Caract´erisation et ´evolution temporelle de l’extension spatiale des

Comme on a pu le constater `a la section pr´ec´edente les fonctions de corr´elation ZZ mises en ´evidence sur le r´eseau hydraulique Adour maritime ne sont pas gaussiennes.

Il ne nous est donc pas possible d’utiliser le calcul de la longueur de port´ee propos´e par [Pannekoucke et al., 2008] et que l’on a utilis´e pr´ec´edemment au chapitre 7 pour caract´eriser l’extension spatiale des fonctions de corr´elation. A cela s’ajoute la difficult´e de la configuration du r´eseau Adour sur lequel les fonctions de corr´elation ne sont pas `a proprement `a parler 1D puisqu’elles peuvent s’´etendre sur plusieurs biefs qui ne sont pas dipos´es s´equentiellement de l’amont vers l’aval de la rivi`ere.

On peut n´eanmoins d´efinir une forme de longueur de port´ee pour les fonctions de corr´elation ZZ sur le r´eseau Adour par analogie avec celle propos´ee par

[Pannekoucke et al., 2008]. Celle-ci correspond `a la distance telle que la parabole qui approxime la fonction de corr´elation gaussienne soit ´egale `a 0.5 et renseigne donc sur l’extension spatiale de la fonction de corr´elation correspondante. Dans ce travail nous d´efinirons la longueur de port´ee aval (amont) de la fonction de corr´elation ZZ associ´ee `a un point x, ρx, sur le r´eseau Adour maritime, comme ´etant la somme de la longueur des

zones sur chacun des biefs `a l’aval (`a l’amont) du point consid´er´e telles que ρx ≥ 0.65.

Cette d´efinition pr´esente l’avantage d’ˆetre ind´ependante de la forme des fonctions de corr´elation consid´er´ees mais est par contre fortement contrainte par les faibles dimensions du domaine et il pourra se r´ev´eler impossible dans certains cas de calculer des longueurs de port´ee amont et/ou aval qui refl`etent fid`element l’extension spatiale de la fonction de corr´elation consid´er´ee. C’est par exemple le cas lorsque sur un chemin `a l’aval du point consid´er´e la fonction de corr´elation est d´ecroissante mais `a l’extr´emit´e aval du domaine reste sup´erieure `a 0.65. Dans ce cas la longueur de port´ee aval est simplement ´egale `a la distance entre le point consid´er´e et la limite aval du domaine alors que dans les faits elle est plus grande.

Nous avons illustr´e le calcul de la longueur de port´ee sur la figure 8.13. Cette d´efinition des longueurs de port´ee amont et aval vise `a rendre compte de l’extension spatiale des fonctions de corr´elation `a l’amont ou `a l’aval d’un point consid´er´e sur le r´eseau. Mais on peut ´egalement consid´erer l’extension spatiale de la fonction de corr´elation sur l’ensemble du r´eseau, pour cela on peut d´efinir une longueur de port´ee moyenne comme la moyenne des longueurs de port´ee amont et aval.

Cette d´efinition des longueurs de port´ee est une d´efinition tr`es g´en´erale puisqu’elle vise `a ´etablir l’extension spatiale des fonctions de corr´elation sur l’ensemble du r´eseau. On peut ´egalement d´efinir une notion de longueur de port´ee par chemin qui est simplement la restriction de la d´efinition ci-dessus `a un chemin en particulier, par exemple le chemin 4-2-1. Cela est illustr´e sur la figure 8.13-(c) o`u la longueur du trait rouge horizontal repr´esente la longueur de port´ee amont sur le chemin 7-5-2-1 de la fonction de corr´elation relative `a la station de Peyrehorade.

Les longueurs de port´ee pr´esentent une importante variabilit´e temporelle ainsi qu’une certaine cyclicit´e qui n’est pas sans rappeler l’´evolution temporelle des hauteurs d’eau ainsi que des d´ebits au niveau des points correspondants comme on peut le voir sur la figure 8.14. Mˆeme si les s´eries temporelles des hauteurs d’eau/d´ebits d’une part et celles des longueur de port´ee d’autre part semblent pr´esenter des liens il est n´eanmoins difficile d’´etablir des corr´elations entre les deux. En effet les limites du domaine ainsi que les seuils parasitent le calcul des longueurs de port´ee tel qu’on l’a propos´e ici. Cependant dans les

8.2. ETUDE DES FONCTIONS DE COVARIANCE ET DE CORR´ELATION

D’ERREUR D’´EBAUCHE SANS ASSIMILATION 179

(a) (b)

(c) (d)

Fig. _{8.13 – Fonction de corr´elation ZZ relative `a la station de Urt (trait rouge} vertical) sur les chemins (a) 3-1 (b) 4-2-1 (c) 7-5-2-1 (d) 6-5-2-1. La longueur de port´ee amont est la somme des longueurs des zones repr´esent´ees par le trait rouge horizontal.

cas favorables o`u les limites du domaine tout comme les seuils ne perturbent pas le diagnostic des longueurs de port´ee les corr´elations calcul´ees entre hauteurs d’eau/d´ebits et longueur de port´ee sont g´en´eralement relativement correctes et sont comprises (en valeur absolue) entre 0.6 et 0.9. Nous pr´esentons ci-dessous en figures 8.14 et 8.15 deux exemples o`u les corr´elations entre hauteurs d’eau/d´ebits d’une part et longueur de port´ee d’autre part sont les plus importantes.

Sur la figure 8.14 nous pr´esentons l’´evolution temporelle des longueurs de port´ee (amont, aval et moyenne) et des hauteurs d’eau calcul´ees `a la station de Peyrehorade en basses eaux. Les s´eries temporelles des longueurs de port´ees moyennes et aval et celles des hauteurs d’eau pr´esentent un coefficient de corr´elation de l’ordre de respectivement 0.72 et 0.66. On note en particulier que celles-ci pr´esentent un temps caract´eristique qui semble tr`es proche et que les temps o`u les extremums locaux sont atteints sont eux aussi

tr`es proches. Ainsi en basses eaux lorsque les hauteurs d’eau d´ecroissent les longueurs de port´ee moyenne et aval d´ecroissent et au contraire elles croissent lorsque les hauteurs d’eau croissent. Par contre pour ce qui est de la corr´elation des d´ebits et des longueurs de port´ee elles sont assez faibles puisque comprises en valeur absolue entre 0.1 et 0.36.

(a) (b)

Fig. _{8.14 – Evolution temporelle `a la station de Peyrehorade des (a) longueur de} port´ee amont, aval et moyenne (b) des hauteurs d’eau.

Sur la figure 8.15 nous pr´esentons l’´evolution temporelle des longueurs de port´ee (amont et aval) et des d´ebits calcul´es `a la station de Urt lors d’un pic de crue. Les longueurs de port´ee amont semblent avoir des variations similaires `a celles des d´ebits, le coefficient de corr´elation liant les deux s´eries est de l’ordre de 0.92. Par contre pour ce qui est des longueurs de port´ee aval celles-ci semblent se r´eduire lors du pic de crue, les s´eries temporelles des d´ebits et des longueurs de port´ee pr´esentent un coefficient de corr´elation de −0.64. Ainsi l’extension spatiale de la fonction de corr´elation relative `a Urt pr´esente-t-elle une forme d’asym´etrie pendant le pic de crue avec une longueur de port´ee aval nettement plus petite que la longueur de port´ee amont. A noter que dans cet exemple les corr´elations entre longueurs de port´ee amont et aval et hauteurs d’eau sont de l’ordre de 0.72 et 0.6.

Pour conclure cette section nous dirons que les figures 8.14 et 8.15 sugg`erent que l’´evolution temporelle des longueurs de port´ee amont et aval semble li´ee `a l’´evolution temporelle des hauteurs d’eau ou des d´ebits selon le moment consid´er´e (pic de crue ou basses eaux). D’autre part les figures de l’annexe (B) sugg`erent un lien entre les longueurs de port´ee aval. N´eanmoins malgr´e ces quelques rapprochements il ne nous a pas ´et´e possible d’´etablir clairement un lien entre longueurs de port´ee et variables d’´etat.