8.2 Etude des fonctions de covariance et de corr´elation d’erreur d’´ebauche sans
8.2.3 Les fonctions de corr´elation
Les fonctions de corr´elation permettent de caract´eriser la corr´elation de l’erreur en un point avec les erreurs aux points voisins [Daley, 1991, Pannekoucke et al., 2008] mais aussi d’estimer la distance de corr´elation significative `a travers le diagnostic de la longueur de port´ee. Ainsi les fonctions de corr´elation portent une information sur la structure du signal et permettent d’estimer l’extension spatiale des fonctions de corr´elation mais aussi de covariance et de la correction apport´ee par l’assimilation.
On a vu dans le chapitre 7 que les fonctions de corr´elation sur le mod`ele d’ondes de crues sont des gaussiennes. On peut dans ce cas estimer les longueurs de port´ee des fonctions de corr´elation grˆace `a la formule propos´ee par [Pannekoucke et al., 2008], celle-ci ´etant bas´ee sur l’approximation des fonctions de corr´elation par une fonction parabolique bien choisie. N´eanmoins comme nous le verrons plus loin il s’av`ere que les fonctions de corr´elation sur le r´eseau Adour maritime n’ont pas une forme de gaussienne et il ne nous sera pas possible d’utiliser la formule ´etablie par [Pannekoucke et al., 2008] pour estimer les longueurs de port´ee.
D’autre part dans ce travail nous avons fait un usage important des fonctions de corr´elation dans le cadre des m´ethodes d’inflation (´evoqu´ees en section 3.7.7) et appliqu´ees au r´eseau Adour maritime. En effet comme nous le verrons plus loin nous souffrons d’un probl`eme de sous-dispersivit´e de l’ensemble et pour compenser ce probl`eme nous avons eu recours `a ces m´ethodes. Dans ce cadre l’utilisation des fonctions de corr´elation a permis de calculer des facteurs d’inflation adapt´es spatialement `a notre r´eseau. Nous reviendrons sur ce point plus en d´etail en section (8.4.2).
Nous avons report´e sur les figures 8.11-(a) et 8.11-(b) les fonctions de corr´elation ZZ et QZ relatives `a la station de Peyrehorade (dont la position est indiqu´ee par le trait
(a) (b)
(c)
Fig. 8.11 – Fonctions de corr´elation relatives `a la station de Peyrehorade (a) ZZ et (b) QZ le long du chemin 7-5-2-1. (c) et (d) bathym´etrie. Les traits verticaux noirs repr´esentent la s´eparation entre les biefs. Le trait rouge vertical repr´esente la position de la station de Peyrehorade.
rouge vertical) le long du chemin 6-5-2-1 (prises au mˆeme temps que les fonctions de covariance pr´esent´ees en figure 8.8). La fonction de corr´elation ZZ est moins sensible `a la bathym´etrie en amont du seuil (trait vert vertical) que ne l’est la fonction de cova- riance ZZ repr´esent´ee en figure 8.8-(a). D’autre part au niveau des seuils les fonctions de corr´elation ZZ pr´esentent une discontinuit´e, qui est plus ou moins prononc´ee en fonc- tion du temps. On note ´egalement que la fonction de corr´elation ZZ pr´esente une tr`es grande extension spatiale `a l’aval du seuil puisque celle-ci s’´etend jusqu’`a l’extr´emit´e aval du domaine. Comme on le verra plus loin l’´evolution temporelle de l’extension spatiale des fonctions de corr´elation semble li´ee `a l’´evolution temporelle des variables d’´etat aux stations. N´eanmoins nous n’avons pas pu ´etablir clairement de lien de cause `a effet dans ce sens. D’autre part, de la mˆeme mani`ere que la fonction de covariance QZ la fonction de corr´elation QZ n’est pas affect´ee par la bathym´etrie et pr´esente des discontinuit´es
8.2. ETUDE DES FONCTIONS DE COVARIANCE ET DE CORR´ELATION
D’ERREUR D’´EBAUCHE SANS ASSIMILATION 177
au niveau de la s´eparation entre les biefs (qui correspondent ´egalement `a la position des confluences).
Les fonctions de corr´elation tout comme les fonctions de covariance pr´esentent une tr`es grande variabilit´e temporelle. Celle-ci est dˆue `a la fois `a l’influence de la mar´ee `a l’aval et `a l’importance de la perturbation ajout´ee aux for¸cages amonts qui varient avec le temps. Pour illustrer cela nous avons report´e en figure 8.12 des fonctions de corr´elation ZZ et QZ calcul´ees `a deux temps diff´erents.
(a) (b)
Fig. 8.12 – Fonctions de corr´elation relatives `a la station de Peyrehorade (a) ZZ et (b) QZ sur le chemin 6-5-2-1 `a deux temps diff´erents.
Comme on peut le voir sur la figure 8.12-(a) l’extension spatiale des fonctions de corr´elation ZZ peut pr´esenter une tr`es grande variabilit´e temporelle. En effet la fonction de corr´elation repr´esent´ee en rouge est plus ´etendue `a l’aval que ne l’est celle repr´esent´ee en vert. La variabilit´e temporelle de l’extension spatiale des fonctions de corr´elation semble li´ee au for¸cage aval ; voir annexe (B) o`u on a repr´esent´e l’´evolution des fonctions de corr´elation relatives `a la station de Peyrehorade sur le chemin 7-5-2-1 sur la dur´ee d’un cycle de mar´ee. Mais elle semble ´egalement li´ee `a la variabilit´e temporelle des variables d’´etat `a la station relative `a la fonction consid´er´ee. N´eanmoins ce fait reste `a appr´ecier quantitativement. Pour cela il faut d´efinir l’analogue d’une longueur de port´ee pour notre r´eseau hydraulique et ´etudier sa variabilit´e temporelle aux stations du r´eseau, c’est l’objet de la section suivante.