Il y a un théorème des fonctions monotones tout à fait analogue au théorème des suites monotones. Le voici :
Théorème 6.18. (Théorème des fonctions monotones) Soit f :]a, b[→R une fonction monotone, avec a ∈ R ou a = −∞ et b ∈ R ou b = +∞. Alors limx→af(x) etlimx→bf(x)existent.
(i) Sif est croissante et majorée, on alimx→bf(x)∈R. Sif est croissante, mais n’est pas majorée, on alimx→bf(x) = +∞.
(ii) Si f est décroissante et minorée, alors limx→bf(x) ∈ R. Si f est dé-croissante mais n’est pas minorée, on alimx→bf(x) =−∞.
(iii) Si f est croissante et minorée, on a limx→af(x)∈ R. Sif est crois-sante, mais n’est pas minorée, on alimx→af(x) =−∞.
(iv) Si f est décroissante et majorée, alors limx→af(x) ∈ R. Si f est dé-croissante mais n’est pas majorée, on alimx→af(x) = +∞.
La démonstration de ce théorème se fait de façon tout à fait analogue à celle du théorème des suites monotones, et comme j’ai la flemme de la rédiger, je vous la laisse en exercice. Je vous invite par ailleurs à faire quelques dessins pour illustrer les différentes parties du théorème.
Le lecteur teste ses connaissances Les barêmes sur 15sont donnés à titre indicatif
Interrogation Ecrite Limites 1 – durée 1h30 IQuestions de cours
(i) [1pt] Enoncer le théorème des suites adjacentes.
(ii) [3pts] Soit f :R→Rcroissante et non-majorée. Rappeler la définition de
“f est non-majorée” et de “f tend vers +∞lorsque xtend vers+∞”. Montrer quelimx→+∞f(x) = +∞.
IISoit, pour tout x∈R+,Pn(x) =Pn k=1xk
k2. (i) [2pts] Montrer que la suitePn(1)converge.
(ii) [1pt] Montrer que, si0< x <1,Pn(x)converge.
(iii) [2pts] Montrer quePn(2)diverge.
IIIOn considère les suites
u0∈R+, un+1= 1 +u2n 2 . (i) [1pt] Montrer que la suite(un)est croissante.
(ii) [1pt] Dans le cas où (un)converge, montrer que
n→lim+∞un= 1.
(iii) [2pts] On suppose queu0∈[0,1]. Montrer que(un)converge.
(iv) [2pts] On suppose queu0>1. Que se passe-t-il ?
Interrogation Ecrite Limites 2 – durée 1h30 IQuestions de cours
(i) [2pts] Soientf :R→Ret `∈R. Donner la définition delimx→∞f(x) =`.
(ii) [1pt] Enoncer le théorème de la borne supérieure.
(iii) [3pts] Soit f :R → R croissante et bornée. Montrer quelimx→∞f(x) = supf(R).
II [6pts] Soit, pour tout x∈ R,Pn(x) =Pn k=1
xk
kk. Etudier la convergence des suites (Pn(x))en fonction de x.
Indication :Etudier séparément les casx >0etx <0. Considérer éventuelle-ment des cas particuliers comme x= 1 oux=−1si vous ne voyez pas tout de suite comment attaquer le cas général.
III[3pts] Etudier la convergence de la suite(un= 2(n!)(n+1)!n ).
Interrogation Ecrite Limites 3 – durée 1h30 I Question de cours
(i) [2pt] Donner la définition de “borne supérieure” et énoncer le théorème de la borne supérieure.
(ii) [2pt] Donner la définition de la fonction exponentielle. L’utiliser pour montrer que
x→lim+∞
ex
x2 = +∞.
II [4pts] Etudier la convergence de la suite de terme général un =
n
X
k=0
(−1)ke−k2.
On pensera à étudier les suites de terme généralan=u2n+1 et bn =u2n. III [2pt] Calculer la dérivée decos(exp(x2)), puis desin(cos(exp(x2))).
IV [3pts] On considère l’ensemble
E={x∈R| ∃n∈N∗,1− 1 n < x}.
Est-il minoré, majoré ? Admet-il une borne supérieure, inférieure ? Admet-il un minimum, un maximum ?
V [2pts] Etudier la dérivabilité en 0 de la fonction f : R → R telle que f(x) =|x|.
Le théorème des
accroissements finis
Si vous pensez que vos profs sont difficiles, attendez de voir votre patron.
Bill Gates
7.1 Introduction
Dans le Chapitre 6 nous avons réussi à démontrer que l’équation différentielle f0(x)−f(x) = 0, f(0) = 1
a une unique solution. A partir de là, il n’est pas difficile de montrer que, quelque soienta, b, c, d∈R, a6= 0, il existe une unique solution de l’équation différentielle
af0(x) +bf(x) =c, f(0) =d.
Exercice 7.1. Montrer ceci.
Indication : On peut commencer par remarquer que f(x) = (d−c
b)e−bax+c b est une solution du problème. Reste à établir l’unicité.
Mais le but affiché au début du Chapitre 3 est de résoudre les équations a(x)f0(x) +b(x)f(x) =c(x),
où cette fois-ci a(x), b(x) et c(x) ne sont plus des constantes. Je m’attaquerai d’abord à l’équation
f0(x) =c(x),
c’est à dire à la question de savoir si une fonctionc(continue) quelconque a une primitive. La réponse, affirmative, ne viendra que dans le Chapitre 11. Dans le présent chapitre, je vous présente d’abord un dernier outil mathématique indispensable, le théorème des accroissements finis – TAF pour les amis – que voici :
Théorème 7.2. (Théorème des accroissements finis)
Soit f : [a, b] → R (−∞ < a < b < +∞) une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur]a, b[. Alors il existec∈]a, b[ tel que
f(b)−f(a)
b−a =f0(c). (7.1)
Plusieurs remarques s’imposent. D’abord, ce théorème a une interprétation géométrique évidente que l’on peut admirer dans la figure 7.1
y
(a, f(a))
(b, f(b))
y=f(a) +f(b)−f(a) b−a (x−a)
a b
y=f(x)
x c
Fig. 7.1 – Le TAF en images. Y a-t-il un autre pointcoù (7.1) est satisfaite ? Comme f(b)b−−f(a)a est la pente de la droiteDpassant par les points(a, f(a)) et(b, f(b)), le TAF dit en effet qu’il existe (au moins) unc entreaetb tel que la droite tangente au graphe y = f(x) au point(c, f(c)) est parallèle à D. Je vous invite à tracer plusieurs graphes de fonctions satisfaisant aux hypothèses du théorème et de vérifier à chaque fois graphiquement qu’une telle valeur c existe en effet. Le plus souvent, plusieurs tels points existent : dans la figure 7.1, il y en a3, même si je n’en ai indiqué que deux.
La deuxième remarque que je veux faire est que le TAF est un résultat extrêmement puissant : pour vous en convaincre, et avant même de le démontrer, j’en donnerai quelques premières applications dans la section suivante. Nous l’utiliserons encore plusieurs fois par la suite.
Dans les applications, deux variantes du TAF sont souvent utiles. Les voici.
D’abord, il faut remarquer qu’on peut appliquer le TAF à un sous-intervalle de l’intervalle de définition def de la façon suivante :
Soitf : [a, b]→R (−∞< a < b <+∞)une fonction continue sur[a, b]et dérivable sur]a, b[. Soientx, x0 ∈[a, b], x < x0. Alors il existec∈]x, x0[ tel que
f(x0)−f(x)
x0−x =f0(c). (7.2)
Il est en effet clair que si f satisfait les hypothèses du TAF sur [a, b], elle les satisfait aussi sur tout sous-intervalle[x, x0]de[a, b]. Attention ! Lecdont il est question ici dépend dex et dex0 (Voir l’exercice 4 après la Section 7.3).
Exercice 7.3. Dessiner sur la figure 7.1 quelques couples de points x, x0 et identifier à chaque fois une valeur de c correspondante.
L’autre variante du TAF qu’il faut maîtriser est : Théorème 7.4. (Inégalité des accroissements finis)
Soit f : [a, b] → R (−∞< a < b < +∞) une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Supposons que
sup
x∈]a,b[|f0(x)|=M <+∞. Alors, quelques soientx, x0 ∈[a, b], on a
|f(x0)−f(x)| ≤M|x0−x|. (7.3) Ce résultat aussi est un corollaire immédiat du TAF et je vous invite à le démontrer.
A partir de dessins comme celui de la figure 7.1 on se convainc facilement que le TAFdoitêtre vrai. Le démontrer ne sera pourtant pas facile, je m’y attaquerai dans les Sections 7.3 et 7.4. Je démontrerai le TAF comme corollaire du théorème de Rolle, souvent utile lui-même et dont il est une simple généralisation.
Théorème 7.5. (Théorème de Rolle)
Soit f : [a, b] → R(−∞ < a < b < +∞) une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[telle que f(a) =f(b). Alors il existec∈]a, b[tel que
f0(c) = 0. (7.4)
La figure qui vient avec le théorème de Rolle (Fig. 7.2) montre très clairement en quel sens le TAF en est une généralisation. Pour compléter la chaîne logique, le théorème de Rolle est un corollaire du théorème suivant qui est lui-même très important en soi :
Théorème 7.6. (Théorème du maximum)
Soitf : [a, b]→R(−∞< a < b <+∞)une fonction continue. Alors (i)f est bornée ;
(ii) f atteint un maximum global et un minimum global sur[a, b].
f(a) =f(b)
a c b x
y
Fig. 7.2 – Le théorème de Rolle en images. Y a-t-il un autre point c où (7.1) est satisfaite ?
Ce résultat dit que si on trace un graphe quelconque entre(a, f(a))et(b, f(b), sans lever le crayon, alors on passe par un minimum et un maximum. J’expli-querai sa signification plus en détail dans la Section 7.4. Bien qu’il vous paraît sans doute évident, vous constaterez que sa démonstration (Section 7.4) est dif-ficile. Par contre, une fois le théorème du maximum établi, le théorème de Rolle et le TAF se démontrent facilement (Section 7.3).
Indépendamment des difficultés des démonstrations, ce qu’il faut surtout retenir est que vous voyez réunis dans cette introduction trois théorèmes très importants d’analyse, avec lesquels il conviendra de vous familiariser à fond.