Flux de gouttes

par rapport `a ce plan (cf. figure 7.3). Pour avoir acc`es au diam`etre des particules, il faut analyser la lumi`ere diffus´ee lors de leur passage dans les franges d’interf´erence et qui arrive sur les deux PM. Dans notre exemple, nous consid´erons que les PM sont dans le plan du volume de mesure (



=0). Regardons l’interaction de la particule avec un seul rayon incident (par exemple, le rayon

Ψ

Ψ1122

PM1 PM2

Flux de gouttes

β

β

2θ_pda

FIG. 7.3: Les PM sont dans un plan formant un angle par rapport au plan o`u se situe le volume de mesure. Les PM 1 et 2 sont espac´es d’un angle,



;

.

d’intensit´e maximale de la N

  

frange) lors de son passage dans les franges d’interf´erence `a la vitesse v (cf. figure 7.4) : un rayon donn´e sera successivement d´evi´e vers les deux PM, avec un intervalle temporel +/





proportionnel `a la taille de la particule. Pour nous en convaincre, nous allons d’abord d´eterminer cet intervalle de temps +/





`a partir des angles de diffusion

 et   et de l’angle  

s´eparant les deux PM.

L’angle de diffusion des rayons incidents passe de la valeur

 `a



avec une vitesse angulaire





. Le temps+/





qui s´epare le signal sur les deux PM est donc :

+/         (7.1) L’angle s´eparant les deux PM,





´etant fix´e, il nous faut exprimer 



. On d´emontre facilement que l’angle de r´efraction

d´epend uniquement de l’angle i, entre le rayon incident et la normale au point d’impact sur la particule :

   < >   / < >  (7.2) avec/ < >    et  = -1, o`u

est le contraste d’indice de r´efraction (pour l’h´elium dipha-sique `a 1,8 K



110

7

V ´ELOCIMETRIE ET´ GRANULOMETRIE´ LASER i₁ ⁱ² ϕ2 t₁ t₂₌t₁₊dt₁₂ PM1 PM2 v Intensité modulée des franges ψ₁₂ λ 2θ déphasage₁₂ PM1 PM2 λ (2θ•v) dϕ

FIG. 7.4: Lorsque la particule passe dans les franges d’interf´erence `a la vitesse v, les rayons diffus´es donnent des bouff´ees Doppler dont l’enveloppe est gaussienne (comme les faisceaux incidents) et la fr´equence de modulation proportionnelle `a la vitesse (la p´eriode est





  

)). Le d´ephasage entre ces bouff´ees Doppler est proportionnel au diam`etre de la particule. Ici, pour simplifier, nous n’avons pas repr´esent´e les enveloppes gaussiennes des ondes incidentes et diffus´ees.

La vitesse angulaire 



peut s’´ecrire ´egalement comme d´eriv´ee par rapport `a l’angle

:    /     
 < >   
 < >  / (7.3) 
 <

> s’exprime `a partir du diam`etre de la particule

et de la position h `a laquelle se trouve le rayon incident (cf. figure 7.5) :


 < >       (7.4) h2 h1 0 i_{2 i} 2 i₁ i₁ t₁ t₂ ϕ1 ϕ2 d

v

FIG. 7.5: Au temps 

, le rayon incident impacte sur la particule `a la hauteur



. Le rayon, apr`es r´efraction, sort `a un angle



. Cet angle d´epend de l’angle d’incidence



et du rapport d’indice de r´efraction

 . . De mˆeme, au temps ;       ;

, le rayon sort `a un angle

;

7.1 Principe de mesure du PDPA 111 D’o`u,    /    < >  < 
 < >2>     (7.5) D’apr`es 7.2, la d´eriv´ee de <

> par rapport `a sin(i) vaut :

  < >  
 < >   
  < >  (7.6)

Nous pouvons donc ´etablir la d´ependance de +/





avec le diam`etre de la particule grˆace aux ´equations 7.1, 7.5 et 7.6 : +/       
 
  < >
 (7.7)

Le d´ephasage entre le signal perc¸u par le PM1 et le PM2,







se d´etermine alors via le rapport du temps +/





et de la p´eriode du signal diffus´e,

  <  
   > :          
      
  < >
 (7.8)

Pour des angles

 et



faibles, nous voyons finalement que le d´ephasage





est proportionnel au diam`etre

de la particule, le coefficient de proportionnalit´e faisant intervenir l’angle entre les deux PM





, la longueur d’onde des faisceaux

, et enfin l’angle 2


 entre les deux faisceaux. Cette d´ependance du temps +/





par rapport au diam`etre

a ´et´e ´etablie en consid´erant que les PM sont dans le plan du volume de mesure o`u diffusent les particules. Dans la r´ealit´e, les PM sont plac´es `a un angle



hors de ce plan. Dans notre exp´erience, `a cause du faible indice de r´efraction de l’h´elium, qui concentre la diffusion vers l’avant, nous avons choisi un angle



de 15 . Cet angle intervient dans le d´ephasage, l’´equation 7.8 devenant :

                 <   >
       <   >   (7.9) avec  
  <  >
  <     >
  <  >.

Le d´ephasage entre les deux signaux n’´etant d´efini que modulo 2

, 

est d´efini modulo  

(correspondant `a 





  

dans l’´equation 7.9) : plus les PM sont proches, plus  

est ´elev´e mais moins bonne est la r´esolution. Le diam`etre peut donc ˆetre exprim´e, mais `a 2

pr`es. Pour lever cette incertitude, on utilise trois PM qui mesurent alors chacun une bouff´ee Doppler mais d´ephas´ee l’une par rapport `a l’autre (cf. figure 7.6). Prenons l’exemple de trois PM espac´es diff´eremment entre eux sur un mˆeme plan : le PM1 ´etant plus proche du PM2 que du PM3, le d´ephasage en fonction du diam`etre 

a une pente sup´erieure pour





(d´ephasage entre les PM 1 et 3) que 





(d´ephasage entre les PM 1 et 2) (cf. figure 7.7). Pour un mˆeme diam`etre, les d´ephasages mesur´es    et  

112

7

V ´ELOCIMETRIE ET´ GRANULOMETRIE´ LASER 30 40 50 60 70 temps (u.a.) -1.2 -0.7 -0.2 0.3 0.8 1.3 (u.a.) τ φ12

FIG. 7.6: Les trois bouff´ees Doppler recueillies par les PM 1, 2 et 3. Le d´ephasage entre chaque PM est compar´e et d´etermine ainsi la taille de la particule diffusante.

2π φ12 d (µm) 2π φ13 d (µm) 2π φ13 d (µm) φ12 d (µm) dunivoque a) b) c)

FIG. 7.7: la figure a) repr´esente le d´ephasage entre les PM 1 et 2. b) le d´ephasage entre les PM 1 et 3. Pour chaque paire de PM, `a un d´ephasage correspondent plusieurs diam`etres possibles. Sur la figure c), les deux d´ephasages



;

et


sont repr´esent´es. Le diam`etre r´eel d
 

 est `a la fois solution de


;

et
 .

d´ephasage donn´e, plusieurs diam`etres sont possibles. Le diam`etre r´eel est celui qui est `a la fois solution de   et  (correspond `a      sur la figure 7.7). La d´etermination du diam`etre d     

est effectivement univoque si le rapport

  /  est diff´erent d’un multiple entier. Dans le cas contraire, il existe plusieurs tailles de particules `a la

7.1 Principe de mesure du PDPA 113 fois solutions de    et  

. Dans notre cas, le rapport

      
, ce qui, th´eoriquement [42], nous permet de d´eterminer le diam`etre des particules sans ambiguit´e de lecture.

Dans notre PDPA commercial, pour chaque ´ev´enement le programme informatique r´ealise l’analyse pr´ec´edemment ´enonc´ee en temps r´e´el et fournit une taille (et une vitesse). Les pa-ram`etres ext´erieurs sont l’indice de r´efraction et l’angle 

qui est fix´e dans le logiciel `a une valeur de 30 . Nous nous sommes plac´es `a un angle

de 15 , valeur non impl´ement´ee dans le programme. Connaissant la relation 7.9 liant le d´ephasage `a



, nous devons faire une correction syst´ematique sur les tailles d´etermin´ees par le programme en les corrigeant d’un facteur 

2. Cette correction sera effectu´ee lors du d´epouillement des donn´ees `a partir du PDPA.

7.1.3 Conditions de mesure

7.1.3.1 Configuration du PDPA utilis´e

La configuration du PDPA autour du cryostat est sch´ematis´ee figure 7.8. L’angle



est de 15 , ce qui, pour l’h´elium, permet de s´electionner l’intensit´e diffus´ee essentiellement par r´efraction.

7.1.3.2 Gamme de tailles mesur´ees

Un tel dispositif ne peut pas mesurer toutes les tailles de particules. Au maximum, la plus grande taille affich´ee par le PDPA est de 380 m.

Le plus grand diam`etre d´etectable  

, qui correspond `a un d´ephasage de 2



entre les PM 1 et 2, est inversement proportionnel `a l’angle d’intersection des faisceaux, qui peut prendre trois valeurs diff´erentes : 







12 mrad, 24 mrad et 47 mrad. Pour 12 mrad, 

vaut 380 m (avant correction). Pour un angle donn´e, le logiciel restitue des histogrammes entre un 





que l’on peut fixer (il doit ˆetre ´evidemment inf´erieur au   associ´e `a l’angle
  choisi) et un d       

, la largeur d’une classe ´etant 



 /200.

7.1.3.3 Ev´enements valid´es

Mˆeme si le PDPA est capable de mesurer 10000 ´ev´enements par seconde, il est important que les particules mesur´ees ne soient pas en quantit´e trop importante. N’oublions pas que le principe du PDPA repose sur le fait qu’il mesure une particule `a la fois dans son volume de mesure. Dans le cas o`u la densit´e des particules est ´elev´ee, alors la probabilit´e de mesurer plus d’une particule devient non n´egligeable. Lorsque deux particules sont pr´esentes dans le volume de mesure, les PM mesurent des bouff´ees Doppler qui se superposent au moins partiellement (cf. figure 7.9). De tels ´ev´enements sont rejet´es par le logiciel ce qui permet ainsi de r´eduire les erreurs sur la

114

7

V ´ELOCIMETRIE ET´ GRANULOMETRIE´ LASER 15 2θ

Dans le document Etude expérimentale des mécanismes d'échanges thermiques dans une conduite contenant un écoulement diphasique d'hélium superfluide (Page 128-133)