q_ en constituant un système de H équations à M inconnues avec M > N. Cependant quand u - f ( qD) , l e calcul des teneurs en uranium, par l a formule (120) devient pratiquement impossible du f a i t que l'erreur commise en mettant g(ph,r ,Z,c) sous la forme suivante :
g ( l i h , r0, Z , c ) - g 0 ioh , ro, Z , c ) + ï ( w0h , r0, Z , c ) . 4 v i (121) Dans (121), ¥(u h,r ,Z,c) est une fonction obtenue en utilisant la méthode
déve-loppée au paragraphe 3. C'est pourquoi, il devient indispensable dans ces condi-tions d'utiliser la formule (85) pour déterminer l'augmentation du coefficient d'atténuation due I la présence de l'uranium dans le minerai. Nous allons donner la forme complètement explicitée du terme général, du système de N équations à M inconnues dans le cas où le puits contient une roche stérile de coefficient d'atténuation V et dans le cas général. En introduisant dans (95), les expressions (86), (88) et en tenant compte de (6), on obtient la forme complètement explicitée du terme général du système de N équations à N inconnues que sont les Ap*. On a ainsi :
- SI
~1
coiS.dS
K'A * <">«*„>
¥^:v^^)J-(£)
2[/V** *ec6 cos6.de
b/2r I ) „ . » - ' ( . « * « .
y 2 K + i g , ^ ? * - / •
A * (h/2r
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2J ?
i - J1 "o.u-i J
Q2i+l s
-"o.n-i-'o-»»
9cosB de
(2i+l)h/2 •fc-vf^D-feG
X2 i+1 *!,<->" %S^r•x( h 2 i + 1 > ^ ^ - . ^ . . . / r ^ n j )
7^- f ^
"o,n-i J
Qh(2i+l)/2
"o.n-i-V
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x2 i - l « ( 2 i - l ) h / le / ( 2 i - l ) h2\ 1 _ ' V ' _ l io , n + i
-X2 i - 1 2 El \, Io , n + i 'ro V, + 2 r / " » / e
r _ . s e c 6
cos6.de + o,n+i
C21-Dh/2 E (* u T f ( 2 i - l ) h |2 N)
- ; / 7 ( 2 i H )
hi 2
E 2v w - ' o * [-2Tf-J J
Mo , n + i, ro " L 2 in ,
(122)
où
Xj - a r c t g 5 ^ - ; Xi b £ - A(ib) t c Xj " X(it>> (123)
où u£ eat calcula en remplaçant dans la formule (90'), b par ib.
Pour un puits contenant différents matériaux absorbants, on peut utiliser la formule (12) qui tient compte de l'absorption du rayonnement gamma dans les matériaux traversés. Dans ce cas, on obtient :
84 -