Int´ egration, espace L 1
4.5 Comparaison avec l’int´ egrale de Riemann
4.5.4 Fonction de r´ epartition et densit´ e
A ce stade, le th´eor`eme de transfert nous donne (4.33) pour A = I. Pour conclure dans le cas g´en´eral, il suffit d’appliquer le th´eor`eme de transfert avec (f ◦ ϕ)1A en remarquant que :
∀x∈I, f ϕ(x)1A(x) = f ϕ(x)1ϕ(A) ϕ(x),
la transformation d’indicatrice se justifiant par l’´equivalence de x∈ A et ϕ(x)∈ ϕ(A). Ainsi (4.33) est ´etablie.
Pour montrer la formule jumelle (4.34), on utilise la mˆeme m´ethode en appliquant le th´eor`eme de transfert avec µ = λ et ν = λ◦ϕ−1. Nous nous contentons de d´ecrire l’identification de la mesure ν dans le cas ϕ d´ecroissante, laissant au lecteur le soin de compl´eter la preuve. L’hypoth`ese suppl´ementaire que ϕ0 ne s’annule en aucun point de I nous garantit que ϕ−1 a une d´eriv´ee continue en tout point de J :
∀y∈J, (ϕ−1)0(y) = 1 ϕ0 ϕ−1(y).
On peut donc ´ecrire la variation de ϕ−1 entre deux points de J comme l’int´egrale de Riemann de (ϕ−1)0 entre ces deux points. Pour [c, d] ⊂ J, −∞ < c ≤ d < +∞, on a ainsi ν([c, d]) =λ [ϕ−1(d), ϕ−1(c)]=ϕ−1(c)−ϕ−1(d) = Z d c −(ϕ−1)0(y) dy = Z d c |(ϕ−1)0(y)|dy = Z [c,d] |(ϕ−1)0(y)|dλ(y). Ceci montre que ν est la mesure de densit´e |(ϕ−1)0| par rapport `a λ. Notons que nous avons utilis´e deux fois la continuit´e de (ϕ−1)0 sur [c, d]. D’abord pour ´ecrire sa primi-tive ϕ−1 `a l’aide d’une int´egrale de Riemann, ensuite pour convertir cette int´egrale de Riemann en int´egrale de Lebesgue.
4.5.4 Fonction de r´epartition et densit´e
Soit X une variable al´eatoire r´eelle sur (Ω,F,P), PX sa loi et F sa fonction de r´epartition : F(x) = P(X ≤ x) = PX(]− ∞, x]). Supposons de plus que PX ait une densit´e f par rapport `a la mesure de Lebesgue. On a alors :
∀x∈R, F(x) = PX(]− ∞, x]) = Z
]−∞,x]
fdλ. (4.35) Il est naturel de se demander quelle relation y a-t-il entre F et f? La r´eponse est que F est d´erivable λ-presque partout et que sa d´eriv´ee (d´efinie sauf sur un ensemble de mesure nulle) est ´egale λ-p.p. `af. La preuve de ce r´esultat sortirait du programme de la
Licence. Le lecteur curieux pourra se reporter `a l’ouvrage de Kolmogorov, Fomine
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El´ements de la Th´eorie des Fonctions et de l’Analyse Fonctionnelle, chap. VI, ˘g 3. Nous nous contenterons du r´esultat moins g´en´eral suivant, qui devrait cependant couvrir la plupart des cas rencontr´es en pratique.
Proposition 4.50. SoitX une variable al´eatoire r´eelle et F sa fonction de r´epartition. On suppose que F est continue sur R et de classe C1 par morceaux. Alors la loi deX a une densit´e f par rapport `a la mesure de Lebesgue et f =F0 λ-presque partout.
D´emonstration. Dire que F est continue et C1 par morceaux sur R signifie qu’il existe une suite finie −∞ < a1 < a2 < · · · < an < +∞ telle que F est d´erivable partout sur
R, sauf peut-ˆetre aux points ai, que sa d´eriv´ee F0 est continue sur R\ {a1, . . . , an} et que F est aussi continue en chaque point ai (les «raccords» sont continus). En raison de la croissance de F, F0 est positive partout o`u elle est d´efinie. Notons a0 := −∞, an+1 := +∞etIi :=]ai, ai+1[, 0≤i≤n. Comme F a pour limites 0 en−∞et 1 en +∞, il est commode de la prolonger par continuit´e `aRen posant F(a0) := 0 etF(an+1) := 1. Si [c, d] est inclus dans Ii, F0 est continue sur [c, d] et RcdF0(t) dt=F(d)−F(c). Par continuit´e deF aux extr´emit´es deIi, on en d´eduit que l’int´egrale g´en´eralis´eeRai+1
ai F0(t) dt converge absolument (F0 ≥ 0 sur Ii) et que pour tout x ∈]ai, ai+1], F(x) = F(ai) + Rx
aiF0(t) dt. Par la proposition 4.48, on a F(x) = F(ai) +R]a
i,x[F0(t) dλ(t).
Posons f := F0 sur R\ {a1, . . . , an} et f(ai) := 0 pour 1 ≤ i ≤ n. Alors f est mesurable positive (exercice) et pour tout x ∈[ai, ai+1], F(x) =F(ai) +R]a
i,x[fdλ. On en d´eduit en particulier que
Z R |f|dλ= Z R\{a1,...,an} fdλ = n X i=0 Z ]ai,ai+1[ fdλ= n X i=0 F(ai+1)−F(ai) = 1<+∞.
Donc la fonction mesurable positive f est λ int´egrable sur R. Notons µ la mesure de densit´ef par rapport `aλ. En recollant les morceaux, on voit aussi que
∀x∈R, F(x) = Z
]−∞,x]
fdλ=µ(]− ∞, x]), (4.36) c’est clair sixn’est pas l’un desai (noter que l’on peut modifier l’ensemble d’int´egration en rajoutant un nombre fini de points, donc un ensemble deλ-mesure nulle, sans changer l’int´egrale). Si xest l’un des ai (1≤i≤n), il suffit de remarquer que les deux membres de (4.36) repr´esentent chacun une fonction de r´epartition, continue `a droite sur R et de faire tendre x vers ai par valeurs sup´erieures. L’´egalit´e (4.36) montre donc que PX, loi deX etµ ont mˆeme fonction de r´epartition donc que PX =µ. Ainsi PX a la densit´e f par rapport `aλ.
Exemple 4.2. Soient X1, . . . , Xn, n variables al´eatoires d´efinies sur le mˆeme (Ω,F,P), ind´ependantes et de mˆeme loi, de fonction de r´epartition F, continue sur R et C1 par morceaux. On pose
Mn:= max
Il est facile d’exprimer la fonction de r´epartitionH deMn`a l’aideF. En effet, pour tout x∈R, H(x) =P max 1≤i≤nXi ≤x = P ∀i= 1, . . . , n, Xi ≤x = P∩n i=1{Xi ≤x} = n Y i=1 P(Xi ≤x) (4.37) = F(x)n, (4.38)
o`u (4.37) se justifie (en anticipant l´eg`erement sur le chapitre 5) par le fait que l’ind´ epen-dance de la suite (Xi) implique l’ind´ependance mutuelle des ´ev`enements{Xi ≤x} et o`u (4.38) vient de ce que les Xi ont mˆeme loi de f.d.r. F, donc P(Xi ≤x) = F(x).
Par la proposition4.50, la loi deXi a une densit´ef ´egaleλ-presque partout `aF0. Les th´eor`emes classiques sur la continuit´e et la d´erivabilit´e des fonctions compos´ees montrent que H =Fn est elle aussi continue sur R etC1 par morceaux. Il en r´esulte que la loi de Mn a une densit´e h par rapport `aλ et que
h=H0 =nFn−1F0, λ−p.p.
Par exemple si les Xi suivent la loi exponentielle de param`etre a >0, F(x) = 1−e−ax1[0,+∞[(x),
F est donc continue surRet d´erivable partout sauf au pointx= 0 etMn a pour densit´e : h(x) =na 1−e−axn−1e−ax1[0,+∞[(x).
Remarque 4.51. Attention `a ne pas tranformer abusivement la proposition4.50en une r`egle pratique du style «si la fonction de r´epartition F est d´erivable presque partout, alors il y a une densit´e, ´egale `a F0 p.p.». Cette pseudo r`egle est doublement fausse. D’abord l’hypoth`ese de continuit´e de F en tout point de R est indispensable. Si X suit une loi discr`ete avecX(Ω) fini, sa f.d.r. F est d´erivable et de d´eriv´ee nulle en tout point d’un ensemble de compl´ementaire fini. Elle est donc bienC1 par morceaux, mais comme F a des discontinuit´es (en nombre fini), PX ne peut avoir de densit´e par rapport `a λ, car s’il y avait une densit´e f, on aurait :
∀x∈R, P(X =x) = Z
{x}
f(t) dλ(t) = 0, car λ({x}) = 0.
D’autre part, il existe des fonctions de r´epartition F, continues sur tout R, d´erivables presque partout sur R et de d´eriv´ee nulle presque partout sur R. Pour un exemple, voir le probl`eme sur «l’escalier de Cantor » dans les Annales d’IFP 2001–02. Si la loi correspondante avait une densit´e ´egale5 presque partout `a F0, on aurait PX(R) = R
RF0dλ= 0, ce qui est impossible puisque PX(R) = 1.