Fonction de transfert des flammes coniques

x

X

Y

α ξ S_L η η’

R

steady flame burner rim burner axis

Fig. I.4 – A gauche, configuration utilis´ee pour le calcul des fonctions de transfert des flammes coniques, R : rayon du brˆuleur, α : angle du front de flamme avec la direction de l’´ecoulement moyen. A droite, mouvement de flamme `a simuler.

On consid`ere une flamme conique stabilis´ee sur les l`evres d’un brˆuleur selon le sch´ema de la figure I.4. Dans ce cas, l’´echelle de longueur caract´eristique de la taille de la flamme, R, correspond

30 CHAPITRE I. MOD ´ELISATION ANALYTIQUE

au rayon du brˆuleur. En s’aidant du sch´ema de la figure I.4, la surface instantan´ee de la flamme A(t) s’´ecrit :

A(t) = Z R

0 2π(R − x) ^dη

cos α ^(I.25)

Une analyse perturbative au premier ordre de cette ´equation permet d’exprimer les fluctuations de surface A′(t) :

A^′(t) = ^2π tan α

Z R

0 (R − x)_∂x^∂ξdx (I.26)

Dans cette expression, on a utilis´e la relation η′(x, t) = ξ(x, t)/ sin α. Comme la position du front est une fonction harmonique ξ(x, t) = eξ(x) exp (−iωt), la fluctuation de surface est ´egalement harmonique A^′(t) = eA exp (−iωt). On suppose de plus la flamme ancr´ee aux l`evres du brˆuleur en x = 0, on a donc eξ(0) = 0. L’´equation (I.26) se simplifie et on obtient apr`es par int´egration par parties : e A = ^2π tan α Z R 0 e ξ(x)dx (I.27)

Cas d’une perturbation de vitesse uniforme

En substituant la relation (I.16) pour la perturbation eξ(x) de la position du front due `a une modulation uniforme de la vitesse dans l’´equation (I.27), on trouve apr`es int´egration que la fluctuation de surface de flamme s’exprime sous la forme eA/A = (v₁/v)F_{U CO}(ω_∗) avec :

F_{U CO}(ω_∗) = ² ω2

∗ [1 − exp (iω∗) + iω_∗] (I.28)

La fonction de transfert d’une flamme conique perturb´ee par une modulation uniforme de la vitesse F_{U CO} d´epend uniquement de la fr´equence r´eduite ω_∗. Les indices U et CO font r´ef´erence `

a uniforme et conique. Cette expression co¨ıncide avec celle obtenue par Ducruix et al. (2000) `a partir d’une analyse du mouvement du front de flamme dans le rep`ere fixe (x, y).

Dans la limite des basses fr´equences, les fonctions de transfert des flammes sont souvent mod´elis´ees par des filtres du premier ordre (Merk 1956; Baade 1978; Fleifil et al. 1996; Ducruix et al. 2000) avec des expressions du type :

H(ω∗, β) = ^β β − iω∗

(I.29) Diff´erentes valeurs num´eriques ont ´et´e propos´ees pour le coefficent β. On trouve β = 2 dans la r´ef´erence (Fleifil et al. 1996) et β = 3 dans les r´ef´erences (Merk 1956; Ducruix et al. 2000). Dans la limite des petites valeurs de ω_∗, les expressions (I.28) et (I.29) sont d´evelopp´ees en s´erie. En notant B_{U CO}, l’approximation basse fr´equence de la fonction de transfert F_{U CO}, on obtient :

B_{U CO} = 1 + i^ω∗

3 ^{+ O(ω}

2

∗) (I.30)

Et pour l’expression (I.29) : H(ω_∗, β) = 1 + i^ω∗

β ^{+ O(ω}

2

∗) (I.31)

Ainsi le filtre du premier ordre H(ω_∗, β = 3) apparaˆıt comme la meilleure approximation de B_{U CO}, la fonction de transfert de la flamme F_{U CO} obtenue dans la limite des basses fr´equences. On trouve ici une justification math´ematique de la valeur du coefficient β. Il est `a remarquer que la valeur

I.3. FONCTION DE TRANSFERT DES FLAMMES INCLIN ´EES 31

num´erique β = 2 doit ˆetre retenue dans le cas d’une flamme di`edre plane.

Remarque : Le choix de la valeur du coefficient β = 3 est justifi´e dans l’analyse propos´ee par Ducruix et al. (2000) en ´ecrivant H sous la forme H = 1/(1 − iωτL). Dans cette expression ap-paraˆıt le d´elai caract´eristique τ_L= R/(βS_Lcos α) qui est interpr´et´e dans cette r´ef´erence comme le d´elai moyen mis par les perturbations de vitesse pour atteindre le front de flamme. Cette quantit´e, τ_L est estim´ee grˆace `a l’approximation donn´ee par Merk (1956) : τ_L≃ R/3SL . Il est int´eressant de d´evelopper une expression exacte pour cette quantit´e τ_Let d’examiner le lien avec le coefficient β. Le d´elai τL est d´efini comme la somme pond´er´ee, au cours d’une p´eriode T et sur la surface S du brˆuleur, du temps mis par les perturbations de vitesse pour cuvrir la distance entre la sortie du brˆuleur et la position du front de flamme η :

τ_L= ¹ v 1 S Z S 1 T Z T Z η 0 dydtdS (I.32)

Il vient apr`es int´egration : τ_L= ^{R cos α}

3S_L ^(I.33)

Cette expression est l´eg`erement diff´erente de celle propos´ee par Merk. Il est donc difficile de conclure s’il existe un lien direct entre le coefficent β et le temps moyen de convection d’une perturbation au front de flamme τ<sub>L</sub>, sauf dans le cas limite des flammes coniques tr`es longues (α → 0).

Cas d’une perturbation de vitesse convective

En substituant l’expression (I.20) de la perturbation eξ(x) associ´ee `a une modulation convec-tive de la vitesse dans l’´equation (I.27), on trouve que la fluctuation de surface de flamme prend la forme eA/A = (v₁/v)F_CCO(ω_∗, α), avec :

F_CCO(ω_∗, α) = ² ω2 ∗ 1 1 − cos2α "

1 − exp (iω∗) +^{exp iω∗cos}

2α
− 1 cos2α

#

(I.34) La fonction de transfert d’une flamme conique perturb´ee par une onde convective F_CCO (C et CO correspondent respectivement `a convective et conique) d´epend `a la fois de la fr´equence r´eduite ω_∗ mais aussi de l’angle α entre le front de flamme et l’´ecoulement moyen. On examine dans la suite diff´erents cas limites.

Flamme perpendiculaire `a l’´ecoulement (α → π/2) : dans la limite des grands angles α → π/2, la flamme est perpendiculaire `a l’´ecoulement, SL/v = 

1 − cos2α1/2

→ 1. Le rapport 

exp iω_∗cos²α

− 1^/(cos²α) tend vers iω_∗. On retrouve ainsi l’expression donn´ee par l’´equation (I.28). La fonction F_CCO(ω_∗, α) d´eg´en`ere en la fonction F_{U CO}(ω_∗) obtenue pour une perturbation uniforme de l’´ecoulement :

lim

α→π/2F_CCO(ω_∗, α) = F_{U CO}(ω_∗) (I.35) Flamme conique tr`es longue (α → 0) : si s’int´eresse au cas des flammes coniques tr`es longues en faisant tendre α vers 0 dans l’´equation (I.34), on obtient au premier ordre en α :

lim

α→0F_CCO(ω_∗, α) = ² ω2

∗

32 CHAPITRE I. MOD ´ELISATION ANALYTIQUE

Dans cette expression, la diff´erence de phase entre les fluctuations du d´egagement de chaleur et les fluctuations de vitesse augmente comme lim_ω∗−→0∆ϕ = 2ω_∗/3 pour ω_∗ suffisamment faible et comme limω_∗−→∞∆ϕ = ω∗− π/2 pour ω∗ suffisamment grand. La relation ∆ϕ = ω∗− π/2 est une bonne approximation de la phase pour des pulsations r´eduites ω_∗> 5. Le cas des longues flammes coniques s’approche donc d’une situation purement convective, o`u le temps de r´eponse de la flamme d´efini par τ = ∆ϕ/ω est quasiment constant, quelle que soit la fr´equence d’excitation (LeHelley 1994).

Limite des grandes longueurs d’onde (kR ≪ 1) : dans la limite des grandes longueurs d’onde par rapport `a la taille de la flamme kR ≪ 1, l’expression (I.34) peut ˆetre d´evelopp´ee en s´erie de ω_∗ : B_CCO = lim ω∗→0F_CCO(ω_∗, α) = 1 + i^ω∗ 3 ^{1 + cos} 2α
+ O(ω_∗²) (I.37)

On aboutit `a une expression semblable `a celle obtenue dans la limite des basses fr´equences pour la fonction de transfert d’une flamme conique soumise `a une modulation de vitesse uniforme B<sub>U CO</sub>, Eq. (I.30). Les deux expressions sont identiques lorsque l’angle α tend vers π/2, c’est `a dire pour des flammes perpendiculaires `a l’´ecoulement.

Comparaison des mod`eles

Le gain et la phase de la fonction de transfert F_{U CO}(ω_∗) calcul´es pour une perturbation de vitesse uniforme sont trac´es sur la figure I.5. L’axe vertical trac´e en trait noir ´epaissi correspond `a la pulsation r´eduite ω<sub>∗</sub> = 2π. Les caract´eristiques du filtre optimal du premier ordre H(ω<sub>∗</sub>, β = 3) sont ´egalement repr´esent´ees sur ces figures. L’analyse du gain montre que la flamme est sensible aux perturbations basse fr´equence de l’´ecoulement et que les hautes fr´equences sont filtr´ees. Ce comportement est bien repr´esent´e par le filtre du premier ordre. Concernant la phase, les deux mod`eles donnent asymptotiquement une saturation de la phase `a une valeur de π/2 lorsque la fr´equence r´eduite ω<sub>∗</sub> augmente. Ce ph´enom`ene apparaˆıt pour une pulsation r´eduite ω_∗ = 2π. Par ailleurs, le pulsation ω∗ = 2π a ´et´e identifi´ee dans l’´etude de Ducruix et al. (2000) comme la fr´equence de coupure th´eorique du syst`eme. Elle correspond `a une situation o`u une longueur d’onde de la perturbation est compl`etement ´etablie le long du front de flamme.

ω

_* (A ’/ A )/ (v¹ / v ) 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 F_UCO H

ω

_* p h a s e (r a d ) 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 0 π 2π 3π/2 π/2

Fig.I.5 – Gain et phase des fonctions de transfert d’une flamme conique. En trait plein : mod`ele de perturbation uniforme F_{U CO}(ω_∗). En tirets : filtre optimal du premier ordre H(ω_∗, β = 3).

I.3. FONCTION DE TRANSFERT DES FLAMMES INCLIN ´EES 33

ω

_* (A ’/ A )/ (v¹ / v ) 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 α = 25o α = 50o α = 75o α = 88o

ω

_* p h a s e (r a d ) 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 0 π 2π 3π/2 π/2

Fig. I.6 – Gain et phase des fonctions de transfert d’une flamme conique F_CCO(ω_∗, α) calcul´es avec le mod`ele convectif pour quatre angles de flamme α = 25^o (trait plein), α = 50^o (tirets), α = 75^o (pointill´es), and α = 88^o (tirets-pointill´es).

La fonction de transfert F_CCO(ω_∗, α) calcul´ee pour une perturbation convective est trac´ee sur la figure I.6 pour quatre angles de flamme α = 25^o, 50^o, 75^o, et 88^o. L’amplitude de la r´eponse est peu affect´ee par l’angle α tant que la fr´equence r´eduite du syst`eme reste inf´erieure `a la fr´equence de coupure ω_∗ = 2π. Dans cette partie basse fr´equence ω_∗ < 2π, le gain obtenu avec le nouveau mod`ele est en tr`es bon accord avec le gain obtenu avec le mod`ele uniforme quel que soit l’angle α. Ceci peut ˆetre v´erifi´e en comparant la famille de courbes trac´ees sur cette figure avec la courbe en tirets-pointill´ees calcul´ee pour un angle de flamme α = 88o ≃ π/2, une situation o`u le nouveau mod`ele d´eg´en`ere en la fonction de transfert obtenue avec le mod`ele uniforme (Fig. I.5). Pour des fr´equences d’excitation sup´erieures `a la fr´equence de coupure, l’amplitude de la r´eponse de la flamme d´epend fortement de l’angle α. Les principales diff´erences entre les r´esultats de la figure I.6 et les pr´evisions de la figure I.5 obtenues avec le mod`ele uniforme concernent la phase de la fonction de transfert. Celle-ci augmente avec ω<sub>∗</sub>au lieu de saturer. Le ph´enom`ene de saturation n’apparaˆıt que pour des flammes dont l’angle α est proche de π/2, c’est `a dire pour des flammes perpendiculaires `a l’´ecoulement o`u les effets convectifs le long du front disparaissent. Dans cette situation on retrouve le ph´enom`ene de saturation pr´edit par le mod`ele uniforme en suivant la courbe en tirets-pointill´es de la figure I.6 (α = 88<sup>o</sup>). Si on s’int´eresse au cas limite des flammes coniques tr`es longues (α = 25o), on a montr´e que lorsque α → 0 la diff´erence de phase ∆ϕ croˆıt lin´eairement avec ω_∗, Eq. (I.36). Dans toutes les situations interm´edaires o`u l’angle α varie de 0 `

a π/2, la phase pr´esente un comportement complexe caract´eris´e par une comp´etition entre une croissance lin´eaire dans la limite des longues flammes (α → 0) et une saturation dans la gamme des hautes fr´equences pour des flamme planes perpendiculaires `a l’´ecoulement (α → π/2). Ce comportement est en accord avec les r´esultats exp´erimentaux pr´esent´es dans la r´ef´erence (Ducruix et al. 2000). Lorsque la vitesse d´ebitante des gaz est r´eduite, c’est-`a-dire lorsque l’angle α croˆıt, la phase de la fonction de transfert bascule d’un caract`ere purement convectif (α petit) vers un ph´enom`ene de saturation (α grand).

34 CHAPITRE I. MOD ´ELISATION ANALYTIQUE

Dans le document Mécanismes de couplage dans les interactions acoustiques-combustion (Page 40-45)